Rotazione corpo rigido e momento di inerzia
Salve a tutti il mio professore di fisica mi ha dato questa spiegazione riguardo alla rotazione di un corpo rigido, avrei bisogno di alcuni chiarimenti e soprattutto siccome ho perso un pò di dimestichezza con i vettori vorrei un pò di aiuto con le formule.
Il corpo ruota come in figura con una certa velocità angolare $ omega $ successivamente calcolo il momento angolare del pezzettino i-esimo $ Deltam $ rispetto al polo $ Omega $
$ Delta $ $ vec(L)=sum_(i = 1\ldots) vec(r)xx mvec(v) $
Considerato che $ Delta $ $ vec(L) $ è perpendicolare a $ vec(r) $ ottengo
$ Delta $ $ | vec(L)|= Deltam |vec(r)| |vec(v)| senTheta hat(n) $
dove $ hat(n) $ rappresenta il versore perpendicolare al vettore posizione e teta rappresenta l'angolo compreso tra il vettore velocità e il vettore spostamento infinitesimo dr (almeno così credo perchè nel ricopiare il disegno mi sono un pò perso; lo spostamento infinitesimo è comunque tangente alla traiettoria circolare che percorre il nostro pezzettino? Non dovrebbe avere la stessa direzione di v?)
Sostituisco $ |vec(r)| $ con $ h/sin gamma $ visto il triangolo rettangolo formato dal vettore posizione con il raggio e l'asse di rotazione e $ |vec(v)| $ con $ h\omega $ per cui ottengo:
$ h/singamma h\omegaDelta mhat(n) $
scompongo $ hat(n) $ in $ cos(pi /2-gamma )hat(z) +sin(pi /2-gamma )hat(n_|_ ) $
alla fine quindi ottengo:
$ Delta $ $ vec(L) $ = $ (h^2Delta m) vec(\omega)+ (h^2Delta m)cotgamma \omegahat(n_|_ ) $
Ovviamente il momento angolare totale sarà la sommatoria di tutti i momenti angolari i-esimi
Ora le domande:
1) quanto vale il modulo di questa roba?E il momento di inerzia?
2) per cotangente di 90 il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione per cui il secondo termine non c'è giusto?
3) come si scompone il momento angolare lungo gli assi? Quali sono i vettori? I loro moduli?
4) La velocità angolare in tutti i casi che ho visto sul libro (es. sbarretta che ruota con momento angolare parallelo all'asse di rotazione, sbarretta che forma un angolo con l'asse ecc.) è sempre costante? Se volessi modificare il modulo di omega senza modificare la direzione che succede? E se volessi modificare la direzione?
5) Come si ottiene attraverso i calcoli vettoriali il momento delle forze? E le sue componenti lungo gli assi? Si può ottenere trattandolo come la derivata di un vettore con modulo costante? Come si inserisce la formula di poisson?
Mi rendo conto che forse l'ho fatta un pò difficile e troppo lungo e spero abbiate la pazienza ed il tempo di rispondermi. Come potete intuire la mia confusione, purtroppo, è frutto maggiormente di alcune mie lacune sul "fantastico" mondo dei vettori, quindi vi prego, sempre se possibile, di non essere brevi nei diversi passaggi. Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno contribuire
Il corpo ruota come in figura con una certa velocità angolare $ omega $ successivamente calcolo il momento angolare del pezzettino i-esimo $ Deltam $ rispetto al polo $ Omega $
$ Delta $ $ vec(L)=sum_(i = 1\ldots) vec(r)xx mvec(v) $
Considerato che $ Delta $ $ vec(L) $ è perpendicolare a $ vec(r) $ ottengo
$ Delta $ $ | vec(L)|= Deltam |vec(r)| |vec(v)| senTheta hat(n) $
dove $ hat(n) $ rappresenta il versore perpendicolare al vettore posizione e teta rappresenta l'angolo compreso tra il vettore velocità e il vettore spostamento infinitesimo dr (almeno così credo perchè nel ricopiare il disegno mi sono un pò perso; lo spostamento infinitesimo è comunque tangente alla traiettoria circolare che percorre il nostro pezzettino? Non dovrebbe avere la stessa direzione di v?)
Sostituisco $ |vec(r)| $ con $ h/sin gamma $ visto il triangolo rettangolo formato dal vettore posizione con il raggio e l'asse di rotazione e $ |vec(v)| $ con $ h\omega $ per cui ottengo:
$ h/singamma h\omegaDelta mhat(n) $
scompongo $ hat(n) $ in $ cos(pi /2-gamma )hat(z) +sin(pi /2-gamma )hat(n_|_ ) $
alla fine quindi ottengo:
$ Delta $ $ vec(L) $ = $ (h^2Delta m) vec(\omega)+ (h^2Delta m)cotgamma \omegahat(n_|_ ) $
Ovviamente il momento angolare totale sarà la sommatoria di tutti i momenti angolari i-esimi
Ora le domande:
1) quanto vale il modulo di questa roba?E il momento di inerzia?
2) per cotangente di 90 il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione per cui il secondo termine non c'è giusto?
3) come si scompone il momento angolare lungo gli assi? Quali sono i vettori? I loro moduli?
4) La velocità angolare in tutti i casi che ho visto sul libro (es. sbarretta che ruota con momento angolare parallelo all'asse di rotazione, sbarretta che forma un angolo con l'asse ecc.) è sempre costante? Se volessi modificare il modulo di omega senza modificare la direzione che succede? E se volessi modificare la direzione?
