Risoluzione Equazione differenziale
ciao a tutti,
ho un problemino nella risoluzione di questa equazione differenziale per un circuito in regime stazionario:
$L_1C_1C_2d^3/(dt^3)U_(C2)-d/(dt)U_(C2)(C1+C2)=0$ sapendo che:
${(E=U_(C1)+U_(C2)+U_(L1)),(i_(C1)=i_(C2)=i_(L)),(i_(C1)=C_1d/(dt)U_(C1)),(i_(C2)=C_2d/(dt)U_(C2)),(U_L=L_1d/(dt)i_L):}$ e condizioni iniziali:
$U_(C1)(0)=U_(C2)(0)=0, i_L(0)=0$
cioè la soluzione non dovrebbe essere una cosa del genere:
$U_(C2)=A+(Bcos(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t)+Csin(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t))$
e imponendo la condizione iniziale $U_(C2)(t=0)=0=A+B$ ma come faccio a calcolarmi queste costanti A, B, C???
Grazie a tutti
ho un problemino nella risoluzione di questa equazione differenziale per un circuito in regime stazionario:
$L_1C_1C_2d^3/(dt^3)U_(C2)-d/(dt)U_(C2)(C1+C2)=0$ sapendo che:
${(E=U_(C1)+U_(C2)+U_(L1)),(i_(C1)=i_(C2)=i_(L)),(i_(C1)=C_1d/(dt)U_(C1)),(i_(C2)=C_2d/(dt)U_(C2)),(U_L=L_1d/(dt)i_L):}$ e condizioni iniziali:
$U_(C1)(0)=U_(C2)(0)=0, i_L(0)=0$
cioè la soluzione non dovrebbe essere una cosa del genere:
$U_(C2)=A+(Bcos(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t)+Csin(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t))$
e imponendo la condizione iniziale $U_(C2)(t=0)=0=A+B$ ma come faccio a calcolarmi queste costanti A, B, C???
Grazie a tutti
Risposte
Se capisco le notazioni, da:
$i_(C1)=i_(C2)=i_(L)$
e
$i_(C2)=C_2d/(dt)U_(C2)$
e dalla condizione su $i_L(0)$ trovi una condizione iniziale sul valore della derivata di $U_(C2)(t)$ in $0$.
Quindi ti fai la derivata della funzione che hai trovato:
$U_(C2)=A+(Bcos(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t)+Csin(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t))$
e imponi questa condizione iniziale che ti sei dedotto.
In modo similare (penso) dovrebbe essere trattata l'alta c.i.
Queste sono procedure standard quando si passa da un sistema di eqaudiff del primo ordine ad una equadiff che ha ordine pari al numero di equazioni che hai nel sistema.
$i_(C1)=i_(C2)=i_(L)$
e
$i_(C2)=C_2d/(dt)U_(C2)$
e dalla condizione su $i_L(0)$ trovi una condizione iniziale sul valore della derivata di $U_(C2)(t)$ in $0$.
Quindi ti fai la derivata della funzione che hai trovato:
$U_(C2)=A+(Bcos(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t)+Csin(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t))$
e imponi questa condizione iniziale che ti sei dedotto.
In modo similare (penso) dovrebbe essere trattata l'alta c.i.
Queste sono procedure standard quando si passa da un sistema di eqaudiff del primo ordine ad una equadiff che ha ordine pari al numero di equazioni che hai nel sistema.
Innanzitutto grazie per la risposta,
comunque tu dici di mettere le condizioni iniziali per la derivata prima e seconda nulle all'istante t=0. Qui trattandosi di condensatori che prima erano scarichi presumo che questo discroso si possa fare, ma se ad esempio avessi avuto per t=0 una $U_(C2)=30$ ad esempio, queste considerazioni non le potevo fare giusto???
comunque tu dici di mettere le condizioni iniziali per la derivata prima e seconda nulle all'istante t=0. Qui trattandosi di condensatori che prima erano scarichi presumo che questo discroso si possa fare, ma se ad esempio avessi avuto per t=0 una $U_(C2)=30$ ad esempio, queste considerazioni non le potevo fare giusto???
derivando l'espressione che ho trovato però mi viene:
$U_(C2)'=sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})[-Bsin(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t)+Ccos(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t)]$
la radice comprende tutto il termine...
