Risultato strano
Salve a tutti, il risultato di questo problema riportato nel libro è strano:
Un filo filo elastico ha una lunguezza di riposo $L_0$ e una costante elastica $k$. Quando al il filo viene sospeso verticalmente un corpo di massa $m$, il filo si allunga di $Y_0$. Un estremo del filo è attacato alla sommità di un piano inclinato che forma un angolo di 30° con l'orizzontale. Il corpo di massa $m$ viene attaccato al filo adagiato lungo il piano inclinato e poi abbandonato a se stessocon il filo nella condizione non deformata. Quanto spazio percorre il corpo striscando all'ingiù lungo il piano inclinato prima di arrstarsi per la prima volta ?
Lo spazio percorso è $Y_0$, ma a me risulta invece che sia $Y_0/2$. E' sbagliato o no il risultato riportato nel testo?
Un filo filo elastico ha una lunguezza di riposo $L_0$ e una costante elastica $k$. Quando al il filo viene sospeso verticalmente un corpo di massa $m$, il filo si allunga di $Y_0$. Un estremo del filo è attacato alla sommità di un piano inclinato che forma un angolo di 30° con l'orizzontale. Il corpo di massa $m$ viene attaccato al filo adagiato lungo il piano inclinato e poi abbandonato a se stessocon il filo nella condizione non deformata. Quanto spazio percorre il corpo striscando all'ingiù lungo il piano inclinato prima di arrstarsi per la prima volta ?
Lo spazio percorso è $Y_0$, ma a me risulta invece che sia $Y_0/2$. E' sbagliato o no il risultato riportato nel testo?
Risposte
Il risultato del testo è corretto. Devi tener conto che il fenomeno è dinamico....
Cioè? Nn capisco..
Per quale motivo ti viene $Y_o/2$? In che modo hai preso in considerazione l'inclinazione del piano?
L'inclinazione del piano è tale da rendere la forza applicata alla molla la metà della forza peso agente sulla massa. Dunque la molla si allunghera finche nn eserciterra sul corpo una forza uguale e contraria a alla meta della forza peso. l'allungamento è la meta di Yo. Non è cosi??
"mircoFN":
Il risultato del testo è corretto. Devi tener conto che il fenomeno è dinamico....
Scusa mircoFN,dato che la forza applicata all'elastico sul piano inclinato è sicuramente minore della forza peso, cm è possibile che l'elastico si allunghi esattamente Y0 , cioè l'allungamento che si ha quando sulla molla agiva la forza peso ?
Devi considerare che la massa è in movimento prima di fermarsi!
Per risolvero bisogna fare semplici considerazioni energetiche.
Per risolvero bisogna fare semplici considerazioni energetiche.
Facciamo considerazioni energetiche:
Nel momento iniziale del moto, in cui la massa viene appoggiata alla molla non deformata, avremo solo energia potenziale gravitazionale $E_i=mgh$.
Nel momento finale del moto, in cui la massa ha velocità nulla e causa un certo allungamento della molla, avremo solo energia potenziale elastica $E_f=1/2ky^2$, dove con $y$ intendo l'allungamento richiesto dal problema.
Se fai un disegno, ti accorgi che $h=ysin30=1/2y$.
Applichi la conservazione dell'energia meccanica:
$1/2mgy=1/2ky^2$
da cui $ky^2-mgy=0$, da cui ottieni $y=0$ e $y=(mg)/k$. Questa quantità è la stessa di $y_0$, che viene infatti definito da $mg=ky_0$
Nel momento iniziale del moto, in cui la massa viene appoggiata alla molla non deformata, avremo solo energia potenziale gravitazionale $E_i=mgh$.
Nel momento finale del moto, in cui la massa ha velocità nulla e causa un certo allungamento della molla, avremo solo energia potenziale elastica $E_f=1/2ky^2$, dove con $y$ intendo l'allungamento richiesto dal problema.
Se fai un disegno, ti accorgi che $h=ysin30=1/2y$.
Applichi la conservazione dell'energia meccanica:
$1/2mgy=1/2ky^2$
da cui $ky^2-mgy=0$, da cui ottieni $y=0$ e $y=(mg)/k$. Questa quantità è la stessa di $y_0$, che viene infatti definito da $mg=ky_0$
Grazie Elios ora ho capito. Nn mi è chiaro pero perchè supponi che quando sospendiamo verticalmente il corpo all'elastico che si allunga di $Y_0$ e il corpo nn converte l'energia potenziale elastica $U=1/2kY_0^2$ in energia potenziale gravitazionale(cioè rimane fermo), mentre invece quando lo mettiamo sul piano inclinato il corpo si muove convetendo la sua enrgia potenziale elastica in gravitazionale e vicerversa.
