Rotolamento corpo
Buongiorno,
sto studiando il rotolamento dei corpi, ma ho alcuni dubbi.
Data una ruota di raggio r che gira in senso orario (grazie a momento M) si ha una forza di "attrito" diretta verso destra ( x positive).
L'equazioni trovate in molti problemi considerano il momento impresso M positivo e quello della forza di "attrito" F negativo :
F=ma
M- Fr = I alpha
come mai?
Io invece per la regola della mano destra avrei scritto i segni opposti.. Fr- M = I alpha
Data una ruota che gira in senso antiorario, si ha una forza di "attrito" diretta verso sinistra.
Come bisogna considerare i segni nell' equazioni sommatoria forze e sommatorie momenti in questo caso?
- F= ma, essendo Fa diretta verso sinistra e prendendo le x destre positive?
Fr - M = I alpha ??
Grazie per l'aiuto (:
sto studiando il rotolamento dei corpi, ma ho alcuni dubbi.
Data una ruota di raggio r che gira in senso orario (grazie a momento M) si ha una forza di "attrito" diretta verso destra ( x positive).
L'equazioni trovate in molti problemi considerano il momento impresso M positivo e quello della forza di "attrito" F negativo :
F=ma
M- Fr = I alpha
come mai?
Io invece per la regola della mano destra avrei scritto i segni opposti.. Fr- M = I alpha
Data una ruota che gira in senso antiorario, si ha una forza di "attrito" diretta verso sinistra.
Come bisogna considerare i segni nell' equazioni sommatoria forze e sommatorie momenti in questo caso?
- F= ma, essendo Fa diretta verso sinistra e prendendo le x destre positive?
Fr - M = I alpha ??
Grazie per l'aiuto (:
Risposte
Puoi sceglierli come ti pare, è solo una convenzione, devi stare attenta però nel legare l'accelerazione angolare all'accelerazione lineare del corpo che rotola.
Per esempio,considera un corpo che rotola verso destra, per comodità si sceglie le $x$ positive a destra e quindi l'accelerazione lineare del centro di massa del corpo è $a=ddot(x)$, adesso, una volta scelto il verso delle x positive, ci si chiede, come si possono scegliere i $theta$ positivi? theta è l'angolo che percorre la ruota, se si scelgono i theta positivi a destra, ossia nel verso in cui il corpo sta rotolando, avremo che l'accelerazione angolare del corpo sarà $alpha=ddot(theta)$, e poiché dato che se theta aumenta, ossia theta si sposta nei theta positivi, allora il corpo si sposta a destra nelle $x$ positive, abbiamo che le coordinate x e theta sono CONCORDI e possiamo scrivere $ddot(x)=Rddot(theta)$, e quindi i momenti che tendono a far ruotare la ruota nel senso delle $theta$ positive sono positivi, quelli che la fanno ruotare nel senso delle $theta$ negativi sono negativi. Stessa cosa per le forze.
Il caso di $theta$ e $x$ concordi è la cosa più semplice da fare e la più conveniente, ed è proprio ciò che fanno i molti problemi che hai trovato.
Però, come detto, è solo una convenzione. Ipotizziamo allor che tu indichi con theta positivo i theta antiorari, in questo caso i momenti positivi saranno quelli che faranno ruotare il corpo in senso antiorario mentre i momenti negativi lo faranno ruotare in senso orario. Adesso bisogna stabilire il legame tra la coordinata lineare x e la coordinata angolare theta. Notiamo quindi che se theta aumenta, ossia theta si posta in senso antiorario, e l'asse x è orientato a destra, avremo che l'accelerazione angolare sarà positiva, ma l'accelerazione lineare sarà negativa perché il corpo si sposta nel semiasse negativo delle x, e pertanto abbiamo la relazione $ddot(x)=-Rddot(theta)$.
Vediamo quindi come si giunga allo stesso risultato nel tuo problema.