5) Come si ottiene attraverso i calcoli vettoriali il momento delle forze? E le sue componenti lungo gli assi? Si può ottenere trattandolo come la derivata di un vettore con modulo costante? Come si inserisce la formula di poisson?
Mi rendo conto che forse l'ho fatta un pò difficile e troppo lungo e spero abbiate la pazienza ed il tempo di rispondermi. Come potete intuire la mia confusione, purtroppo, è frutto maggiormente di alcune mie lacune sul "fantastico" mondo dei vettori, quindi vi prego, sempre se possibile, di non essere brevi nei diversi passaggi. Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno contribuire
Risposte
vi prego aiutatemi 
Ma la normale spiegazione si trova su tutti i testi di fisica I.
Ci sono un sacco di errori formali nel post.
Tanto per cominciare, se $L_i$ e' il momento angolare della massettina rappresentata in figura, la scrittura corretta e'
$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\vec{r_i}timesvec{v_i $
Da dove salta fuori quel $DeltaL$???
A prescindere dalla cattiva scrittura, continui: " considerato che $DeltaL$ e' perpendicolare a $\vec{r}$".....
No, che sia perpendicolare e' una conseguenza, non una considerazione aprioristica per continuare il ragionamento.
Quindi andiamo ad analizzare il prodotto vettoriale della sommatoria.
Consideriamo (ora si!) che la velocita $\vec{v_i}$ e' sempre perpendicolare al vettore $\vec{r_i}$, il prodotto vettoriale sara un vettore ortogonale al piano individuato del vettore $\vec{v_i}$ e $\vec{r_i}$.
Il modulo e' esattamente $v_ir_i$ (perche sono perpendicolari quindi il seno del loro angolo e' 90).
La direzione e' un vettore diretto verso l'asse che forma un angolo di $\gamma_i$ rispetto al piano ortogonale a z, passante per la massa (quello che contiene la circonferenza).
Le sue componenti sono dunque
$ r_iv_isin\gamma_i $ (parallelo a z)
$ r_iv_icos\gamma_i $ (ortogonale a z, e diretto verso il centro della circonferenza.
In definitiva:
$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\v_ir_isin\gamma_i\vec{k}+sum_(i = \1ldotsn)dm_i\v_ir_icos\gamma_i\vec{n}$ ($\vec{n}$ e' il versore centripeto).
Il secondo addendo si annulla, perche somma di vettori uguali "centrali" (e questo avviene per ogni singola massettina, dato che si muovono tutte su circonferenze)
E se teniamo conto che $v_i=\omegah_i$ e $r_isin\gamma_i=h$, per sostituzione, il primo addendo diventa:
$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\omegah_icdot\frac{h}{sin\gamma_i}sin\gamma_i\vec{k} = sum_(i = \1ldotsn)dm_i\omegah_i^2\vec{k}$
Siccome $\omega\vec{k}$ e' costante (pari a $\vec{\omega} $, si puo tirare fuori dalla sommatoria.
E per definizione di momento di inerzia, $sum_(i = \1ldotsn)dm_ih_i^2= I$
Da cui $L=I\vec{\omega}$.
Per finire, e' anche imprecisa questa dimostrazione, perche la sommatoria si usa per un sistema finito di masse. Avremmo dovuto usare l'integrale per la figura che hai postato tu, ma non volevo sconvolgere troppo il post originale.
Ci sono un sacco di errori formali nel post.
Tanto per cominciare, se $L_i$ e' il momento angolare della massettina rappresentata in figura, la scrittura corretta e'
$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\vec{r_i}timesvec{v_i $
Da dove salta fuori quel $DeltaL$???
A prescindere dalla cattiva scrittura, continui: " considerato che $DeltaL$ e' perpendicolare a $\vec{r}$".....
No, che sia perpendicolare e' una conseguenza, non una considerazione aprioristica per continuare il ragionamento.
Quindi andiamo ad analizzare il prodotto vettoriale della sommatoria.
Consideriamo (ora si!) che la velocita $\vec{v_i}$ e' sempre perpendicolare al vettore $\vec{r_i}$, il prodotto vettoriale sara un vettore ortogonale al piano individuato del vettore $\vec{v_i}$ e $\vec{r_i}$.
Il modulo e' esattamente $v_ir_i$ (perche sono perpendicolari quindi il seno del loro angolo e' 90).
La direzione e' un vettore diretto verso l'asse che forma un angolo di $\gamma_i$ rispetto al piano ortogonale a z, passante per la massa (quello che contiene la circonferenza).
Le sue componenti sono dunque
$ r_iv_isin\gamma_i $ (parallelo a z)
$ r_iv_icos\gamma_i $ (ortogonale a z, e diretto verso il centro della circonferenza.
In definitiva:
$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\v_ir_isin\gamma_i\vec{k}+sum_(i = \1ldotsn)dm_i\v_ir_icos\gamma_i\vec{n}$ ($\vec{n}$ e' il versore centripeto).
Il secondo addendo si annulla, perche somma di vettori uguali "centrali" (e questo avviene per ogni singola massettina, dato che si muovono tutte su circonferenze)
E se teniamo conto che $v_i=\omegah_i$ e $r_isin\gamma_i=h$, per sostituzione, il primo addendo diventa:
$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\omegah_icdot\frac{h}{sin\gamma_i}sin\gamma_i\vec{k} = sum_(i = \1ldotsn)dm_i\omegah_i^2\vec{k}$
Siccome $\omega\vec{k}$ e' costante (pari a $\vec{\omega} $, si puo tirare fuori dalla sommatoria.
E per definizione di momento di inerzia, $sum_(i = \1ldotsn)dm_ih_i^2= I$
Da cui $L=I\vec{\omega}$.
