Rotazione e rotazione attorno ad asse fisso
Salve a tutti,
Mi è sorto un dubbio analizzando la casistica dei moti che un corpo rigido può compiere.
In particolare, quando si parla di [highlight]rotazione[/highlight] (e basta!) di un corpo rigido si intende sempre e solo la rotazione attorno ad un asse [highlight]fisso[/highlight], vero? Io credo di sì Perché in effetti affermiamo che la caratteristica di traslazione (la velocità di un punto O di riferimento) è nulla. A me di fatti verrebbe da pensare che se l’asse non è fisso allora c’è anche traslazione: a quel punto però ho un moto di rototraslazione.
Solo che nel libro di testo di riferimento in un passaggio dice “ consideriamo una rotazione, in particolare una attorno ad un asse fisso”...e non capisco perché lo specifichi seguendo il mio ragionamento...
Grazie
Andrew
Mi è sorto un dubbio analizzando la casistica dei moti che un corpo rigido può compiere.
In particolare, quando si parla di [highlight]rotazione[/highlight] (e basta!) di un corpo rigido si intende sempre e solo la rotazione attorno ad un asse [highlight]fisso[/highlight], vero? Io credo di sì Perché in effetti affermiamo che la caratteristica di traslazione (la velocità di un punto O di riferimento) è nulla. A me di fatti verrebbe da pensare che se l’asse non è fisso allora c’è anche traslazione: a quel punto però ho un moto di rototraslazione.
Solo che nel libro di testo di riferimento in un passaggio dice “ consideriamo una rotazione, in particolare una attorno ad un asse fisso”...e non capisco perché lo specifichi seguendo il mio ragionamento...
Grazie
Andrew
Risposte
Nella rotazione di cui parla il testo tutti i punti sull'asse hanno velocità nulla, se quest'asse stesso ruotasse ad esempio attorno ad un punto allora solo quel punto avrebbe velocità nulla. Immagina di prendere un asse e farlo ruotare sul suo centro, non è fisso e potrebbe essere l'asse di rotazione di un corpo, che quindi ruoterebbe senza traslare.
Un corpo rigido ruota quando le velocità dei suoi punti NON sono tutte parallele tra loro, ossia quando esiste il vettore $vecomega$. In generale non ha senso dire che un corpo sta ruotando attorno a qualcosa, il vettore $omega$ infatti è un vettore libero, l'unica cosa che si può dire è se esso sta ruotando oppure no (quando ruota omega è diverso da zero, quando non ruota omega è pari a zero).
NO, nel campo di velocità di un corpo rigido $v(P)=v(O)+omega xx (P-O)$, $v(O)$ non ha niente a che fare con la traslazione o meno, infatti O è del tutto arbitrario.
Il libro intende semplicemente un corpo rigido che ha omega diverso da zero, e tale che esista una qualche retta solidale al corpo fissa nel tempo tale che la velocità dei suoi punti sia nulla.
Perché in effetti affermiamo che la caratteristica di traslazione (la velocità di un punto O di riferimento) è nulla
NO, nel campo di velocità di un corpo rigido $v(P)=v(O)+omega xx (P-O)$, $v(O)$ non ha niente a che fare con la traslazione o meno, infatti O è del tutto arbitrario.
Il libro intende semplicemente un corpo rigido che ha omega diverso da zero, e tale che esista una qualche retta solidale al corpo fissa nel tempo tale che la velocità dei suoi punti sia nulla.
"Vulplasir":
Un corpo rigido ruota quando le velocità dei suoi punti NON sono tutte parallele tra loro, ossia quando esiste il vettore $vecomega$. In generale non ha senso dire che un corpo sta ruotando attorno a qualcosa, il vettore $omega$ infatti è un vettore libero, l'unica cosa che si può dire è se esso sta ruotando oppure no (quando ruota omega è diverso da zero, quando non ruota omega è pari a zero).
Esatto. Questo è importantissimo da capire bene: quando si parla di $vecomega$ va dimenticato il concetto di asse di rotazione.
Poi secondo me è ancora meglio dire che $vecomega$ è la velocità angolare di una terna (sistema di riferimento) solidale al corpo rigido, perchè in realtà a rigore si definirebbe calcolando le derivate dei versori di una terna solidale al corpo rigido (qualunque, nel senso che $vecomega$ sarebbe sempre lo stesso per tutte le terne solidali al corpo rigido) rispetto ad un sistema assoluto esterno.
