Rotolamento di un corpo rigido
Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio:
Una boccia da bowling di massa $m$ e raggio $R$ viene lanciata in modo tale che, all'istante in cui tocca la pista, si muova nella direzione orizzontale alla velocità $v_0=5m/s$, senza rotare.
Il coefficiente di attrito dinamico tra la boccia e la pista è $mu_d=0,3$.
a) Trovare l'intervallo di tempo durante il quale la boccia striscia prima che sia soddisfatta la condizione per il rotolamento.
b) Trovare lo spazio che la boccia percorre strisciando prima di rotolare senza strisciare.
Pensavo di combinare la seconda legge di Newton con l'equazione $sum(tau)=I*alpha$ in modo da mettere in relazione la forza di attrito e l'accelerazione del centro di massa, che inizialmente coincide anche l'accelerazione del punto di contatto tra boccia e pista (o meglio la decelerazione), e una volta trovata l'accelerazione calcolare in quanto tempo la velocità si azzera attraverso le equazioni del moto uniformemente accelerato.
Quindi ottengo
$-F_a = m*a$
$N=m*g$
$F_a*R=I*alpha=I*a/R$
Ma questo ragionamento non quadra..
Suggerimenti?
Grazie
Una boccia da bowling di massa $m$ e raggio $R$ viene lanciata in modo tale che, all'istante in cui tocca la pista, si muova nella direzione orizzontale alla velocità $v_0=5m/s$, senza rotare.
Il coefficiente di attrito dinamico tra la boccia e la pista è $mu_d=0,3$.
a) Trovare l'intervallo di tempo durante il quale la boccia striscia prima che sia soddisfatta la condizione per il rotolamento.
b) Trovare lo spazio che la boccia percorre strisciando prima di rotolare senza strisciare.
Pensavo di combinare la seconda legge di Newton con l'equazione $sum(tau)=I*alpha$ in modo da mettere in relazione la forza di attrito e l'accelerazione del centro di massa, che inizialmente coincide anche l'accelerazione del punto di contatto tra boccia e pista (o meglio la decelerazione), e una volta trovata l'accelerazione calcolare in quanto tempo la velocità si azzera attraverso le equazioni del moto uniformemente accelerato.
Quindi ottengo
$-F_a = m*a$
$N=m*g$
$F_a*R=I*alpha=I*a/R$
Ma questo ragionamento non quadra..
Suggerimenti?
Grazie
Risposte
Non quadra perché tu nell'ultima formula metti in relazione l'accelerazione angolare con l'accelerazione lineare come se il puro rotolamento ci fosse sempre, mentre invece si instaura solo nell'istante in cui lo strisciamento finisce, ovvero quando la formula non ti serve più.
Tu devi invece fare due ragionamenti indipendenti: l'accelerazione angolare fa partire la boccia da velocità angolare nulla e la porta fino alla velocità angolare finale; l'accelerazione lineare (che è una decelerazione) fa passare la velocità di traslazione della boccia dalla velocità iniziale alla velocità finale; la relazione tra la omega finale e la velocità di traslazione finale deve essere quella di puro rotolamento.
(ehi, sono diventato senior member!
offro da bere)
Tu devi invece fare due ragionamenti indipendenti: l'accelerazione angolare fa partire la boccia da velocità angolare nulla e la porta fino alla velocità angolare finale; l'accelerazione lineare (che è una decelerazione) fa passare la velocità di traslazione della boccia dalla velocità iniziale alla velocità finale; la relazione tra la omega finale e la velocità di traslazione finale deve essere quella di puro rotolamento.
(ehi, sono diventato senior member!
offro da bere)
Congratulazioni! 
Chissà se un giorno potremo brindare a distanza. Meglio evitare! 
Chissà se un giorno potremo brindare a distanza. Meglio evitare!
Presupponendo che a e alfa siano diverse (perchè c'è lo scivolamento) posso comunque usare queste equazioni (non ci piove)
$1). F_a R = I\alpha $
$2) F = ma$
$3). v_1 = v_0+at$
$4). omega_1 = omega_0+\alpha t = \alpha t $ in quanto la velocirtà angolare iniziale è nulla
$5). v_1 = \omega_1R$
$6). \omega^2 = 2\alpha\Delta \theta$
$7). v^2=v_0^2+2a\Delta x$
Giusto? Alla fine in quelle sette equazioni c'è tutta la meccanica...
