Risonanza in un moto armonico
Buongiorno,
Scrivo perchè non credo di aver ben capito cosa sia la risonanza in un moto armonico. Dovrebbe verificarsi quando si applica una forza variabile ad un moto smorzato tale da massimizzare l'ampiezza.
L'ampiezza è:
$A=(F_0m) /sqrt((k-omega^2m)^2+(bomega)^2)$
Sono abbastanza sicuro di questa formula (sta sul libro).
Derivando rispetto a $omega$ è imponendo la derivata nulla ottengo che
$omega^2=k/m-b^2/(2m^2) $
Da ciò che mi pare di aver capito questa espressione (che dovrebbe essere giusta perché l'ho controllata con geogebra) dovrebbe essere uguale alla pulsazione propria che è
$omega_0^2=k/m$
No capisco dove sbaglio.
Grazie in anticipo a chi risponderà
Scrivo perchè non credo di aver ben capito cosa sia la risonanza in un moto armonico. Dovrebbe verificarsi quando si applica una forza variabile ad un moto smorzato tale da massimizzare l'ampiezza.
L'ampiezza è:
$A=(F_0m) /sqrt((k-omega^2m)^2+(bomega)^2)$
Sono abbastanza sicuro di questa formula (sta sul libro).
Derivando rispetto a $omega$ è imponendo la derivata nulla ottengo che
$omega^2=k/m-b^2/(2m^2) $
Da ciò che mi pare di aver capito questa espressione (che dovrebbe essere giusta perché l'ho controllata con geogebra) dovrebbe essere uguale alla pulsazione propria che è
$omega_0^2=k/m$
No capisco dove sbaglio.
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
garzie mille per la risposta. In realtà la domanda che mi interesserebbe è proprio l'ultima a cui non c'è risposta.
Inoltre, leggendo la discussione mi sono reso conto di aver commesso alcuni errori di battitura. Queste sono le formule corrette
$A=F_0/sqrt((k-omega^2m)^2+(bomega)^2)$
$omega^2=k/m+b^2/2m^2$
Scusatemi
Inserisco anche la derivata che ho calcolato per determinare $omega$ per cui $A$ è massimo (in modo da esporre meglio il ragionamento che ho seguito)
$(dA)/(domega)=(2F_0omega)/(2sqrt((k-omega^2m)^2+(bomega)^2))(b^2+2m(k-omega^2m))$
Inoltre, leggendo la discussione mi sono reso conto di aver commesso alcuni errori di battitura. Queste sono le formule corrette
$A=F_0/sqrt((k-omega^2m)^2+(bomega)^2)$
$omega^2=k/m+b^2/2m^2$
Scusatemi
Inserisco anche la derivata che ho calcolato per determinare $omega$ per cui $A$ è massimo (in modo da esporre meglio il ragionamento che ho seguito)
$(dA)/(domega)=(2F_0omega)/(2sqrt((k-omega^2m)^2+(bomega)^2))(b^2+2m(k-omega^2m))$
"Damiano77":
[...]
No capisco dove sbaglio.
Da nessuna parte.
La risonanza è per definizione quando la forzante periodica ha pulsazione pari alla/e pulsazione/i propria/e.
In presenza di smorzamento è normale che il picco di ampiezza si sposti a valori più bassi del rapporto tra pulsazione forzante e pulsazione propria.
Pensa a ciò che accadrebbe se mancasse il termine relativo allo smorzamento sotto radice nella formula di A :
$A=F_0/sqrt((k-omega^2m)^2+(bomega)^2)$
e cioè se fosse $b=0$. Se la forzante avesse frequenza uguale alla frequenza propria del sistema, anche il primo termine sotto radice sarebbe zero. Perciò l’ampiezza $Ararr\infty$ . Per fortuna nei sistemi meccanici reali c’è sempre, o si introduce appositamente, lo smorzamento, per evitare disastri, come quello famoso del ponte Tacoma Bridge :
https://www.youtube.com/watch?v=XggxeuFDaDU
dove evidentemente di smorzamento ce n’era poco o nulla.
$A=F_0/sqrt((k-omega^2m)^2+(bomega)^2)$
e cioè se fosse $b=0$. Se la forzante avesse frequenza uguale alla frequenza propria del sistema, anche il primo termine sotto radice sarebbe zero. Perciò l’ampiezza $Ararr\infty$ . Per fortuna nei sistemi meccanici reali c’è sempre, o si introduce appositamente, lo smorzamento, per evitare disastri, come quello famoso del ponte Tacoma Bridge :
https://www.youtube.com/watch?v=XggxeuFDaDU
dove evidentemente di smorzamento ce n’era poco o nulla.
"Kanal":
,[....] per evitare disastri, come quello famoso del ponte Tacoma Bridge
[...]
dove evidentemente di smorzamento ce n’era poco o nulla.