Eh si, questa parte di meccanica razionale l'ho trovata molto interessante, soprattutto le conseguenze geometriche: polare fissa, polare mobile, asse istantaneo di moto, teorema di Mozzi, poloidi (che sono nella mia firma 
), erpoloidi etc
), erpoloidi etc
"Vulplasir":
Un corpo rigido ruota quando le velocità dei suoi punti NON sono tutte parallele tra loro, ossia quando esiste il vettore $vecomega$. In generale non ha senso dire che un corpo sta ruotando attorno a qualcosa, il vettore $omega$ infatti è un vettore libero, l'unica cosa che si può dire è se esso sta ruotando oppure no (quando ruota omega è diverso da zero, quando non ruota omega è pari a zero).
Davvero interessante!
Grazie a tutti per le risposte però temo ancora di non aver chiarito bene ciò che non mi torna.
Ho capito quindi che per rotazione si intende semplicemente quando un corpo rigido ha w non nullo e che questo vettore ha direzione fissa nel tempo (giusto?).
Il libro dice a questo punto che si può vedere la rotazione come una precessione particolare con un asse fisso. Questo asse fisso è l’asse di rotazione, no? (Cioè l’asse istantaneo d moto è fisso e fa degenerare il cono di Poinsot, cioè le rigate fisse e mobili, ad una retta)
Ho capito quindi che per rotazione si intende semplicemente quando un corpo rigido ha w non nullo e che questo vettore ha direzione fissa nel tempo (giusto?).
Il libro dice a questo punto che si può vedere la rotazione come una precessione particolare con un asse fisso. Questo asse fisso è l’asse di rotazione, no? (Cioè l’asse istantaneo d moto è fisso e fa degenerare il cono di Poinsot, cioè le rigate fisse e mobili, ad una retta)
Più che altro non capisco come si fa a “scorporare” l’asse di rotazione e il vettore omega perché per me coincidono...che confusione!
Posso cercar di spiegarla in un altro modo.
Un corpo rigido si dice che sta "traslando" quando le velocità relative di qualunque suoi due punti sono nulle, ossia $v(P)-v(Q)=0$.
Si dice quindi che il corpo sta ruotando (ruotare in senso generale) quando le velocità relative tra i suoi punti non sono nulle, si può dimostrare che la velocità relative tra due punti P e Q è legata a un vettore $omega$ tale che:
$v(P)-v(Q)=omega xx(P-Q)$
In pratice questa relazione ci dice che la velocità angolare è essenzialmente un concetto "relativo", ossia ci da informazioni sul moto relativo tra due punti del corpo in questione, essendo pertanto un concetto relativo NON può avere qualcosa di assoluto come un "asse di rotazione" o quant'altro.
Se noi prendiamo un punto Q e una retta r passante per Q e parallela a $omega$, allora se su r si sceglie il punt P si ha che il prodotto vettoriale a destra dell'equazione di sopra è nullo, quindi risulta $v(P)=v(Q)$, cioè P e Q hanno stessa velocità così come hanno stessa velocità tutti i punti della retta r, nulla ci vieta quindi di considerare r come un "asse di rotazione" e vedere il moto "relativo" di tutti gli altri punti come una "rotazione" attorno a questa retta. Ma la scelta di Q è stata del tutto arbitraria, posso scegliere un qualsiasi altro punto Q e applicare lo stesso ragionamento individuando un'altra retta r e possono ancora vedere questa retta come un asse di rotazione, l'arbitrarietà quindi ci dice che non ha senso "in generale" parlare di asse di rotazione come qualcosa di assoluto, l'unica cosa "assoluta e vera" è solo quella formula dei moti rigidi di sopra.
Chiaramente ci possono essere dei casi particolari.
Se esiste un punto Q che ha velocità nulla, possiamo scrivere la formula dei moti rigidi rispetto a quel punto Q ottenendo:
$v(P)=omegaxx(P-Q)$ ottenendo il moto di precessione, se come detto mandiamo una retta r parallela a omega e passante per Q, si ottiene "l'asse di rotazione" (e come detto prima, asse di rotazione rispetto alla scelta di Q che ho fatto), se omega ha direzione fissa nel tempo tale asse sarà anch'esso fisso ---> e quindi si ottiene la classica "rotazione attorno ad un asse fisso", se omega varia in direzione si ottiene la precessione.