Per finire, e' anche imprecisa questa dimostrazione, perche la sommatoria si usa per un sistema finito di masse. Avremmo dovuto usare l'integrale per la figura che hai postato tu, ma non volevo sconvolgere troppo il post originale.
Innanzitutto grazie per la risposta; adesso cerco di chiarire meglio alcuni punti.
Per quanto riguarda la sommatoria avevo omesso gli indici perchè non sapevo come inserirli con il latex, infatti l'avevo specificato a parole, il delta L viene fuori perchè il mio professore era partito da un sistema discreto per poi dire che trattandosi di un corpo rigido si aveva un sistema continuo e quindi andava introdotto l'integrale.
Evidentemente mi sono espresso male per quanto riguarda la perpendicolarità del vettore momento angolare rispetto al vettore posizione.
Che fine ha fatto dm?
Ti riferisci sempre al vettore momento angolare? Se è questo, non dovrebbe essere perpendicolare al piano formato da v ed r?
Tu dici che il secondo addendo si annulla, ma questo vero solo se il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione o sbaglio?
Forse ho interpretato male le tue parole. spero avrai ancora la pazienza di aiutarmi. grazie ancora
Per quanto riguarda la sommatoria avevo omesso gli indici perchè non sapevo come inserirli con il latex, infatti l'avevo specificato a parole, il delta L viene fuori perchè il mio professore era partito da un sistema discreto per poi dire che trattandosi di un corpo rigido si aveva un sistema continuo e quindi andava introdotto l'integrale.
Evidentemente mi sono espresso male per quanto riguarda la perpendicolarità del vettore momento angolare rispetto al vettore posizione.
Il modulo e' esattamente v i r i (perche sono perpendicolari quindi il seno del loro angolo e' 90).
Che fine ha fatto dm?
La direzione e' un vettore diretto verso l'asse che forma un angolo di γ i rispetto al piano ortogonale a z, passante per la massa (quello che contiene la circonferenza).
Le sue componenti sono dunque
r i v i sinγ i (parallelo a z)
r i v i cosγ i (ortogonale a z, e diretto verso il centro della circonferenza.
Ti riferisci sempre al vettore momento angolare? Se è questo, non dovrebbe essere perpendicolare al piano formato da v ed r?
In definitiva:
L=∑ i=1...n dm i v i r i sinγ i k ⃗ +∑ i=1...n dm i v i r i cosγ i n ⃗ (n ⃗ e' il versore centripeto).
Tu dici che il secondo addendo si annulla, ma questo vero solo se il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione o sbaglio?
Forse ho interpretato male le tue parole. spero avrai ancora la pazienza di aiutarmi. grazie ancora
Figurati,non c'e' problema, siamo qui proprio per chiarirci. Purtroppo dare spiegazioni per iscritto e' molto piu' difficile che non discutere a viva voce quando entrambi possono intervenire in tempo reale.
Allora, punto per punto:
La questione del $\Delta$ era puramente formale: il $\Delta$ si usa normalmente per descrivere una variazione della della grandezza tra due istanti (generalmente finiti).
Siccome tu stai calcolando un momento angolare (non una differenza), sia in un sistema continuo che discreto dovresti scrivere $L$, non $\DeltaL$. Ma, ripeto, era una formalita'.
Che fine ha fatto dm?
Il $dm_i$ non l'ho fatto sparire. Rimane nella sommatoria (o meglio nell'integrale, perche, sempre per fromalismo, nella sommatoria basterebbe scrivere $m_i$).
I calcoli successivi si riferiscono al solo prodotto vettoriale $r times v$, tant'e' che $m_i$, ritorna dopo, durante le sostituzioni.
Ti riferisci sempre al vettore momento angolare? Se è questo, non dovrebbe essere perpendicolare al piano formato da v ed r?
Quando sviluppi quel prodotto vettoriale, ottieni un vettore ortogonale al piano individuato da $r$ e $v$, quindi puntato in direzione dell'asse z, "innalzato" rispetto al piano della circonferenza su cui si muove la massa, di $\gamma$. L'ho scritto chiaramente, perche e' la considerazione su cui costruire il resto del ragionamento.
Tu dici che il secondo addendo si annulla, ma questo vero solo se il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione o sbaglio?
La domanda e' impropria:
Nel senso che $r_i times v_i$ per quel che ne sai tu durante i calcoli non e' il momento angolare, ma un prodotto vettoriale, che a sua volta, dunque, produce un vettore. Che moltiplicato per la massa e poi sommato su tutte le masse (o integrato, nel caso continuo), ti da il momento angolare $L$.
Pero' prima di fare l'operazione di sommatoria, conviene notare cosa accade alle sommatorie dei componenti del vettore.
E si nota che i componenti ortogonali si annullano per i motivi spiegati prima.
Ne consegue che il momento angolare e' sommatoria solo di componenti paralleli a z (ortogonali al piano della circonferenza) e di conseguenza il vettore momento angolare DEVE essere parallelo a z.
Fatto confermato dalla formula finale a cui si arriva: $L=I\omega\vec{k}$ che si legge, in italiano prolisso e con un certo grado di ridondanza:
"il vettore momento angolare e' un vettore di modulo pari al prodotto di I (comunemente noto come "momento di inierzia") e $\omega$ (comunemente noto come "velocita' angolare"). Il suo verso e la direzione sono individuati da $\vec{k}$, versore associato all'asse di rotazione".
Spero che sia piu' chiaro adesso.
Allora, punto per punto:
La questione del $\Delta$ era puramente formale: il $\Delta$ si usa normalmente per descrivere una variazione della della grandezza tra due istanti (generalmente finiti).
