ROCCHETTO
salve ragazzi, ho problemi enormi con i rocchetti, non riesco mai a capire le relazioni tra accelerazioni e spostamenti. Vi volevo chiedere una mano con quest' esercizio. In pratica il blocco $M_1$ sul piano inclinato scivola senza attrito, poi abbiamo 1 rocchetto formato da 2 cilindri $M_B, R_B$ che è il più grande e $M_A, R_A$ che è il più piccolo
ora devo trovare l'accelerazione di M1. Allora io so che l'accelerazione a1 è uguale al punto di contatto del cilindro più piccolo e che il cilindro più grande è 2 volte l'accelerazione del centro di massa del cilindro + piccolo. Ora, come faccio a legare l'accelerazione a1 con quella di a3 ??? Aiutatemi per piacere!!!!!!!
ora devo trovare l'accelerazione di M1. Allora io so che l'accelerazione a1 è uguale al punto di contatto del cilindro più piccolo e che il cilindro più grande è 2 volte l'accelerazione del centro di massa del cilindro + piccolo. Ora, come faccio a legare l'accelerazione a1 con quella di a3 ??? Aiutatemi per piacere!!!!!!!
Risposte
Allora:
immaginiamo che il cilindro rotoli verso destra di una piccola distanza $d$.
La $M_3$ (quella a sinistra) sale di $2d$, fin qui ci siamo.
Di quanto si sposta $M_1$ ?
Il centro del cilindro si sposta di $d$, IN PIU' si srotola un pezzo di fune pari a $d R_A/R_B$.
Quindi $M_1$ si sposta di $d(1+R_A/R_B)$
Ora, se derivo $d$ due volte ottengo l'accelerazione $a$ del centro del cilindro e posso anche ricavare le altre accelerazioni.
Salto un po' di passaggi è scrivo che la forza risultante che muove il sistema è:
$F =M_1\ sin\theta\ (1+R_A/R_B)\ g-M_3\ 2g$
Questa forza $F$ quante masse deve muovere ?
Deve muovere $M_1$, $M_3$, deve postare il baricentro del rocchetto $M_A+M_B$, e in più deve far ruotare il rocchetto, che ha un suo momento d'inerzia.
L'equazione classica per l'accelerazione angolare è: $\alpha=\tau/I$ che posso riscrivere come
$a/R_B=(F_R\ R_B)/(1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))$
ossia
$F_R/a= (1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))/(R_B^2)$
dove $F_R$ è la forza applicata sulla circonferenza esterna.
Mi sa che abbiamo tutto perchè posso scrivere:
$F/a = M_1\ (1+R_A/R_B) + 2M_3+ M_A+M_B+(1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))/(R_B^2)$
dove $F$ è la forza risultante calcolata prima.
Se volessimo scrivere tutto in un unico formulone, con $a$ accelerazione del centro del rocchetto.
$a = (M_1\ sin\theta\ (1+R_A/R_B)\ g-M_3\ 2g)/( M_1\ (1+R_A/R_B) + 2M_3+ M_A+M_B+(1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))/(R_B^2))$.
Se poi ancora volessimo l'accelerazione di $M_1$ ricordiamo che il rapporto tra accelerazione M1 e accelerazione centro del cilindro è $1+R_A/R_B$
Alla fine
$a_(M1) = (M_1\ sin\theta\ (1+R_A/R_B)^2\ g-M_3\ 2g\ (1+R_A/R_B))/( M_1\ (1+R_A/R_B) + 2M_3+ M_A+M_B+(1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))/(R_B^2))$
immaginiamo che il cilindro rotoli verso destra di una piccola distanza $d$.
La $M_3$ (quella a sinistra) sale di $2d$, fin qui ci siamo.
Di quanto si sposta $M_1$ ?
Il centro del cilindro si sposta di $d$, IN PIU' si srotola un pezzo di fune pari a $d R_A/R_B$.
Quindi $M_1$ si sposta di $d(1+R_A/R_B)$
Ora, se derivo $d$ due volte ottengo l'accelerazione $a$ del centro del cilindro e posso anche ricavare le altre accelerazioni.
Salto un po' di passaggi è scrivo che la forza risultante che muove il sistema è:
$F =M_1\ sin\theta\ (1+R_A/R_B)\ g-M_3\ 2g$
Questa forza $F$ quante masse deve muovere ?
Deve muovere $M_1$, $M_3$, deve postare il baricentro del rocchetto $M_A+M_B$, e in più deve far ruotare il rocchetto, che ha un suo momento d'inerzia.
L'equazione classica per l'accelerazione angolare è: $\alpha=\tau/I$ che posso riscrivere come
$a/R_B=(F_R\ R_B)/(1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))$
ossia
$F_R/a= (1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))/(R_B^2)$
dove $F_R$ è la forza applicata sulla circonferenza esterna.
Mi sa che abbiamo tutto perchè posso scrivere:
$F/a = M_1\ (1+R_A/R_B) + 2M_3+ M_A+M_B+(1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))/(R_B^2)$
dove $F$ è la forza risultante calcolata prima.
Se volessimo scrivere tutto in un unico formulone, con $a$ accelerazione del centro del rocchetto.
$a = (M_1\ sin\theta\ (1+R_A/R_B)\ g-M_3\ 2g)/( M_1\ (1+R_A/R_B) + 2M_3+ M_A+M_B+(1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))/(R_B^2))$.
Se poi ancora volessimo l'accelerazione di $M_1$ ricordiamo che il rapporto tra accelerazione M1 e accelerazione centro del cilindro è $1+R_A/R_B$
Alla fine
$a_(M1) = (M_1\ sin\theta\ (1+R_A/R_B)^2\ g-M_3\ 2g\ (1+R_A/R_B))/( M_1\ (1+R_A/R_B) + 2M_3+ M_A+M_B+(1/2(M_A R_A^2+M_B R_B^2))/(R_B^2))$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo