Rotazione di una ruota di bicicletta
Salve a tutti,
qualcuno saprebbe spiegarmi fisicamente il fenomeno mostrato in questo video? (http://www.youtube.com/watch?v=8H98BgRz ... cker=False)
Ho provato a pensarci un attimo ma non ne vengo a capo. In particolare vorrei sapere se in una situazione ideale (senza attrito nè da parte dell'aria nè sull'asse di rotazione) la ruota, continuando a girare con velocità angolare costante, rimane in posizione verticale oppure in ogni caso il momento della forza peso la riporta dopo un po' in posizione orizzontale.
Ps: spero non ci sia nessun problema nel postare link, in caso contrario, chiedo venia in anticipo! XD
qualcuno saprebbe spiegarmi fisicamente il fenomeno mostrato in questo video? (http://www.youtube.com/watch?v=8H98BgRz ... cker=False)
Ho provato a pensarci un attimo ma non ne vengo a capo. In particolare vorrei sapere se in una situazione ideale (senza attrito nè da parte dell'aria nè sull'asse di rotazione) la ruota, continuando a girare con velocità angolare costante, rimane in posizione verticale oppure in ogni caso il momento della forza peso la riporta dopo un po' in posizione orizzontale.
Ps: spero non ci sia nessun problema nel postare link, in caso contrario, chiedo venia in anticipo! XD
Risposte
E' il classico fenomeno di precessione.
Dall'equazione del momento angolare della ruota si ottengono le leggi orarie che regolano quel moto.
Se non ci fossero attriti la ruota continuerebbe a ruotare mantenendo l'asse di rotazione sempre orizzontale, tale asse di rotazione a sua volta continuerebbe a girare attorno ad un asse verticale (il cosiddetto moto di precessione).
Per una spiegazione intuitiva guarda qui, nel post precedente di quella discussione trovi le equazioni complete.
Dall'equazione del momento angolare della ruota si ottengono le leggi orarie che regolano quel moto.
Se non ci fossero attriti la ruota continuerebbe a ruotare mantenendo l'asse di rotazione sempre orizzontale, tale asse di rotazione a sua volta continuerebbe a girare attorno ad un asse verticale (il cosiddetto moto di precessione).
Per una spiegazione intuitiva guarda qui, nel post precedente di quella discussione trovi le equazioni complete.
Ma senza matrici di inerzia non c'è modo di far venir fuori dalle equazioni quel moto?? Perchè mi sfugge un passaggio. Io so che finchè la velocità angolare è nulla il momento della forza peso è perpendicolare all'asse di rotazione della ruota e quindi provaca un variazione parallela di L che riporta la ruota in posizione orizzontale. Se omega è diversa da 0 c'è un momento angolare parallelo all'asse di rotazione (I*omega), che quindi è perpendicolare a quello della forza peso... e quindi? è qui che mi perdo esattamente! Se riesci a farmelo capire te ne sarò eternamente grato! 
Per scrivere le equazioni che regolano il moto, la cosa più diretta è passare per la matrice di inerzia. Se vuoi capire qualitativamente ciò che accade quando il peso tende a far cadere la ruota ti rimando invece proprio al messaggio ce ti ho linkato in precedenza (l'ultimo di quella discussione).
Se hai dubbi specifici su quello dimmi, non saprei come scriverlo diversamente io...
Se hai dubbi specifici su quello dimmi, non saprei come scriverlo diversamente io...
In sostanza sul mio libro (Mazzoldi Nigro Voci) è spiegato che se la rotazione non è nulla il momento della forza è perpendicolare al momento angolare, e quindi la variazione (deltaL=M) è parallela al momento al momento della forza, per cui il vettore L inizia il moto di precessione intorno all'asse. In sostanza è questo passaggio che non mi è perfettamente chiaro!
Forse il tuo libro si riferisce al caso in cui la velocità angolare della ruota giaccia sul piano verticale su cui giace anche l'asse di simmetria della ruota e la matrice di inerzia del corpo rigido, calcolata per semplicità rispetto ad un sistema di riferimento solidale al corpo rigido e principale d'inerzia, abbia due precise componenti uguali, condizione che si verifica nel caso della ruota, visto che si suppone che abbia simmetria assiale, sia come forma che coma massa.
In queste condizioni anche il vettore momento angolare, dato dall'applicazione della matrice d'inerzia alla velocità angolare, giace sullo stesso piano verticale di sopra, a cui si verifica che il momento della forza peso è perpendicolare.
Non vedo comunque perchè dovrebbe verificarsi questa condizione.
Sotto una ipotesi un po' limitativa (almeno secondo il mio punto di vista), ovvero quella di angolo di inclinazione costante dell'asse di simmetria rispetto alla verticale, con possibilità di rotazione di tale asse attorno alla vertticale stessa, ho ricavato delle equazioni che (almeno in condizioni stazionarie), mi forniscono una soluzione per la velocità angolare con componente verticale costante e componenti orizzontali (sistema di riferimento fisso) che variano sinusoidalmente, più precisamente in maniera che il vettore velocità angolare ruoti attorno all'asse verticale come l'asse di simmetria della ruota.
In queste condizioni anche il vettore momento angolare, dato dall'applicazione della matrice d'inerzia alla velocità angolare, giace sullo stesso piano verticale di sopra, a cui si verifica che il momento della forza peso è perpendicolare.
Non vedo comunque perchè dovrebbe verificarsi questa condizione.
Sotto una ipotesi un po' limitativa (almeno secondo il mio punto di vista), ovvero quella di angolo di inclinazione costante dell'asse di simmetria rispetto alla verticale, con possibilità di rotazione di tale asse attorno alla vertticale stessa, ho ricavato delle equazioni che (almeno in condizioni stazionarie), mi forniscono una soluzione per la velocità angolare con componente verticale costante e componenti orizzontali (sistema di riferimento fisso) che variano sinusoidalmente, più precisamente in maniera che il vettore velocità angolare ruoti attorno all'asse verticale come l'asse di simmetria della ruota.
Nell'esempio del mio libro omega è parallela al piano orizzontale, ma soprattutto non parla di matrici di inerzia (cosa che penso affronterò in meccanica razionale). Se mi dite che non c'è un modo per spiegarlo senza introdurre quel concetto, allora mi è chiaro almeno perchè non riesco a capirlo bene!
A parte la spiegazione molto intuitiva, data nell'ultimo messaggio della discussione che ho linkato sopra, e che sembra non ti soddisfa visto che non ne fai riferimento (un commento sarebbe stato gradito comunque), e a parte la trattazione rigorosa che vedrai in meccanica razionale, credo che la via che vuole mostrare il libro, che a me NON piace molto è la seguente.
L'equazione del momento per la ruota considerata quando si trova a ruotare con asse orizzontale è
$I (d vec omega)/(dt)=vec M_e$
($vec M_e$ momento della forza peso è anche esso orizzontale ma ortogonale a $vec omega$).
Quindi la variazione infinitesima di $vec omega$ sarà
$d vec omega = vec M_e/I dt$ che è un vettore diretto come $vec M_e$ che sommato a $vec omega$ lo fa ruotare attorno ad un asse verticale dando origine alla precessione.
L'equazione del momento per la ruota considerata quando si trova a ruotare con asse orizzontale è
$I (d vec omega)/(dt)=vec M_e$
($vec M_e$ momento della forza peso è anche esso orizzontale ma ortogonale a $vec omega$).
Quindi la variazione infinitesima di $vec omega$ sarà
$d vec omega = vec M_e/I dt$ che è un vettore diretto come $vec M_e$ che sommato a $vec omega$ lo fa ruotare attorno ad un asse verticale dando origine alla precessione.
io, essendo al primo anno, non ho affrontato tanto l'argomento, però il prof ce lo accennò così:
"se il corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso z e se esso è pure asse di simmetria, allora $L=I_z omega$
L e $omega$ sono vettori. quando però l'asse non è di simmetria ci sarà pure una componente trasversale che girerà attorno a z, e questo moto viene chiamato di precessione"
"se il corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso z e se esso è pure asse di simmetria, allora $L=I_z omega$
L e $omega$ sono vettori. quando però l'asse non è di simmetria ci sarà pure una componente trasversale che girerà attorno a z, e questo moto viene chiamato di precessione"
"jollothesmog":
io, essendo al primo anno, non ho affrontato tanto l'argomento, però il prof ce lo accennò così:
"se il corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso z e se esso è pure asse di simmetria, allora $L=I_z omega$
L e $omega$ sono vettori. quando però l'asse non è di simmetria ci sarà pure una componente trasversale che girerà attorno a z, e questo moto viene chiamato di precessione"
A parte che qui ci si focalizza su un problema diverso da quello del filmato che hai postato, che è cosa accade quando un corpo ruota attorno ad un asse non principale.
In ogni caso questa spiegazione data così fa schifo, credo e spero che il professore abbia dato una spiegazione più completa.
In fisica io non sopporto le spiegazioni semplificate che usano parzialmente e male concetti e strumenti fisici-matematici leggermente più avanzati.
A quel punto è meglio dare spiegazioni molto semplificate che non usano tali strumenti, ma aiutano ad avere un'idea come speravo di aver fatto nell'altra discussione.
non ho posto io la domanda ... cmq era per sottolineare appunto la differenza di spiegazioni
... cmq era per sottolineare appunto la differenza di spiegazioni
"Faussone":
$I (d vec omega)/(dt)=vec M_e$
($vec M_e$ momento della forza peso è anche esso orizzontale ma ortogonale a $vec omega$).
$I$ è una costante? Cioè non dipende dal tempo?
Ora non sono in grado di ripercorrere i passaggi ma a quanto ricordo la formula è $vecM_e(O)=(dvecK(O))/dt$ con $O$ punto fisso o con la stessa velocità del centro di massa e $vecK$ il momento angolare.
Riguardo al problema. Se fissiamo in sistema di riferimento solidale all'asse di simmetria della ruota otteniamo che la ruota in questo sistema sarà soggetta anche a forze apparenti. Che cosa si può dire della componente del momento delle forze lungo l'asse di simmetria della ruota, che in questo caso è anche asse di rotazione (in teoria potrebbe essere anche ferma la ruota)?
Non ho fatto riferimento al tuo commento semplicemente perchè ha peggiorato la situazione XD (senza offesa, la confusione è tutta nella mia testa). Ora mi sforzo di capirlo facendoti delle domande al riguardo 
(anche se la tua ultima spiegazione dovrebbe avermi chiarito almeno il passaggio del libro). Dunque tu dici che "Se la ruota gira attorno al proprio asse, quando la forza peso tende a farla cadere verso il basso, la velocità dei punti della ruota è diversa da una parte e dell'altra :quelli da una parte avranno velocità più alta, quelli dall'altra più bassa, dato che alla "velocità di caduta" va a sommarsi la velocità periferica dovuta alla rotazione. ". Ecco, io già qua non ho capito a cosa ti riferisci con le velocità dei punti più alte e più basse!(Di quali punti stai parlando esattamente?) Nella seconda parte invece, non avendo capito la prima, non colgo nemmeno cosa intendi per forza centrifuga "sbilanciata"!
(anche se la tua ultima spiegazione dovrebbe avermi chiarito almeno il passaggio del libro). Dunque tu dici che "Se la ruota gira attorno al proprio asse, quando la forza peso tende a farla cadere verso il basso, la velocità dei punti della ruota è diversa da una parte e dell'altra :quelli da una parte avranno velocità più alta, quelli dall'altra più bassa, dato che alla "velocità di caduta" va a sommarsi la velocità periferica dovuta alla rotazione. ". Ecco, io già qua non ho capito a cosa ti riferisci con le velocità dei punti più alte e più basse!(Di quali punti stai parlando esattamente?) Nella seconda parte invece, non avendo capito la prima, non colgo nemmeno cosa intendi per forza centrifuga "sbilanciata"!
@sonoqui_
Infatti quella non è una spiegazione rigorosa (una spiegazione rigorosa lo trovi qui ad esempio).