$1). F_a R = I\alpha $
$2) F = ma$
$3). v_1 = v_0+at$
$4). omega_1 = omega_0+\alpha t = \alpha t $ in quanto la velocirtà angolare iniziale è nulla
$5). v_1 = \omega_1R$
$6). \omega^2 = 2\alpha\Delta \theta$
$7). v^2=v_0^2+2a\Delta x$
Giusto? Alla fine in quelle sette equazioni c'è tutta la meccanica...
Va bene ma adesso procediamo.
Intanto poniamo la relazione tra la velocità traslazionale finale e la velocità angolare finale:
[tex]\begin{array}{l}
{v_0} - at = \alpha tR \\
\\
{v_0} = \left( {\alpha R + a} \right)t \\
\\
t = \frac{{{v_0}}}{{\alpha R + a}} \\
\end{array}[/tex]
L'accelerazione a è intesa in valore assoluto, pongo il segno - perché in realtà si decelera.
Il tempo t è quello totale in cui si giunge al puro rotolamento.
Poi occorre ricavare le accelerazioni in funzione delle forze in gioco:
[tex]\begin{array}{l}
\alpha = \frac{{{F_a}R}}{I} = \frac{{{\mu _a}mgR}}{I} \\
\\
a = \frac{{{F_a}}}{m} = {\mu _a}g \\
\end{array}[/tex]
E poi... continua tu.
Intanto poniamo la relazione tra la velocità traslazionale finale e la velocità angolare finale:
[tex]\begin{array}{l}
{v_0} - at = \alpha tR \\
\\
{v_0} = \left( {\alpha R + a} \right)t \\
\\
t = \frac{{{v_0}}}{{\alpha R + a}} \\
\end{array}[/tex]
L'accelerazione a è intesa in valore assoluto, pongo il segno - perché in realtà si decelera.
Il tempo t è quello totale in cui si giunge al puro rotolamento.
Poi occorre ricavare le accelerazioni in funzione delle forze in gioco:
[tex]\begin{array}{l}
\alpha = \frac{{{F_a}R}}{I} = \frac{{{\mu _a}mgR}}{I} \\
\\
a = \frac{{{F_a}}}{m} = {\mu _a}g \\
\end{array}[/tex]
E poi... continua tu.
Va be ormai è scontato...a dire il vero non riesco ancora a capacitarmi "intuitivamente" come fa quella traslazione pura iniziale a NON influenzare sull'accelerazione angolare...probabilmente ciò è dovuto al fatto che a produrre l'accelerazione angolare è esclusivamente il momento forza di attrito-centro della palla (OT: sono molto affascinanti questi problemi...!)
Domanda attinentissima: se il piano fosse completamente liscio, attrito 0, se esercitassi sulla biglia una forza in una direzione allineata col centro di massa, la biglia semplicemente traslerebbe vero?
Domanda b. Se invece la forza la esercito a una distanza r dal centro di massa, la biglia ruoterebbe per il momento, vero?
Domanda attinentissima: se il piano fosse completamente liscio, attrito 0, se esercitassi sulla biglia una forza in una direzione allineata col centro di massa, la biglia semplicemente traslerebbe vero?
Domanda b. Se invece la forza la esercito a una distanza r dal centro di massa, la biglia ruoterebbe per il momento, vero?
"newton_1372":
Va be ormai è scontato...a dire il vero non riesco ancora a capacitarmi "intuitivamente" come fa quella traslazione pura iniziale a NON influenzare sull'accelerazione angolare...probabilmente ciò è dovuto al fatto che a produrre l'accelerazione angolare è esclusivamente il momento forza di attrito-centro della palla
perché quando il polo è sul centro di massa del corpo rigido la derivata del momento angolare è uguale al momento delle forze agenti anche se il corpo trasla di moto accelerato.
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