Rotolamento

[matematicoestinto]

Un anello di massa m, e raggio r scende lungo un piano inclinato rotolando senza strisciare. Quanto vale la velocità angolare di rotazione supponendo che parta da fermo dall'altezza h?

Per favore potete risolverlo il prima possibile perchè ho a disposizione la connessione per poco tempo e rischio di non dormirci la notte! Io pensavo di averlo fatto correttamente, ma il mio risultato non è in accordo con il libro..

Potete spiegarmi il procedimento?

GRAZIE INFINITE

[laura.todisco]

Bellino, mi capitò questo esercizio allo scritto di Fisica 1 nel 1987, ma nella traccia, giustamente, mancava la massa del corpo. Giustamente perchè infatti la velocità del corpo che rotola non dipende, come vedrai, dalla massa o dalle dimensioni del corpo ma solo dalla sua forma.
Dunque, quello che ti ricavi è innanzitutto la velocità v traslazionale che è legata alla velocità angolare $omega$ dalla nota relazione $v=omegar$
L'energia iniziale del corpo vale $E_0=mgh$; quella finale $E=1/2mv^2+1/2I_comega^2=1/2mv^2+1/2mk^2omega^2=1/2mv^2+1/2mk^2v^2/r^2=1/2mv^2(1+k^2/r^2)=1/2mv^2(1+1)=mv^2$
dove $I_c$ è il momento d'inerzia, $K$ il raggio giratore che nel caso dell'anello senza spessore vale $r$.
Poi uguagliando l'energia iniziale a quella finale ottieni la velocità traslazionale. Quella angolare la ricavi dalla relazione scritta all'inizio.

[mircoFN1]

$1/2mv^2+1/2I\omega^2=mgh$
$1/2mv^2+1/2(mR^2)/2 (v/R)^2=mgh$
$v=2/3 \sqrt(3gh)$

[laura.todisco]

"mirco59":$1/2mv^2+1/2I\omega^2=mgh$
$1/2mv^2+1/2(mR^2)/2 (v/R)^2=mgh$
$v=2/3 \sqrt(3gh)$

Ma qui hai inserito il raggio giratore di un disco pieno.
Il problema parlava di un anello: $K=r$

[mircoFN1]

Hai ragione!
La tua soluzione è valida per un anello di spessore trascurabile, la mia per un 'anello pieno' per ogni altro anello la velocità è intermedia

ciao

[laura.todisco]

Infatti. Per un anello che abbia raggio esterno $R$ e raggio interno $r$ il raggio giratore, o meglio il suo quadrato, è:
$K^2=(R^2+r^2)/2$