Si potrebbe pensare per capire quella trattazione semplificata, che credo si avvicina a quello che intenda il libro di Giuly19, è che all'inizio la ruota ruoti in assenza di peso, poi appena si introduce il peso si genera quel momento che andrebbe ad alterare il momento angolare e quindi l'asse di rotazione, in quel modo.
Ripeto che è una spiegazione che a me non soddisfa.
Infatti quella non è una spiegazione rigorosa (una spiegazione rigorosa lo trovi qui ad esempio).
Si potrebbe pensare per capire quella trattazione semplificata, che credo si avvicina a quello che intenda il libro di Giuly19, è che all'inizio la ruota ruoti in assenza di peso, poi appena si introduce il peso si genera quel momento che andrebbe ad alterare il momento angolare e quindi l'asse di rotazione, in quel modo.
Ripeto che è una spiegazione che a me non soddisfa.
"Giuly19":
Dunque tu dici che "Se la ruota gira attorno al proprio asse, quando la forza peso tende a farla cadere verso il basso, la velocità dei punti della ruota è diversa da una parte e dell'altra :quelli da una parte avranno velocità più alta, quelli dall'altra più bassa, dato che alla "velocità di caduta" va a sommarsi la velocità periferica dovuta alla rotazione. ". Ecco, io già qua non ho capito a cosa ti riferisci con le velocità dei punti più alte e più basse!(Di quali punti stai parlando esattamente?) Nella seconda parte invece, non avendo capito la prima, non colgo nemmeno cosa intendi per forza centrifuga "sbilanciata"!
Immagina un asse verticale che passa per il centro della ruota, tale asse divide la ruota in due: i punti da una parte ruotando andranno verso l'alto, quelli dall'altra girando andranno verso il basso. Quando la ruota "tende" a cadere per effetto del peso a queste velocità verso l'alto e verso il basso si somma la velocità di caduta che fa sì che i punti che andavano verso il basso sono più veloci rispetto a prima e i punti che andavano verso l'alto più lenti. Se ti metti solidale alla ruota a questo punto la forza centrifuga che agisce sui punti della ruota non è più bilanciata perché i punti che vanno più veloci avranno una forza centrifuga più alta e quelli più lenti più bassa ciò fa muovere l'asse di rotazione della ruota attorno ad un asse orizzontale.
Grazie mille! Penso di aver capito finalmente! Ora vedo se riesco a riprodurre la situazione con una trottola!
@giuly: ci sono delle equazioni da cui poter determinare il moto e delle condizioni che individuano il particolare moto, se la soluzione esiste ed è unica.
Basta dare uno sguardo all'imposizione che il tuo libro fa riguardo alla velocità anglare a a tutti i possibili moti permessi dal vincolo di cerniera sferica che si intende che la perpendicolarità tra momento angolare e momento della forza peso è una limitazione al problema più generale. Possono essere ricavate delle condizini iniziali per cui questa perpendicolarità non vale.
Basta dare uno sguardo all'imposizione che il tuo libro fa riguardo alla velocità anglare a a tutti i possibili moti permessi dal vincolo di cerniera sferica che si intende che la perpendicolarità tra momento angolare e momento della forza peso è una limitazione al problema più generale. Possono essere ricavate delle condizini iniziali per cui questa perpendicolarità non vale.
"Giuly19":
Grazie mille! Penso di aver capito finalmente! Ora vedo se riesco a riprodurre la situazione con una trottola!
Bene!
Per la trottola vale un ragionamento simile infatti.
"Giuly19":
Salve a tutti,
qualcuno saprebbe spiegarmi fisicamente il fenomeno mostrato in questo video? (http://www.youtube.com/watch?v=8H98BgRz ... cker=False)
Ho provato a pensarci un attimo ma non ne vengo a capo. In particolare vorrei sapere se in una situazione ideale (senza attrito nè da parte dell'aria nè sull'asse di rotazione) la ruota, continuando a girare con velocità angolare costante, rimane in posizione verticale oppure in ogni caso il momento della forza peso la riporta dopo un po' in posizione orizzontale.