All'istante t=0 mi rimarrebbe
$0=sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})C ->C=0$ e dalle altre B=0 A=0
$U_(C2)'=sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})[-Bsin(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t)+Ccos(sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})t)]$
la radice comprende tutto il termine...
All'istante t=0 mi rimarrebbe
$0=sqrt(frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2})C ->C=0$ e dalle altre B=0 A=0
Prego 
Ti dico il mio punto di vista di carattere generale.
Riferendomi ad un esempio classico, l'oscillatore armonico.
Il comportamento di questo sistema può essere descritto indifferentemente con una equazione del secondo ordine:
$y''+y=0$
o con un sistema:
${(y_0' = y_1),(y_1' = - y_0):}$
Naturalmente la $y$ da una parte e le $y_0, y_1$ dall'altra devono essere legate in qualche modo. Perché altrimenti sto considerando due problemi distinti.
Il legame tra i due problemi è dato dalla uguaglianza $y_0 = y$.
Ora, è tramite questa che si trasferiscono anche le condizioni iniziali (o altre: condizioni ai bordi, trasversalità, condizioni asintotiche) da una formulazione all'altra.
Nel fare questo trasferimento di condizioni, in questo caso (come spesso avviene, anche nei pochi conti che avevo fatto nel post precedente) potrà servire il fatto che $y_0 = y$ implica $y_0' = y'$ (se due funzioni coincidono, coincidono anche le loro derivate).
Io non ho fatto altro che applicare queste considerazioni generali nel tuo caso.
Le tue preoccupazioni o i risultati che ottieni non possono dipendere altro che da errori di calcolo o da errori nella formulazione del problema. In particolare la tua preoccupazione sulla sensatezza "in termini fisici" delle procedura non ha ragione di esistere. Se trovi un risultato fisicamente insensato passando dalla formulazione data a quella equivalente, ciò vuol dire che il problema era nel manico. Cioè nella formulazione di partenza.
[size=75]PS: come ti sarà evidente detesto far di conto...[/size]
Ti dico il mio punto di vista di carattere generale.
Riferendomi ad un esempio classico, l'oscillatore armonico.
Il comportamento di questo sistema può essere descritto indifferentemente con una equazione del secondo ordine:
$y''+y=0$
o con un sistema:
${(y_0' = y_1),(y_1' = - y_0):}$
Naturalmente la $y$ da una parte e le $y_0, y_1$ dall'altra devono essere legate in qualche modo. Perché altrimenti sto considerando due problemi distinti.
Il legame tra i due problemi è dato dalla uguaglianza $y_0 = y$.
Ora, è tramite questa che si trasferiscono anche le condizioni iniziali (o altre: condizioni ai bordi, trasversalità, condizioni asintotiche) da una formulazione all'altra.
Nel fare questo trasferimento di condizioni, in questo caso (come spesso avviene, anche nei pochi conti che avevo fatto nel post precedente) potrà servire il fatto che $y_0 = y$ implica $y_0' = y'$ (se due funzioni coincidono, coincidono anche le loro derivate).
Io non ho fatto altro che applicare queste considerazioni generali nel tuo caso.
Le tue preoccupazioni o i risultati che ottieni non possono dipendere altro che da errori di calcolo o da errori nella formulazione del problema. In particolare la tua preoccupazione sulla sensatezza "in termini fisici" delle procedura non ha ragione di esistere. Se trovi un risultato fisicamente insensato passando dalla formulazione data a quella equivalente, ciò vuol dire che il problema era nel manico. Cioè nella formulazione di partenza.