Quel crollo è il crollo di ponte più citato a sproposito quando si parla di risonanza.
Quello infatti non è un disastro dovuto alla risonanza, anche perché si dovrebbe ammettere un vento oscillante o una turbolenza (anche se il termine qui è leggermente improprio) che andassero esattamente a eccitare un modo di vibrazione propria, cosa evidentemente quasi impossibile.
È piuttosto un caso di interazione fluido/struttura disastrosa (flutter) che si può innescare anche con vento costante.
Da questo articolo di Wikipedia estraggo la parte seguente sulle possibili cause del crollo del ponte:
C’era addirittura Von Karman nella commissione di inchiesta. Salta agli occhi la frase seguente, dove si parla di vibrazioni indotte nella struttura dalla scia di vortici di Von Karman, che producevano delle oscillazioni torsionali della campata e innescavano una crescente risonanza non compensata da assorbimento della struttura :
Infatti, già sotto l'azione di un vento costante a velocità inferiori, la scia dei vortici di von Kármán restituiva alla struttura delle vibrazioni tali da produrre una continua torsione della campata, innescando così un fenomeno di crescente risonanza non compensata da un adeguato assorbimento della struttura.
È interessante leggere tutto l’articolo, per chi è un curioso della scienza, e notare il ruolo avuto dall’ingegnere italiano Giulio Krall.
Da questo poderoso volume sulle Vibrazioni meccaniche ( più di 900 pagine !)
traggo l’inserto seguente , che dice più succintamente le stesse cose :
Mi sembra che ci siano elementi sufficienti per dire che siamo in argomento “risonanza”. Forse il vento soffiava a raffiche? Ma non voglio far polemiche, per carità . Non mi sento esperto, e poi sono in attesa di sentenza . Quindi chiudo .
C’era addirittura Von Karman nella commissione di inchiesta. Salta agli occhi la frase seguente, dove si parla di vibrazioni indotte nella struttura dalla scia di vortici di Von Karman, che producevano delle oscillazioni torsionali della campata e innescavano una crescente risonanza non compensata da assorbimento della struttura :
Infatti, già sotto l'azione di un vento costante a velocità inferiori, la scia dei vortici di von Kármán restituiva alla struttura delle vibrazioni tali da produrre una continua torsione della campata, innescando così un fenomeno di crescente risonanza non compensata da un adeguato assorbimento della struttura.
È interessante leggere tutto l’articolo, per chi è un curioso della scienza, e notare il ruolo avuto dall’ingegnere italiano Giulio Krall.
Da questo poderoso volume sulle Vibrazioni meccaniche ( più di 900 pagine !)
traggo l’inserto seguente , che dice più succintamente le stesse cose :
Mi sembra che ci siano elementi sufficienti per dire che siamo in argomento “risonanza”. Forse il vento soffiava a raffiche? Ma non voglio far polemiche, per carità . Non mi sento esperto, e poi sono in attesa di sentenza . Quindi chiudo .
"Kanal":
[...]
Quindi chiudo .
Meno male che chiudi, pensa se avessi invece aperto quante altre citazioni avresti riportato
Tra le varie citazioni mi ha colpito l'espressione "crescente risonanza", infatti mi pare alquanto brutta. A proposito di citazioni allora per citarti ti dico che non so se il mio professore di meccanica delle vibrazioni mi avrebbe cacciato se avessi detto qualcosa del genere all'esame, ma di sicuro non avrebbe apprezzato
Comunque la frase che avevo scritto sul fatto che questo incidente è tirato in ballo a sproposito parlando di risonanza non è mia, ma di un mio professore di aeroelasticità che ai tempi si era soffermato un poco su questa questione, non mi permetterei infatti di fare affermazioni tanto nette su un fenomeno così dibattuto basandomi solo su mie idee.
Molti cita(va)no quell'esempio come caso tipico di risonanza (ricordo se non sbaglio la foto del Tacoma deformato persino sul mio vecchio Sette di Fisica1), ma almeno che non si voglia rivedere il concetto di risonanza, non è un esempio per nulla calzante, almeno stando a quello che la maggior parte degli esperti ritiene oggi.
La risonanza, nell'accezione più condivisa, si ha quando una forzante periodica sollecita una struttura con una delle frequenze che corrispondono ad uno dei modi propri di vibrazione della struttura e ormai è ritenuto non sia stato quello il caso del Tacoma, visto che né il vento né il classico fenomeno periodico dei vortici di Von Karman a valle di un corpo non aerodinamico (il vortex shedding, prima avevo semplificato parlando di turbolenza termine in realtà improprio per questo) sono stati riconosciuti avere tali caratteristiche peculiari.