Siccome tu stai calcolando un momento angolare (non una differenza), sia in un sistema continuo che discreto dovresti scrivere $L$, non $\DeltaL$. Ma, ripeto, era una formalita'.
Che fine ha fatto dm?
Il $dm_i$ non l'ho fatto sparire. Rimane nella sommatoria (o meglio nell'integrale, perche, sempre per fromalismo, nella sommatoria basterebbe scrivere $m_i$).
I calcoli successivi si riferiscono al solo prodotto vettoriale $r times v$, tant'e' che $m_i$, ritorna dopo, durante le sostituzioni.
Ti riferisci sempre al vettore momento angolare? Se è questo, non dovrebbe essere perpendicolare al piano formato da v ed r?
Quando sviluppi quel prodotto vettoriale, ottieni un vettore ortogonale al piano individuato da $r$ e $v$, quindi puntato in direzione dell'asse z, "innalzato" rispetto al piano della circonferenza su cui si muove la massa, di $\gamma$. L'ho scritto chiaramente, perche e' la considerazione su cui costruire il resto del ragionamento.
Tu dici che il secondo addendo si annulla, ma questo vero solo se il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione o sbaglio?
La domanda e' impropria:
Nel senso che $r_i times v_i$ per quel che ne sai tu durante i calcoli non e' il momento angolare, ma un prodotto vettoriale, che a sua volta, dunque, produce un vettore. Che moltiplicato per la massa e poi sommato su tutte le masse (o integrato, nel caso continuo), ti da il momento angolare $L$.
Pero' prima di fare l'operazione di sommatoria, conviene notare cosa accade alle sommatorie dei componenti del vettore.
E si nota che i componenti ortogonali si annullano per i motivi spiegati prima.
Ne consegue che il momento angolare e' sommatoria solo di componenti paralleli a z (ortogonali al piano della circonferenza) e di conseguenza il vettore momento angolare DEVE essere parallelo a z.
Fatto confermato dalla formula finale a cui si arriva: $L=I\omega\vec{k}$ che si legge, in italiano prolisso e con un certo grado di ridondanza:
"il vettore momento angolare e' un vettore di modulo pari al prodotto di I (comunemente noto come "momento di inierzia") e $\omega$ (comunemente noto come "velocita' angolare"). Il suo verso e la direzione sono individuati da $\vec{k}$, versore associato all'asse di rotazione".
Spero che sia piu' chiaro adesso.
Mi rendo conto che è difficile comunicare in questo modo e come puoi notare, al di là dei formalismi, ho difficoltà a farti comprendere i miei dubbi. Sto studiando sul mencuccini (spero che tu ne sia munito così forse riusciremo a parlare la stessa lingua. Cap. 7 par. 7.2) dove fa questa differenza: corpo simmetrico rispetto all'asse e corpo asimmetrico. Nel caso ci sia simmetria alla fine di tutta la "giostra" il momento angolare totale del sistema risulta:
$ vec(L_c)=int dmh^2hat(c)omega $
dove il versore c è il versore dell'asse. In questo caso il momento della risultante delle forze è nullo poichè il vettore momento angolare è costante.
Se non c'è simmetria (nel libro dice che aggiunge una massettina, per cui si calcolo il momento relativo alla massettina e lo somma al precedente) viene fuori:
$ vec(L_c)=vec(L_c)+vec(L_0)=I_chat(c)\omega+r_0m_0\omegah_0hat(n_0)=vec(I)\cdot \omega $
dove $ vec(I)=I_chat(c)+r_0mh_0hat(n) $ è un vettore solidale al sistema (e dunque rotante con esso), caratteristico del sistema e dell'asse. (ovvero?)
Poi aggiunge: se il sistema ruota in torno a quest'asse con velocità angolare costante il momento angolare non è costante a parte il suo modulo. Dunque il momento della risultante delle forze è diverso da zero.
Dopo questo scompone il momento angolare sugli assi (e non mi trovo) per cui si sarà una componente lungo l'asse e una perpendicolare all'asse; in particolare la derivata di quest'ultima la scrive mediante la formula di poisson, ecc...ed io mi perdo.
In conclusione ho capito cosa succede, ma a livello di formule prodotti vettoriali, scalari, sommatorie, integrali ecc. mi perdo e alla fine mi sembra di non aver capito nulla. E' evidente la mia frustrazione, ad ogni modo grazie ancora per l'aiuto e spero con quest'ultimo post di essere riuscito a spiegare meglio i miei dubbi.
$ vec(L_c)=int dmh^2hat(c)omega $
dove il versore c è il versore dell'asse. In questo caso il momento della risultante delle forze è nullo poichè il vettore momento angolare è costante.
Se non c'è simmetria (nel libro dice che aggiunge una massettina, per cui si calcolo il momento relativo alla massettina e lo somma al precedente) viene fuori:
$ vec(L_c)=vec(L_c)+vec(L_0)=I_chat(c)\omega+r_0m_0\omegah_0hat(n_0)=vec(I)\cdot \omega $
dove $ vec(I)=I_chat(c)+r_0mh_0hat(n) $ è un vettore solidale al sistema (e dunque rotante con esso), caratteristico del sistema e dell'asse. (ovvero?)
Poi aggiunge: se il sistema ruota in torno a quest'asse con velocità angolare costante il momento angolare non è costante a parte il suo modulo. Dunque il momento della risultante delle forze è diverso da zero.
Dopo questo scompone il momento angolare sugli assi (e non mi trovo) per cui si sarà una componente lungo l'asse e una perpendicolare all'asse; in particolare la derivata di quest'ultima la scrive mediante la formula di poisson, ecc...ed io mi perdo.
In conclusione ho capito cosa succede, ma a livello di formule prodotti vettoriali, scalari, sommatorie, integrali ecc. mi perdo e alla fine mi sembra di non aver capito nulla. E' evidente la mia frustrazione, ad ogni modo grazie ancora per l'aiuto e spero con quest'ultimo post di essere riuscito a spiegare meglio i miei dubbi.
Ho studiato dal Mencuccini, ma 30 anni fa, e quindi anche smse ne avessi copia probabilmente sarebbe diversa dalla tua...
I concetti ovviamente restano gli stessi, per cui se mi dai un attimo di tempo cerchero ' di spiegarteli.
Non ho capito cosa non ti e' chiaro, pero'. Il concetto di momento angolare? Lo sviluppo delle formule nel Mencuccini?
La differenza tra sistemi simmetrici e non simmetrici?
Tanto che scrivo il post di risposta, mi metti sualla buona strada?
I concetti ovviamente restano gli stessi, per cui se mi dai un attimo di tempo cerchero ' di spiegarteli.
Non ho capito cosa non ti e' chiaro, pero'. Il concetto di momento angolare? Lo sviluppo delle formule nel Mencuccini?
La differenza tra sistemi simmetrici e non simmetrici?
Tanto che scrivo il post di risposta, mi metti sualla buona strada?
Non mi é molto chiaro lo sviluppo delle formule in particolare nella scomposizione dei vettori ovviamente in tutti e due i tipi di sistemi. Sarebbe utilissimo avere anche un confronto con dei disegni se possibile. Comunque ripeto che il mio problema nasce da una scarsa dimestichezza con i vettori per questo alcuni passaggi mi sembrano arcani o non riesco a vedere i collegamenti. Grazie ancora per la disponibilità
Boh, vediamo se riesco a spiegarlo.
Supponiamo la massa simmetrica, come all'inizio.
Allora per definizione di momento angolare:
$ \vec{L}=int_(m) dmcdot\vec{r}times\vec{v} $
Mi sembra che tu abbia capito i passaggi precedenti (cioe' che il prodotto vettoriale e' un vettore ortogonale al piano individiuato ad $\vec{r}$ e $\vec{v}$, inclinato di $\gamma$ rispetto al piano individuato dalla circonferenza e dunque
Il componente "orizzontale" si elimina (simmetria: tutte le masse che girano sull circonferenza hanno, in posizione diametralmente opposta, una massa con momento uguale e contrario)
I componenti si sommano fino ad ottenere :
$ \vec{L}=I\vec{\omega}=\vec{I}\omega=I\omega\vec{c} $ (tutte scritture equivalenti, e usato $\vec{c}$ per l'asse per congruenza con la tua notazione.
Nota che fino ad adesso non ci sono forze ne momenti in gioco.
Perche'? Perche' il momento e' costante: I e' una caratteristica del corpo che non cambia (una volta assegnato l'asse di rotazione) se il corpo e' rigido. In assenza di attrito $\vec{omega}$ resta costante. Pertanto se il corpo sta ruotando liberamente attorno a un asse e nulla varia vuol dire che la risultante di tutti i momenti e' nulla.
L'analogo di questa formula per e' $\vec{Q}=m\vec{v}$, cioe' la quantita di moto e pari alla massa per la velocita'. E siccome la risultante delle forze e' pari alla variazione di qdm, se questa non cambia, vuol dire che non ci sono forze applicate al corpo oppure la loro risultante e' nulla. Qui sei nello stesso identico caso, ma ora la caratteristica che ha il sistema e' che ruota. Quindi alle forze devi sostituire i loro momenti, alla massa, la massa rotazionale (momento di Inerzia I) e alla velocita' $\vec[v}$, quella angolare $\vec{\omega}$.
Fino a qui ci sei????
Se si andiamo avanti.
Supponi di aggiungere una massa che rompe la simmetria del sistema.
La massa, chiamiamola $m_1$, e' appiccicata alla massa m, a distanza $h_1$ dall'asse di rotazione.
Usando lo stesso polo di rotazione per il calcolo del momento, il momento angolare della massa sbilanciante e'
$\vec{L_1}=m_1cdot\vec{r_1}times\vec{v_1}$
Questo prodotto vettoriale e', di nuovo, un vettore:
- di modulo $v_1r_1$
- ortogonale al piano individuato da $r_1$ e $v_1$ (piano che RUOTA attorno all'asse $c$, e' importante notare, di velocita' $\omega$)
Scomponi ora questo vettore su due componenti: una rispetto all'asse di rotazione $c$ e l'altra rispetto ad un asse ortogonale a $c$ (anch'esso RUOTANTE attorno a $c$ con vel. ang, $\omega$)
Ottieni che:
Per la componente parallela $c$
$L_1c = mv_1r_1sin\gamma=m_1h_1^2\omega$
avendo tenuto conto che
$v_1=\omegar_1sin\gamma$ e
$r_1sin\gamma=h_1$
Se hai seguito fino a qui, dammi conferma, perche il punto nodale viene ora. Se hai dubbi tolgiamoceli ora!
Supponiamo la massa simmetrica, come all'inizio.