Supponiamo di scegliere la prima convenzione, ossia theta positivo orario e x positivo a destra, abbiamo $ddot(x)=Rddot(theta)$ e le equazioni sono:
$F=mRddot(theta)$
$M-FR=Iddot(theta)$
Se la risolvi vedi che ottieni $ddot(theta)=M/(I+mR^2)$
Consideriamo invece l'altra convenzione:
$F=-mRddot(theta)$
$FR-M=Iddot(theta)$
Risolvendola ottieni $ddot(theta)=-M/(I+mR^2)$
Come vedi i risultati sono uguali a parte il segno, infatti un segno positivo significa che il corpo si sposta nella direzione scelta come positiva nella convenzione, mentre un segno negativo significa che il corpo si sposta dalla parte opposta rispetto alla direzione positiva, pertanto, in tutti e due i casi il corpo ruota a destra, la sua accelerazione lineare è uguale e positiva in tutti e due i casi.
Per esempio,considera un corpo che rotola verso destra, per comodità si sceglie le $x$ positive a destra e quindi l'accelerazione lineare del centro di massa del corpo è $a=ddot(x)$, adesso, una volta scelto il verso delle x positive, ci si chiede, come si possono scegliere i $theta$ positivi? theta è l'angolo che percorre la ruota, se si scelgono i theta positivi a destra, ossia nel verso in cui il corpo sta rotolando, avremo che l'accelerazione angolare del corpo sarà $alpha=ddot(theta)$, e poiché dato che se theta aumenta, ossia theta si sposta nei theta positivi, allora il corpo si sposta a destra nelle $x$ positive, abbiamo che le coordinate x e theta sono CONCORDI e possiamo scrivere $ddot(x)=Rddot(theta)$, e quindi i momenti che tendono a far ruotare la ruota nel senso delle $theta$ positive sono positivi, quelli che la fanno ruotare nel senso delle $theta$ negativi sono negativi. Stessa cosa per le forze.
Il caso di $theta$ e $x$ concordi è la cosa più semplice da fare e la più conveniente, ed è proprio ciò che fanno i molti problemi che hai trovato.
Però, come detto, è solo una convenzione. Ipotizziamo allor che tu indichi con theta positivo i theta antiorari, in questo caso i momenti positivi saranno quelli che faranno ruotare il corpo in senso antiorario mentre i momenti negativi lo faranno ruotare in senso orario. Adesso bisogna stabilire il legame tra la coordinata lineare x e la coordinata angolare theta. Notiamo quindi che se theta aumenta, ossia theta si posta in senso antiorario, e l'asse x è orientato a destra, avremo che l'accelerazione angolare sarà positiva, ma l'accelerazione lineare sarà negativa perché il corpo si sposta nel semiasse negativo delle x, e pertanto abbiamo la relazione $ddot(x)=-Rddot(theta)$.
Vediamo quindi come si giunga allo stesso risultato nel tuo problema.
Supponiamo di scegliere la prima convenzione, ossia theta positivo orario e x positivo a destra, abbiamo $ddot(x)=Rddot(theta)$ e le equazioni sono:
$F=mRddot(theta)$
$M-FR=Iddot(theta)$
Se la risolvi vedi che ottieni $ddot(theta)=M/(I+mR^2)$
Consideriamo invece l'altra convenzione:
$F=-mRddot(theta)$
$FR-M=Iddot(theta)$
Risolvendola ottieni $ddot(theta)=-M/(I+mR^2)$
Come vedi i risultati sono uguali a parte il segno, infatti un segno positivo significa che il corpo si sposta nella direzione scelta come positiva nella convenzione, mentre un segno negativo significa che il corpo si sposta dalla parte opposta rispetto alla direzione positiva, pertanto, in tutti e due i casi il corpo ruota a destra, la sua accelerazione lineare è uguale e positiva in tutti e due i casi.
Comunque, è sempre conveniente scegliere la prima convenzione, ossia scegliere $theta$ e $x$ concordi.
molto più chiaro ora, grazie mille!(:
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