Il fenomeno è invece ascrivibile ad una combinazione della deformazione del ponte a causa del vento a sua volta influenzato dalla deformazione del ponte. Questa interazione ha probabilmente (ovvio che la certezza non può esserci, benché ormai grazie anche alle simulazioni numeriche ci si avvicina) dato luogo a una sorta di autoeccitazione crescente fino al disastro.
E' un fenomeno che a chi conosce un poco di aeroelasticità non appare tanto peculiare.
Non sono bravo come Kanal con le citazioni anche perché sono pigro nel fare ricerche bibliografiche e non dispongo della sua invidiabile libreria (non sono ironico qui).
Riporto solo qualche stralcio di quello che ho trovato nella voce sul Tacoma di Wikipedia in inglese che mi pare ben fatta.
It was thought that the Strouhal frequency was close enough to one of the natural vibration frequencies of the bridge i.e. $2\pi f_{s}=\omega$ , to cause resonance and therefore vortex-induced vibration.
In the case of the Tacoma Narrows Bridge, this appears not to have been the cause of the catastrophic damage. According to Professor Frederick Burt Farquharson, an engineering professor at the University of Washington and one of the main researchers into the cause of the bridge collapse, the wind was steady at 42 miles per hour (68 km/h) and the frequency of the destructive mode was 12 cycles/minute (0.2 Hz).[30] This frequency was neither a natural mode of the isolated structure nor the frequency of blunt-body vortex shedding of the bridge at that wind speed (which was approximately 1 Hz). It can be concluded therefore that the vortex shedding was not the cause of the bridge collapse. The event can be understood only while considering the coupled aerodynamic and structural system that requires rigorous mathematical analysis to reveal all the degrees of freedom of the particular structure and the set of design loads imposed.
A group of physicists cited "wind-driven amplification of the torsional oscillation" as distinct from resonance:
Subsequent authors have rejected the resonance explanation, and their perspective is gradually spreading to the physics community. The user's guide for the current American Association of Physics Teachers (AAPT) DVD states the bridge collapse "was not a case of resonance." Bernard Feldman likewise concluded in a 2003 article for the Physics Teacher that for the torsional oscillation mode, there was "no resonance behavior in the amplitude as a function of the wind velocity." An important source for both the AAPT user's guide and for Feldman was a 1991 American Journal of Physics article by K. Yusuf Billah and Robert Scanlan. According to the two engineers, the failure of the bridge was related to a wind-driven amplification of the torsional oscillation that, unlike a resonance, increases monotonically with increasing wind speed. The fluid dynamics behind that amplification is complicated, but one key element, as described by physicists Daniel Green and William Unruh, is the creation of large-scale vortices above and below the roadway, or deck, of the bridge. Nowadays, bridges are constructed to be rigid and to have mechanisms that damp oscillations. Sometimes they include a slot in the middle of the deck to alleviate pressure differences above and below the road.
Ovvio che se poi si vuole chiamare risonanza anche qualcosa di più esteso della definizione che ho dato io all'inizio si può continuare a citare questo famoso crollo, comunque forse sarebbe meglio evitare di tirarlo in ballo nei testi di Fisica1 quando si introduce per la prima volta la risonanza, perché penso sia chiaro ormai la questione della risonanza sul Tacoma è quanto meno controversa se non del tutto errata.
Bene, tu chiamala come vuoi, il fatto è che questo cavolo di ponte è diventato sede di oscillazioni torsionali di enorme ampiezza e quindi è crollato. Meno male che è morto solo un cane ! Anzi, mi dispiace per il cane, ( caso mai qui ci fosse qualche animalista...) , ma per lo meno non sono morti cristiani come i 43 del ponte Morandi di 2 anni fa a Genova !
Ho fatto solo due citazioni , mica tante! Nell’articolo Wiki da te citato c'è un sacco di nomi, che vattelappesca chi sono! Dalla mia esperienza di analisi avarie ho tratto una conclusione certa : le grosse avarie non sono mai dovute ad una causa sola. È ovvio e banale? Per alcuni non tanto.
E meno male che Nowadays, bridges are constructed to be rigid and to have mechanisms that damp oscillations.
PS : concordo, “ crescente risonanza “ è brutto.
Ho fatto solo due citazioni , mica tante! Nell’articolo Wiki da te citato c'è un sacco di nomi, che vattelappesca chi sono! Dalla mia esperienza di analisi avarie ho tratto una conclusione certa : le grosse avarie non sono mai dovute ad una causa sola. È ovvio e banale? Per alcuni non tanto.
E meno male che Nowadays, bridges are constructed to be rigid and to have mechanisms that damp oscillations.
PS : concordo, “ crescente risonanza “ è brutto.
Ero sicuro che il tuo "chiudo" non voleva dire chiudo appunto. 
Comunque non hai detto tecnicamente nulla di più quindi, io sì, in assenza di altri commenti, chiudo.
Comunque non hai detto tecnicamente nulla di più quindi, io sì, in assenza di altri commenti, chiudo.
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