Allora per definizione di momento angolare:
$ \vec{L}=int_(m) dmcdot\vec{r}times\vec{v} $
Mi sembra che tu abbia capito i passaggi precedenti (cioe' che il prodotto vettoriale e' un vettore ortogonale al piano individiuato ad $\vec{r}$ e $\vec{v}$, inclinato di $\gamma$ rispetto al piano individuato dalla circonferenza e dunque
Il componente "orizzontale" si elimina (simmetria: tutte le masse che girano sull circonferenza hanno, in posizione diametralmente opposta, una massa con momento uguale e contrario)
I componenti si sommano fino ad ottenere :
$ \vec{L}=I\vec{\omega}=\vec{I}\omega=I\omega\vec{c} $ (tutte scritture equivalenti, e usato $\vec{c}$ per l'asse per congruenza con la tua notazione.
Nota che fino ad adesso non ci sono forze ne momenti in gioco.
Perche'? Perche' il momento e' costante: I e' una caratteristica del corpo che non cambia (una volta assegnato l'asse di rotazione) se il corpo e' rigido. In assenza di attrito $\vec{omega}$ resta costante. Pertanto se il corpo sta ruotando liberamente attorno a un asse e nulla varia vuol dire che la risultante di tutti i momenti e' nulla.
L'analogo di questa formula per e' $\vec{Q}=m\vec{v}$, cioe' la quantita di moto e pari alla massa per la velocita'. E siccome la risultante delle forze e' pari alla variazione di qdm, se questa non cambia, vuol dire che non ci sono forze applicate al corpo oppure la loro risultante e' nulla. Qui sei nello stesso identico caso, ma ora la caratteristica che ha il sistema e' che ruota. Quindi alle forze devi sostituire i loro momenti, alla massa, la massa rotazionale (momento di Inerzia I) e alla velocita' $\vec[v}$, quella angolare $\vec{\omega}$.
Fino a qui ci sei????
Se si andiamo avanti.
Supponi di aggiungere una massa che rompe la simmetria del sistema.
La massa, chiamiamola $m_1$, e' appiccicata alla massa m, a distanza $h_1$ dall'asse di rotazione.
Usando lo stesso polo di rotazione per il calcolo del momento, il momento angolare della massa sbilanciante e'
$\vec{L_1}=m_1cdot\vec{r_1}times\vec{v_1}$
Questo prodotto vettoriale e', di nuovo, un vettore:
- di modulo $v_1r_1$
- ortogonale al piano individuato da $r_1$ e $v_1$ (piano che RUOTA attorno all'asse $c$, e' importante notare, di velocita' $\omega$)
Scomponi ora questo vettore su due componenti: una rispetto all'asse di rotazione $c$ e l'altra rispetto ad un asse ortogonale a $c$ (anch'esso RUOTANTE attorno a $c$ con vel. ang, $\omega$)
Ottieni che:
Per la componente parallela $c$
$L_1c = mv_1r_1sin\gamma=m_1h_1^2\omega$
avendo tenuto conto che
$v_1=\omegar_1sin\gamma$ e
$r_1sin\gamma=h_1$
Se hai seguito fino a qui, dammi conferma, perche il punto nodale viene ora. Se hai dubbi tolgiamoceli ora!
Tutto perfetto tranne quando parli di quantitá di moto. Ok sul fatto che se la quantitá di moto é costante allora la risultante delle forze é nulla, ma nn capisco cosa vuoi dire quando dici che il caso é identico a quello di prima. Perché adesso parli di forze e di momenti delle forze? Non vedo il nesso.
"emmerre":
Tutto perfetto tranne quando parli di quantitá di moto. Ok sul fatto che se la quantitá di moto é costante allora la risultante delle forze é nulla, ma nn capisco cosa vuoi dire quando dici che il caso é identico a quello di prima. Perché adesso parli di forze e di momenti delle forze? Non vedo il nesso.
Non e un nesso, e' un'analogia.
Nel caso di movimenti rettilinei usa forze e quantita' di moto.
Nel caso di moti rotatori, usi momenti e momenti della quantita' di moto.
Serve solo a facilitare la comprensione e a mostrare che c'e' una dualita' tra moti traslatori e moti rotatori. Ogni grandezza nei moti traslatori ha un'equivalente grandezza nel moto rotatorio:
massa m -> momento di inerzia I
Forza -> Momento
velocita' -> velocita' angolare
e cosi via.
Allora riprendiamo.
Nel caso dell'asse passante per il piano di simmetria, il momento angolare $L$ e' costante.
Infatti I e' costante e $\omega$, in assenza di momenti e' costante.
Siccome la risultante dei momenti e' pari alla variazione di $L$ (che e' nulla), vuol dire che la risultante dei momenti esterni e' nulla.
Vuol dire che il corpo ruota e l'asse di rotazione resta fisso o tutt' al piu' si muove parallelamente a se stesso.
In questo caso, ai miei tempi, si diceva che l'asse e' un asse libero di rotazione.
Ti ricordo che $\vec{L_c}=I_c\vec{\omega}$.
A causa dell'aggiunta della massa, il momento totale ora varia, non solo in modulo, ma anche in direzione, poiche' e' la somma del momento angolare simmetrico $\vec{L_c}$ piu' il momento angolare dovuto alla massa asimmetrica $\vec{L_{1c}$:
$\vec{L_t}=\vec{L_c}+\vec{L_1}=I_c\vec{omega}+\vec{L_{1c}$
Sommando per componenti, lungo l'asse $c$ e quello ortogonale a $c$ passante per la massa asimmetrica:
Componente di $\vec{L_t}$ lungo l'asse, somma delle due componenti lungo l'asse dei due momenti angolari:
$L_{tc}=I_c\omega+m_1h^2\omega = (I_c+m_1h^2)\omega$
La quantita' tra parentesi e' un momento di inerzia "generale", perche somma del momento di inerzia della massa simmetrica e di quello della massa asimmetrica. Quindi lo possiamo chiamare $I'_c$ e possiamo scrivere che
$L_{tc}= (I_c+m_1h_1^2)\omega = I'_c\omega$.
