Ritratto in fase

[Keyzan]

Ciao a tutti ragazzi, vi propongo questo esercizio:

Per tracciare le linee di flusso, prima di tutto devo andare a calcolare i punti di equilibrio del sistema. Ponendo:
$ { ( y=0 ),( (r-x^2)y-x=0 ):} $ , trovo un solo punto di equilibrio $ P_0(0,0) , $ ($x=0$e $y=0$).
A questo punto vado a studiarne la stabilità. Considero a questo punto la matrice Jacobiana:
$ A= ( ( 0 , -2xy-1 ),(1 , r-x^2 ) ) $ , nel punto di equilibrio la matrice assume la forma $ A_(P_0)= ( ( 0 , -1 ),(1 , r ) ) $ .
Passando al calcolo degli autovalori di questa ultima matrice ottengo: $ lambda_(1,2)=(r+-sqrt(r^2-4))/2 $ . A questo punto al variare del valore di $r$, si avranno due diversi punti di equilibrio in $P_0$. Nel caso in cui $00$, di conseguenza si avrà un $"Fuoco stabile"$. In caso contrario se $r>=2$, si avranno autovalori tali per cui $lambda_1>lambda_2>0$ così si avrà un $"Nodo instabile"$ in $P_0$.

A questo punto tracciamo il ritratto in fase per un valore di $r>2$, ad esempio $r=4$. Abbiamo quindi un Nodo instabile in $P_0$. A questo punto seguendo le indicazioni di questa tabella:

ho tracciato il ritratto in fase in questo modo:
ho considerato $ f(x,y) = y $ e $ g(x,y) = (4-x^2)y-x $ e studiato il segno. Ho trovato che $ f(x,y) >=0 hArr y>=0 $ che rappresenta il piano delle $y$ positive e $ g(x,y) >=0 hArr y>=x/(4-x^2) $ rappresentato dal seguente grafico:

Utilizzando quindi la tabella sullo studio qualitativo del ritratto di fase riportata sopra, ho trovato il seguente ritratto di fase:


Non sono sicura della correttezza di questo risultato anche perchè il risultato del professore è diverso, cioè:



Non riesco a capire quale sia il problema. Grazie in anticipo!