Ps: spero non ci sia nessun problema nel postare link, in caso contrario, chiedo venia in anticipo! XD
ciò che si osserva nel video si presta a mettere in evidenza due tipici fenomeni che avvengono quando un giroscopio è messo in rapida rotazione, di cui uno non è stato sottolineato finora. Nei post precedenti si è parlato infatti soprattutto della precessione. Degno di nota è anche il fenomeno della tenacia dell'asse giroscopico. Non deve sfuggire il fatto che la ruota di bicicletta in rotazione, una volta disposta con l'asse orizzontale, rimane in tale situazione laddove, se non in rotazione, lasciata libera cade per effetto del peso, disponendosi di nuovo con l'asse verticale. Osservando la ruota appesa alla fune solo da un lato si vede bene come il giroscopio (la ruota in rotazione) si opponga al momento della coppia costituita dalla tensione della fune ed al peso della ruota. Sull'asse della ruota agisce dunque anche un momento che bilancia quello della coppia citata. Entrambi i fenomeni (la tenacia e la tendenza al parallelismo) sono espressione dell'effetto giroscopico.
Con gli strumenti della meccanica analittica l'effetto giroscopico si spiega molto facilmente. Meno se si rinuncia ad essi e ci si limita all'intuito. Il nocciolo dell'effetto giroscopico sta nella causa della tenacia del suo asse; quindi per capirlo bisogna andare lì.
Ti indico una strada possibile. Considera un tratto elementare della periferia del giroscopio, in rapida rotazione. Chiediti quindi cosa succede quando forzi l'asse a ruotare. Intendo che devi cercare di capire come un cambiamento, seppure piccolo, della direzione dell'asse giroscopico si ripercuote sul moto del tratto elementare di cui prima, in termini di cambiamento della velocità, quindi dell'accelerazione. Quali sono allora le forze cui è soggetto e che differenza c'è rispetto a quando ruota senza disturbi esterni. Individuerai allora una forza che si aggiunge, che è alla base di tutto quanto si manifesta.
Che il corpo rigido in rotazione si opponga alla variazione del suo asse mi sembra giusto, ma affermare che questo possa farlo rimanere nella posizione in cui viene messo inizialmente, non molto, in particolare se si spiega questo con la comparsa di altre forze che non ci sono, a meno che non si stia parlando di forze apparenti dovute alla non inerzialità del sistema di riferimento scelto (nel qual caso si l'asse di rotazione della ruota potrebbe rimanere fermo, se si fa la scelta giusta). Se c'è un momento risultante delle forze esterne non nullo rispetto ad un polo, come in questo caso nel sistema di riferimento inerziale, allora c'è variazione del momento angolare nel tempo, anche se ad occhio il sistema potrebbe sembrare in condizioni stazionarie.
"sonoqui_":
Che il corpo rigido in rotazione si opponga alla variazione del suo asse mi sembra giusto, ma affermare che questo possa farlo rimanere nella posizione in cui viene messo inizialmente, non molto, in particolare se si spiega questo con la comparsa di altre forze che non ci sono, a meno che non si stia parlando di forze apparenti dovute alla non inerzialità del sistema di riferimento scelto (nel qual caso si l'asse di rotazione della ruota potrebbe rimanere fermo, se si fa la scelta giusta). Se c'è un momento risultante delle forze esterne non nullo rispetto ad un polo, come in questo caso nel sistema di riferimento inerziale, allora c'è variazione del momento angolare nel tempo, anche se ad occhio il sistema potrebbe sembrare in condizioni stazionarie.
le forze apparenti non esistono; sono un utile escamotage per facilitare l'analisi di un sistema in alcune situazioni. Sono uno strumento più da ingegnere che da fisico.
Poiché siamo in una sezione di Fisica e alle prese con un problema di meccanica, dobbiamo parlare in termini di $vec(f)=mveca$, altrimenti scivoliamo nella filosofia. Riguardati il filmato, osserva l'asse su cui è montata la ruota, imposta per esso le equazioni cardinali della dinamica, e poi ne parliamo.
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