Resta adesso da calcolare la componente ortogonale. Il momento angolare simmetrico non ha componente ortogonale.
Quindi la sola componente ortogonale del momento angolare totale $L_t$ e' dovuta alla massa sbilanciante.
La sua quantita' non ci interessa, per cui lo indichiamo semplicemente come
$L_{cn}$ (componente ortogonale a $c$ di $L$.
Quello che ci interessa e' che il maledetto ruota! E siccome ruota, anche se il suo modulo si mantiene costante, il vettore stesso non e' costante. Quindi la sua derivata ${d\vec{L_{cn}}}/{dt}$ non e' nulla.
E siccome la variazione del momento angolare rispetto al tempo e' pari al momento delle forze esterne, significa per forza di cose, che il momento delle forze esterne NON e' nullo.
Cioe', a causa dell'asimmetria, l'asse non e' piu' un "asse libero di rotazione": quindi, abbandonando il sistema a se stesso, l'asse di rotazione tenderebbe a rotare intorno a un asse ortogonale ad esso (nel caso simmettrico stava fermo, o al piu' traslava parallelamente a se stesso). L'unico modo per mantenerlo parallelo a se stesso e' quello di applicare un momento esterno, che (normalmente) viene applicato all'asse per il tramite dei cuscinetti (vincoli) dell'asse.
E qui mi rifermo per riprendere fiato ed essere sicuro che non ci siano dubbi prima di valutare ${d\vec{L_{cn}}}/{dt}$.
Ok ti seguo. L'unica cosa che ti chiedo ancora è di aggiungere i versori e gli angoli così da poter avere un quadro completo di tutta la questione e finalmente togliermi ogni dubbio per quanto riguarda la scomposizione di sti maledetti vettori. Grazie sei diventato la mia salvezza
Non occorre aggiungere ulteriori versori e angoli:
I versori che descrivono pienamente il sistema sono il versore $\vec{c}$ (che individua l'asse di rotazione) e il versore $\vec{n}$ (che finora non ho mai menzionato esplicitamente, ma solo descritto a parole: e' il versore individuato dal prodotto vettoriale $\vec{r}times\vec{v}$, cioe' il famoso versore ruotante che punta sempre l'asse di rotazione, formando l'angolo $\gamma$ con il piano della circonferenza dove circola la massa $m_1$ sbilanciante. puoi visualizzarlo "appiccicato" alla massa $m_1$.
$\gamma$ e' quello della tua figura, ed e' sufficiente a descrivere il sistema.
Riprendo (e non c'e' molto da dire): Allora abbiamo visto che la massa asimmetrica "sbilancia" il vettore momento angolare totale. Se la massa asimmetrica non fosse presente, il momento angolare e' un vettore costante ($I\omega\vec{c}$) sia in modulo che in verso, parallelo sempre all'asse. Siccome non varia, il momento delle forze esterne e' nullo, e quindi l'asse di rotazione sta fermo (escludiamo da ora in poi il fatto che si puo' muovere parallelamente a se stesso).
Nel caso di massa asimmetrica, il vettore momento angolare e' ruotato di un certo angolo (chiamiamolo $\theta$) e pertanto descrive un cono di apertura $\theta$, con vertice nel polo $\Omega$.
Attenzione che $\theta$ e' in generale diverso da $\gamma$, dipendendo entrambi gli angoli dalla scelta del polo di rotazione, cioe dalla distanza del polo $\Omega$ dal piano ortogonale a $\vec{c}$ e passante per la massa asimmetrica.
Questo vettore rotante ha, come gia' detto, componente parallela all'asse pari a
$(I+m_1h_1^2)\omega\vec{c}$
Invece, la componente (rotante) lungo l'asse orizzontale e' quella che fa si che il moto di rotazione possa avere luogo solo se e' applicato un momento di forze. Infatti, il modulo della componente orizzontale resta costante, ma non resta costante le direzione.
Ora, in generale, la derivata di un vettore $\vec{L}=L\vec{\tau}$, che ruota di velocita angolare $\omega$, e'
$ {d\vec{L}}/{dt}={d(L\vec{\tau})}/{dt}= {dL}/{dt}\vec{\tau}+L{d\vec{\tau}}/{dt} $ ($\vec{\tau}$ e' il "raggio versore")
Se il modulo e' costante (come nel nostro caso), ${dL}/{dt}=0$.
Resta da valutare il secondo addendo dell'ultimo membro, e per farlo basta considerare che Il raggio versore ha componenti nel piano di rotazione
$\vec{\tau}=(cos\theta,sin\theta)$
Derivando rispetto al tempo:
$ {d\vec{\tau}}/{dt}=({dcos\theta}/{dt}, {dsin\theta}/{dt})=(-{d\theta}/{dt}sin\theta,{d\theta}/{dt}cos\theta)=\omega(-sin\theta,cos\theta) $
In definitiva,
$ {d\vec{L}}/{dt}=L\omega(-sin\theta,cos\theta)$
Il termine tra parentesi e' un versore di modulo unitario, ruotato di 90 gradi rispetto a $\vec{n}$ (basta disegnarli e te ne rendi conto).
Allora, $ {d\vec{L}}/{dt}$ e' un vettore:
(1) Di modulo $L\omega$
(2) Ruotato di 90 gradi rispetto a $\vec\L$
quindi con scrittura compatta, puoi scrivere che :
$ {d\vec{L}}/{dt}=\vec{\omega}times\vec{L}$ (per dfinizione di prodotto vettoriale, se ruoti $\vec{\omega}$ su $\vec{L}$ secondo la mano destra, ottieni un vettore che soddisfa esattamente (1) e (2).