Un corpo rigido si dice che sta "traslando" quando le velocità relative di qualunque suoi due punti sono nulle, ossia $v(P)-v(Q)=0$.
Si dice quindi che il corpo sta ruotando (ruotare in senso generale) quando le velocità relative tra i suoi punti non sono nulle, si può dimostrare che la velocità relative tra due punti P e Q è legata a un vettore $omega$ tale che:
$v(P)-v(Q)=omega xx(P-Q)$
In pratice questa relazione ci dice che la velocità angolare è essenzialmente un concetto "relativo", ossia ci da informazioni sul moto relativo tra due punti del corpo in questione, essendo pertanto un concetto relativo NON può avere qualcosa di assoluto come un "asse di rotazione" o quant'altro.
Se noi prendiamo un punto Q e una retta r passante per Q e parallela a $omega$, allora se su r si sceglie il punt P si ha che il prodotto vettoriale a destra dell'equazione di sopra è nullo, quindi risulta $v(P)=v(Q)$, cioè P e Q hanno stessa velocità così come hanno stessa velocità tutti i punti della retta r, nulla ci vieta quindi di considerare r come un "asse di rotazione" e vedere il moto "relativo" di tutti gli altri punti come una "rotazione" attorno a questa retta. Ma la scelta di Q è stata del tutto arbitraria, posso scegliere un qualsiasi altro punto Q e applicare lo stesso ragionamento individuando un'altra retta r e possono ancora vedere questa retta come un asse di rotazione, l'arbitrarietà quindi ci dice che non ha senso "in generale" parlare di asse di rotazione come qualcosa di assoluto, l'unica cosa "assoluta e vera" è solo quella formula dei moti rigidi di sopra.
Chiaramente ci possono essere dei casi particolari.
Se esiste un punto Q che ha velocità nulla, possiamo scrivere la formula dei moti rigidi rispetto a quel punto Q ottenendo:
$v(P)=omegaxx(P-Q)$ ottenendo il moto di precessione, se come detto mandiamo una retta r parallela a omega e passante per Q, si ottiene "l'asse di rotazione" (e come detto prima, asse di rotazione rispetto alla scelta di Q che ho fatto), se omega ha direzione fissa nel tempo tale asse sarà anch'esso fisso ---> e quindi si ottiene la classica "rotazione attorno ad un asse fisso", se omega varia in direzione si ottiene la precessione.
Grazie mille! Credo di cominciare a capire.
Ma quindi dato un corpo rigido S e assegnata la direzione del vettor omega, quello che dici tu non è come dire che allora esistono infiniti possibili assi di rotazione nella data direzione di omega ?
E un’altra cosa: credo che il tuo ragionamento sia “spinto al limite” per cercar di farmi capire il concetto e di questo ti ringrazio. Ma, domanda stupida, se invece mi viene detto che il corpo HA un asse di rotazione x, allora tutto questo discorso dell’arbitrarietà della scelta non c’è piu, vero?
E in quest’ultimo caso l’asse di rotazione assegnato potrà anche muoversi oppure no (se ad esempio ha punto fisso no) ma il moto di ROTAZIONE si riduce sempre a considerare il moto rispetto a tale asse?
Ma quindi dato un corpo rigido S e assegnata la direzione del vettor omega, quello che dici tu non è come dire che allora esistono infiniti possibili assi di rotazione nella data direzione di omega ?
E un’altra cosa: credo che il tuo ragionamento sia “spinto al limite” per cercar di farmi capire il concetto e di questo ti ringrazio. Ma, domanda stupida, se invece mi viene detto che il corpo HA un asse di rotazione x, allora tutto questo discorso dell’arbitrarietà della scelta non c’è piu, vero?
E in quest’ultimo caso l’asse di rotazione assegnato potrà anche muoversi oppure no (se ad esempio ha punto fisso no) ma il moto di ROTAZIONE si riduce sempre a considerare il moto rispetto a tale asse?