Ho capito quello che vuoi dire.. Ovviamente anche nel caso in cui "appendi" il blocco alla molla abbiamo una conversione di energia, che però tutt'al più va da potenziale gravitazione a potenziale elastica, non viceversa. Infatti, nel momento in cui appendi la massa, essa si troverà ad una certa altezza $H$ dal terreno, quando poi inizierà ad oscillare, toccherà il suo punto più basso ad un'altezza dal suolo $H-2y$, diminuendo la sua energia potenziale ed aumentando la elastica. Inizierà un moto armonico, senza dubbio smorzato, che finirà per portarla al punto di equilibrio. In questo punto le considerazioni energetiche che abbiamo fatto finora, quando la molla si muoveva su e giu, non ci servono più a molto. Adesso è in equilibrio, ha un'accelerazione pari a 0, e ciò è testimone del fatto che la risultante delle forze sia uguale a zero, cioe $mg=ky$.
La differenza col caso del piano inclinato sta qui: la $Y$ che ti chiedono di trovare quando la massa è ferma non deve sembrarti simile alla $y$ che abbiamo trovato imponendo la risultante delle forze uguale a zero; infatti la velocità nulla quando la massa è sul piano inclinato si ha perché è un estremo del moto armonico che la molla sta avendo sul piano inclinato, ed è per questo che ha senso fare quelle considerazioni energetiche che ho fatto all'inizio anche per la molla verticale. Vedi, il problema non ti chiede la lunghezza AFFINCHE' LA MOLLA SUL PIANO INCLINATO SIA IN EQUILIBRIO. Il problema ti chiede la lunghezza massima della molla, o in altri termini, la lunghezza che la molla ha quando la velocità è zero. [Nel punto chiesto infatti la velocità è zero, ma l'accelerazione no! Infatti sarà presto "risucchiato" verso la molla, quindi la risultante delle forze non è zero]
La differenza col caso del piano inclinato sta qui: la $Y$ che ti chiedono di trovare quando la massa è ferma non deve sembrarti simile alla $y$ che abbiamo trovato imponendo la risultante delle forze uguale a zero; infatti la velocità nulla quando la massa è sul piano inclinato si ha perché è un estremo del moto armonico che la molla sta avendo sul piano inclinato, ed è per questo che ha senso fare quelle considerazioni energetiche che ho fatto all'inizio anche per la molla verticale. Vedi, il problema non ti chiede la lunghezza AFFINCHE' LA MOLLA SUL PIANO INCLINATO SIA IN EQUILIBRIO. Il problema ti chiede la lunghezza massima della molla, o in altri termini, la lunghezza che la molla ha quando la velocità è zero. [Nel punto chiesto infatti la velocità è zero, ma l'accelerazione no! Infatti sarà presto "risucchiato" verso la molla, quindi la risultante delle forze non è zero]
Ti ringrazio elios ora ho le idee piu chiare! Pero secondo me il testo del problema avrebbe dovuto dire esplicitamente che la massa appesa verticalmente all'elastico è in l'equilibrio, mentre invece quando è appesa all'elastico al piano inclinato si muove di moto armonico, altrimente l'esercizio è ambiguo. O no?
"Gp741":
Un filo elastico ha una lunguezza di riposo $L_0$ e una costante elastica $k$. Quando al il filo viene sospeso verticalmente un corpo di massa $m$, il filo si allunga di $Y_0$. Un estremo del filo è attacato alla sommità di un piano inclinato che forma un angolo di 30° con l'orizzontale. Il corpo di massa $m$ viene attaccato al filo adagiato lungo il piano inclinato e poi abbandonato a se stessocon il filo nella condizione non deformata. Quanto spazio percorre il corpo striscando all'ingiù lungo il piano inclinato prima di arrstarsi per la prima volta ?
Paradossalmente, le ultime parole "per la prima volta" dovrebbero farti capire, che questo corpo tornerà su, avrà di nuovo velocità uguale a zero (mi sono dimenticata di specificarla prima, sarà proprio nel punto $y=0$, che è una soluzione dell'equazione di prima), e poi di nuovo scenderà e avrà ancora velocità uguale a zero e così via.
Per quando riguarda la parte iniziale, dire che "un corpo di massa $m$ agganciato ad una molla la allunga di $x$" è spesso, ad esempio, un modo per calcolarsi la costante elastica (anche nella costruzione dei dinamometri in effetti si fa così: i dinamometri possono indifferentemente misurare una forza o una massa, proprio perché la massa può essere definita a partire dalla forza peso), e quindi è proprio una cosa automatica scrivere $mg=kx$.
Forse un po' ambiguo lo è, e capisco anche la tua considerazione iniziale e il tuo risultato $Y_o/2$. Ti ho già detto che il calcolo che tu hai fatto in realtà è la lunghezza in cui la massa è a riposo (che oltretutto riporta, perché è a metà fra $Y_o$ e $0$ che sono i punti in cui la molla inverte il moto! In fisica tutto riporta!
)
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