Rotazione, urto, piano inclinato
Mi sto cimentando con questo problema...
Un’asta omogenea, di lunghezza $L$ e massa $M$, può ruotare senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo. L’asta è inizialmente in quiete, in posizione orizzontale. Essa viene lasciata libera ed inizia a muoversi per effetto della forza peso.
(1) Qual è la forza esercitata dal perno nell’istante in cui la sbarra inizia a muoversi?
(2) Qual è la velocità angolare dell’asta quando essa raggiunge la posizione verticale?
Nell’istante in cui l’asta è verticale urta, con l’estremo libero, un corpo puntiforme di massa $m$.
Dopo l’urto, perfettamente elastico, l’asta rimane in quiete.
(3) Qual è la massa $m$?
Dopo l’urto il corpo puntiforme si muove su una superficie priva di attrito e incontra un piano inclinato di altezza $h$ e inclinazione $theta$.
(4) Con quale velocità il punto materiale arriva alla sommità della rampa?
(5) Qual è l’altezza massima raggiunta dal corpo?
Non ho problemi con tutta la parte centrale, solo con la prima e l'ultima domanda.
Infatti per risolvere la (1) imposto questo sistema:
$MgL/2 = Ialpha$
$F + Mg = Ma_CM$
Ma non mi esce $-Mg/4$, come dovrebbe. Sbaglio qualcosa?
Un’asta omogenea, di lunghezza $L$ e massa $M$, può ruotare senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo. L’asta è inizialmente in quiete, in posizione orizzontale. Essa viene lasciata libera ed inizia a muoversi per effetto della forza peso.
(1) Qual è la forza esercitata dal perno nell’istante in cui la sbarra inizia a muoversi?
(2) Qual è la velocità angolare dell’asta quando essa raggiunge la posizione verticale?
Nell’istante in cui l’asta è verticale urta, con l’estremo libero, un corpo puntiforme di massa $m$.
Dopo l’urto, perfettamente elastico, l’asta rimane in quiete.
(3) Qual è la massa $m$?
Dopo l’urto il corpo puntiforme si muove su una superficie priva di attrito e incontra un piano inclinato di altezza $h$ e inclinazione $theta$.
(4) Con quale velocità il punto materiale arriva alla sommità della rampa?
(5) Qual è l’altezza massima raggiunta dal corpo?
Non ho problemi con tutta la parte centrale, solo con la prima e l'ultima domanda.
Infatti per risolvere la (1) imposto questo sistema:
$MgL/2 = Ialpha$
$F + Mg = Ma_CM$
Ma non mi esce $-Mg/4$, come dovrebbe. Sbaglio qualcosa?
Risposte
$[1/3ML^2\alpha=1/2MgL] ^^ [Ma_G=Mg+F] ^^ [a_G=1/2\alphaL] rarr [F=-1/4Mg]$
Perfetto, grazie mille. Devo considerare che in $\veca_(CM) = \vecalpha xx \vecr$ la distanza dal centro di rotazione è $L/2$... invece avevo scritto $L$!
Invece credo di aver risolto l'ultima parte (di cui non ho la soluzione).
Dopo aver trovato la velocità $v$ con cui arriva ad $h$, considero la componente verticale della velocità $vsintheta$ e uso la relazione cinematica: $Deltah = v_y^2/(2g)$. Quindi $h_max = h + Deltah$.
Puoi confermare?
Invece credo di aver risolto l'ultima parte (di cui non ho la soluzione).
Dopo aver trovato la velocità $v$ con cui arriva ad $h$, considero la componente verticale della velocità $vsintheta$ e uso la relazione cinematica: $Deltah = v_y^2/(2g)$. Quindi $h_max = h + Deltah$.
Puoi confermare?
Dal testo si dovrebbe evincere che il corpo puntiforme possa arrivare alla sommità della rampa con una velocità non nulla, ricavabile conservando l'energia meccanica dopo l'urto, per poi muoversi di moto parabolico. L'altezza massima di cui parla il testo si dovrebbe riferire a quest'ultima fase. Ovviamente, il tutto dipende dal valore di $h$: se non è assegnato, dovresti fare una piccola discussione. Insomma, indicando con $v_0$ la velocità del corpo puntiforme dopo l'urto:
$[1/2mv_0^2 lt= mgh] rarr [v_0 lt= sqrt(2gh)] rarr [1/2mv_0^2= mgh_F] ^^ [h_F lt= h] rarr [h_F=v_0^2/(2g)]$
$[1/2mv_0^2 gt mgh] rarr [v_0 gt sqrt(2gh)] rarr [h_F=h+(v_0^2/(2g)-h)sin^2\theta]$
Ad ogni modo, anche se hai utilizzato notazioni diverse, mi sembra che tu abbia fatto sostanzialmente lo stesso.
$[1/2mv_0^2 lt= mgh] rarr [v_0 lt= sqrt(2gh)] rarr [1/2mv_0^2= mgh_F] ^^ [h_F lt= h] rarr [h_F=v_0^2/(2g)]$
$[1/2mv_0^2 gt mgh] rarr [v_0 gt sqrt(2gh)] rarr [h_F=h+(v_0^2/(2g)-h)sin^2\theta]$
Ad ogni modo, anche se hai utilizzato notazioni diverse, mi sembra che tu abbia fatto sostanzialmente lo stesso.
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