Risultati diversi della potenza, perché?
Ciao a tutti. In questo esercizio sul corpo rigido mi si chiede di calcolare la potenza sviluppata da una forza ed usando due formule diverse per la potenza ottengo risultati diversi. Ecco il testo "Un'asta rigida omogenea di lunghezza $ l $ e massa $ m $ si trova in quiete in un piano orizzontale ed ha un estremo incernierato ad un asse verticale. All'istante $ t=0s $ l'asta viene messa in rotazione sopra il piano orizzontale applicando nel suo punto di mezzo e all'estremo libero due forze di modulo costante rispettivamente uguali a $ F_1 $ e $ F_2=F_1/4 $ . Le due forze hanno verso opposto e sono costantemente perpendicolari all'asta e parallele al piano; tutti gli attriti sono trascurabili. Calcolare: la potenza sviluppata dalla forza $ F_1 $ in funzione del tempo; il modulo della reazione della cerniera all'istante $ t=0s $ e all'istante generico $ t $ . " Dunque io ho utilizzato entrambe le formule per trovarmi la potenza $ P=W/T $ e $ P=F_1v=F_1omegal/2 $ dove nella prima formula il lavoro è quello svolto dalla forza 1. Prendendo la prima formula ho poi utilizzato il t. dell'energia cinetica e quindi $ W=1/2Iomega^2 $ dato che l'energia iniziale è 0 ( asta inizialmente ferma ) e sapendo che $ omega=alphat $ ho trovato $ alpha $ dalla seconda cardinale $ M=Ialpha $ che è uguale a $ alpha=3/4F_1/m1/l $ e moltiplicata questa per $ t $ ho trovato la velocità angolare che elevata al quadrato sono andato a sostituire nella formula del lavoro/energia cinetica. Dunque trovo $ P=W/t=1/2Iomega^2/t $ da cui ho come soluzione $ P=3/32F_1^2/mt $. Se invece seguo la seconda formula, cioè $ P=F_1v=F_1omegal/2 $ con $ omega=alphat $, come prima d'altronde, trovo $ P=3/8F_1/mt $ e quindi un risultato diverso rispetto a prima!! Non riesco a capire dove stia l'errore perché i calcoli matematici, potete anche verificare, sono giusti, li ho ripetuti molte volte ( a meno che non abbia ripetuto lo stesso errore matematico più volte ). Ho bisogno di una mano e vorrei capire il perché soprattutto di questa differenza di risultato, grazie in anticipo
Risposte
Non usare la parola "formula", non esistono formule da usare, si usano teoremi e definizioni. Qual è la definizione di potenza di una forza?
Per definizione la potenza è lavoro applicato in un determinato intervallo di tempo, tradotto in termini matemaatici $ P=W/t $ . Spero di non essermi sbagliato ancora
No, la potenza di una forza $vecF$ agente su un punto materiale di massa $m$ che ha velocità $vecv$ è:
$P=vecF*vecv$
Da questa definizione si ricava il teorema dell'energia cinetica, ossia:
$P=(dT)/(dt)$ (ossia la potenza di una forza è in ogni istante pari alla derivata nel tempo dell'energia cinetica $T$), integrando si ha:
$int_(t_1)^(t_2)Pdt=T(2)-T(1)$
Il termine $int_(t_1)^(t_2)Pdt$ è per definizione il lavoro $L$ della forza $F$ nell'intervallo di tempo tra t_1 e t_2, quindi si può ricavare un'altra uguaglianza, ossia:
$P=vecF*vecv=(dT)/(dt)=(dL)/(dt)$
Quindi puoi calcolare la potenza in 3 modi diversi:
1) come prodotto scalare tra forza e velocità
2) come derivata rispetto al tempo dell'energia cinetica
3) come derivata rispetto al tempo del lavoro svolto dalla forza
$P=vecF*vecv$
Da questa definizione si ricava il teorema dell'energia cinetica, ossia:
$P=(dT)/(dt)$ (ossia la potenza di una forza è in ogni istante pari alla derivata nel tempo dell'energia cinetica $T$), integrando si ha:
$int_(t_1)^(t_2)Pdt=T(2)-T(1)$
Il termine $int_(t_1)^(t_2)Pdt$ è per definizione il lavoro $L$ della forza $F$ nell'intervallo di tempo tra t_1 e t_2, quindi si può ricavare un'altra uguaglianza, ossia:
$P=vecF*vecv=(dT)/(dt)=(dL)/(dt)$
Quindi puoi calcolare la potenza in 3 modi diversi:
1) come prodotto scalare tra forza e velocità
2) come derivata rispetto al tempo dell'energia cinetica
3) come derivata rispetto al tempo del lavoro svolto dalla forza
Quindi ho capito che la definizione è la prima che è stata scritta da te ma perché allora nel calcolo che ho fatto io nell'esercizio mi vengono valori diversi ?
Perché non hai fatto la derivata temporale dell'energia cinetica, hai solo diviso per il tempo
Dunque è sbagliato fare $ P=W/t $ no? Perché da quello che hai scritto tu, ma forse lo intendo male io $ int_(0)^(t) P dt=E_f-E_i $ è del tutto simile ( considerando $ E_i=0 $ ) a ciò che ho scritto io $ P=W/t $ dove il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica ( $ E_f - E_i $ )tra 0 e $ t $ cioè $ 1/2Iomega^2 $
No, non è del tutto simile, non è proprio per niente simile, a sinistra hai un integrale, non puoi portare il tempo fuori dall'integrale così come nulla fosse...quell'integrale è l'integrale della potenza nel tempo, che è uguale alla variazione di energia cinetica...se derivi rispetto al tempo quell'uguaglianza ritrovi la definizione di potenza, ossia $P=(dE)/(dt)$, che non è per niente uguale a $P=E/t$.
D'accordo, grazie per la disponibilità e per il tempo
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