"Vulplasir":
Posso cercar di spiegarla in un altro modo.
[...]
Bellissima spiegazione!
Stavo per rispondere io, ma non so se fossi riuscito a scrivere una spiegazione altrettanto chiara.
Complimenti a Vulplasir!
[Se penso a quanto ho sbattutto la testa su questo quando N anni fa (con N>>1) ho studiato Mecanica Razionale! Il professore dava per scontato questi concetti, non difficili affatto una volta compresi, ma nel mare del formalismo di Meccanica Razionale si complicava tutto....]
Ma quindi dato un corpo rigido S e assegnata la direzione del vettor omega, quello che dici tu non è come dire che allora esistono infiniti possibili assi di rotazione nella data direzione di omega ?
Si è proprio così, "l'asse di rotazione" che scegliamo è solo una questione di gusti o di semplificazione di calcoli. Se una retta r del corpo rigido sta ferma, la cosa pià ovvia è considerare il moto del corpo rigido rispetto a quella retta, infatti prendendo un punto Q su quella retta otteniamo $v(P)=omega xx (P-Q)$.
se invece mi viene detto che il corpo HA un asse di rotazione x, allora tutto questo discorso dell’arbitrarietà della scelta non c’è piu, vero?
Ovviamente no, non c'è più arbitrarietà perché l'arbitrarietà è stata tolta una volta che hai scelto l'asse x.
L'esempio più semplice che mi viene in mente è un disco che rotola senza strisciare un su piano...attorno a cosa ruota il disco? attorno al suo centro oppure attorno al punto di contatto col terreno? La risposta chiaramente non c'è, possiamo considerare il disco come rotante attorno al suo centro e traslante con esso, oppure rotante in ogni stante attorno al punto di contatto
Grazie davvero, credo di essermi chiarito le idee.
Quindi in definitiva possiamo dire che il moto di rotazione di un corpo rigido si ha quando in tale moto il vettore omega è diverso da zero e quando esso ha direzione fissa. (Anche perché se la direzione non è fissa allora si ha un moto di precessione).
Dire che ha direzione fissa non significa dire che allora vi è UN asse di rotazione unico e fisso: abbiamo infatti visto che possiamo considerarne infiniti e applicare rispetto ai punti di tale asse la legge fondamentale dei moti rigidi. Questi assi potranno anche muoversi come vogliono ma lasciando immutata la loro direzione.
Vi sono casi in cui l’asse di rotazione è fisso (caso particolare di precessione).
Ti sembra tutto corretto?
E un ultimissimo chiarimento. Come abbiamo visto possiamo considerare infinti assi di rotazione paralleli ad omega se non ci viene specificato nulla. Ti torna che questo però sia un caso prettamente teorico? Perché di fatto nella realtà un corpo rigido non può ruotare attorno ad infiniti assi...
Quindi in definitiva possiamo dire che il moto di rotazione di un corpo rigido si ha quando in tale moto il vettore omega è diverso da zero e quando esso ha direzione fissa. (Anche perché se la direzione non è fissa allora si ha un moto di precessione).
Dire che ha direzione fissa non significa dire che allora vi è UN asse di rotazione unico e fisso: abbiamo infatti visto che possiamo considerarne infiniti e applicare rispetto ai punti di tale asse la legge fondamentale dei moti rigidi. Questi assi potranno anche muoversi come vogliono ma lasciando immutata la loro direzione.
Vi sono casi in cui l’asse di rotazione è fisso (caso particolare di precessione).
Ti sembra tutto corretto?
E un ultimissimo chiarimento. Come abbiamo visto possiamo considerare infinti assi di rotazione paralleli ad omega se non ci viene specificato nulla. Ti torna che questo però sia un caso prettamente teorico? Perché di fatto nella realtà un corpo rigido non può ruotare attorno ad infiniti assi...
"AndrewX":
Ti torna che questo però sia un caso prettamente teorico? Perché di fatto nella realtà un corpo rigido non può ruotare attorno ad infiniti assi...
Sul concetto di rotazione secondo me è utile leggere qui.
E' una vecchia discussione lunga, ma puoi leggere da quel messaggio riassuntivo in poi.
Secondo me aiuta a rifletter ulteriormente sul tema rotazione intorno a qualcosa.
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