[size=75]PS: come ti sarà evidente detesto far di conto...[/size]
si il tuo discorso mi è chiaro, però non capisco il collegamento col mio caso perchè si che $y_0=y$ e vale anche per le rispettive derivate, però io ho dei numeri per le condizioni iniziali, non funzioni...
aggiungo una cosa, ho sbagliato di scrivere: $U_(C2)(0)=240$ e $U_(c1)(0)=120$.
forse ho capito male quello che vuoi dirmi: io mi sto fissando solo su $U_(C2)$ mentre ho altre due condizioni iniziali che riguardano $i_L$ e $U_(C1)$ e presumo si debba lavorare su quelle
forse ho capito male quello che vuoi dirmi: io mi sto fissando solo su $U_(C2)$ mentre ho altre due condizioni iniziali che riguardano $i_L$ e $U_(C1)$ e presumo si debba lavorare su quelle
"minavagante":
si il tuo discorso mi è chiaro, però non capisco il collegamento col mio caso perchè si che $y_0=y$ e vale anche per le rispettive derivate, però io ho dei numeri per le condizioni iniziali, non funzioni...
Meno male per te che hai delle equazioni differenziali ordinarie, non alle derivate parziali. Per cui le condizioni iniziali riguardano il valore di una funzione (diciamo reale di variabile reale) e quindi la condizione iniziale imporrà che il valore della tua funzione sia uguale a un numero reale.
Temo che ci sia un malinteso sulle notazioni. Io con $y$ e con $y_0$ indicavo delle funzioni. E la scrittura $y=y_0$ significa quindi che $y(x) = y_0(x)$ per ogni $x$ appartenente ad un opportuno intervallo non degenere (nel caso specifico del moto armonico, ma anche nel tuo, l'intervallo è $RR$, salvo che non ci siano ulteriori condizioni di altro genere).
Scusa un momento: allora, io ho tornato a fare i calcoli, e mi esce sempre la stessa equazione di terzo grado per $U_(C2)$.
Per prima cosa, pongo uguale a 240 l'espressione che ho trovato e mi viene A+B=240. Fin qui ok. Sfrutto poi la condizione della corrente sull'induttore che è nulla per t=0, e la sua espressione corrisponde a $i_L=C_2d/(dt)U_(C2)$ e derivando l'espressione di $U_(C2)$ ricavo che C=0.
Ho una terza condizione iniziale $U_(C1)(t=0)=120V$. Dalla prima equazione che ho scritto $E=U_(C1)+U_(C2)+U_L=U_(C1)+U_(C2)+Ld/(dt)i_L$ e sapendo che $i_L=C_2d/(dt)U_(C2)$ potrei ricavarmi una terza equazione per trovarmi le costanti di indeterminazione: $i_L(t)=C_2k[-Bsin(kt)+Ccos(kt)] ->i_L(t=0)=0=C_2kC$ ove $k=sqrt(frac{C_1+C_2}{LC_1C_2})$ quindi per t=0 $E=125=120+A+B+C_2kC$ ma prima avevo trovato che C=0 e le due equazioni che mi restano sono $A+B=240$ e $A+B=5$
dove sto sbagliando???
Per prima cosa, pongo uguale a 240 l'espressione che ho trovato e mi viene A+B=240. Fin qui ok. Sfrutto poi la condizione della corrente sull'induttore che è nulla per t=0, e la sua espressione corrisponde a $i_L=C_2d/(dt)U_(C2)$ e derivando l'espressione di $U_(C2)$ ricavo che C=0.
Ho una terza condizione iniziale $U_(C1)(t=0)=120V$. Dalla prima equazione che ho scritto $E=U_(C1)+U_(C2)+U_L=U_(C1)+U_(C2)+Ld/(dt)i_L$ e sapendo che $i_L=C_2d/(dt)U_(C2)$ potrei ricavarmi una terza equazione per trovarmi le costanti di indeterminazione: $i_L(t)=C_2k[-Bsin(kt)+Ccos(kt)] ->i_L(t=0)=0=C_2kC$ ove $k=sqrt(frac{C_1+C_2}{LC_1C_2})$ quindi per t=0 $E=125=120+A+B+C_2kC$ ma prima avevo trovato che C=0 e le due equazioni che mi restano sono $A+B=240$ e $A+B=5$
dove sto sbagliando???
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