Quindi, nota la componente orizzontale del momento angolare $\vec{L_{co}}$, la sua derivata ci da il momento che deve agire sull'asse per permettere il moto e questo momento, per definizione di derivata di vettore poc'anzi espressa, deve essere:
$\vec{M^(e)}=\vec{\omega}times\vec{L_{co}}$
Credo che basti cosi? O hai ancora qualche dubbio?
I versori che descrivono pienamente il sistema sono il versore $\vec{c}$ (che individua l'asse di rotazione) e il versore $\vec{n}$ (che finora non ho mai menzionato esplicitamente, ma solo descritto a parole: e' il versore individuato dal prodotto vettoriale $\vec{r}times\vec{v}$, cioe' il famoso versore ruotante che punta sempre l'asse di rotazione, formando l'angolo $\gamma$ con il piano della circonferenza dove circola la massa $m_1$ sbilanciante. puoi visualizzarlo "appiccicato" alla massa $m_1$.
$\gamma$ e' quello della tua figura, ed e' sufficiente a descrivere il sistema.
Riprendo (e non c'e' molto da dire): Allora abbiamo visto che la massa asimmetrica "sbilancia" il vettore momento angolare totale. Se la massa asimmetrica non fosse presente, il momento angolare e' un vettore costante ($I\omega\vec{c}$) sia in modulo che in verso, parallelo sempre all'asse. Siccome non varia, il momento delle forze esterne e' nullo, e quindi l'asse di rotazione sta fermo (escludiamo da ora in poi il fatto che si puo' muovere parallelamente a se stesso).
Nel caso di massa asimmetrica, il vettore momento angolare e' ruotato di un certo angolo (chiamiamolo $\theta$) e pertanto descrive un cono di apertura $\theta$, con vertice nel polo $\Omega$.
Attenzione che $\theta$ e' in generale diverso da $\gamma$, dipendendo entrambi gli angoli dalla scelta del polo di rotazione, cioe dalla distanza del polo $\Omega$ dal piano ortogonale a $\vec{c}$ e passante per la massa asimmetrica.
Questo vettore rotante ha, come gia' detto, componente parallela all'asse pari a
$(I+m_1h_1^2)\omega\vec{c}$
Invece, la componente (rotante) lungo l'asse orizzontale e' quella che fa si che il moto di rotazione possa avere luogo solo se e' applicato un momento di forze. Infatti, il modulo della componente orizzontale resta costante, ma non resta costante le direzione.
Ora, in generale, la derivata di un vettore $\vec{L}=L\vec{\tau}$, che ruota di velocita angolare $\omega$, e'
$ {d\vec{L}}/{dt}={d(L\vec{\tau})}/{dt}= {dL}/{dt}\vec{\tau}+L{d\vec{\tau}}/{dt} $ ($\vec{\tau}$ e' il "raggio versore")
Se il modulo e' costante (come nel nostro caso), ${dL}/{dt}=0$.
Resta da valutare il secondo addendo dell'ultimo membro, e per farlo basta considerare che Il raggio versore ha componenti nel piano di rotazione
$\vec{\tau}=(cos\theta,sin\theta)$
Derivando rispetto al tempo:
$ {d\vec{\tau}}/{dt}=({dcos\theta}/{dt}, {dsin\theta}/{dt})=(-{d\theta}/{dt}sin\theta,{d\theta}/{dt}cos\theta)=\omega(-sin\theta,cos\theta) $
In definitiva,
$ {d\vec{L}}/{dt}=L\omega(-sin\theta,cos\theta)$
Il termine tra parentesi e' un versore di modulo unitario, ruotato di 90 gradi rispetto a $\vec{n}$ (basta disegnarli e te ne rendi conto).
Allora, $ {d\vec{L}}/{dt}$ e' un vettore:
(1) Di modulo $L\omega$
(2) Ruotato di 90 gradi rispetto a $\vec\L$
quindi con scrittura compatta, puoi scrivere che :
$ {d\vec{L}}/{dt}=\vec{\omega}times\vec{L}$ (per dfinizione di prodotto vettoriale, se ruoti $\vec{\omega}$ su $\vec{L}$ secondo la mano destra, ottieni un vettore che soddisfa esattamente (1) e (2).
Quindi, nota la componente orizzontale del momento angolare $\vec{L_{co}}$, la sua derivata ci da il momento che deve agire sull'asse per permettere il moto e questo momento, per definizione di derivata di vettore poc'anzi espressa, deve essere:
$\vec{M^(e)}=\vec{\omega}times\vec{L_{co}}$
Credo che basti cosi? O hai ancora qualche dubbio?
Ti ringrazio per me va bene così sei stato gentilissimo.
Professokappa scusa se ti disturbo ancora, ma rileggendo l'ultimo post mi sono un pò perso con gli angoli. Per intenderci $ gamma $ è l'angolo che il raggio vettore forma con l'asse di rotazione, con $ Theta $ io avevo indicato l'angolo compreso tra il raggio vettore e la velocità che poi sarebbe di 90°.
Il $ Theta $ che hai usato tu a cosa si riferisce di preciso?
Il $ Theta $ che hai usato tu a cosa si riferisce di preciso?
$\theta$ e' l'angolo necessario a individuare, sul piano ortogonale all'asse, la posizione della proiezione di $L$ sul piano stesso (avrai capito che quella componente, al contrario di quella parallela all'asse, ruota con velocita' $\omega={d\theta}/{dt}$)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo