[RISOLTO]Aiuto guida d'onda
Sto leggendo il jackson sull'argomento delle guide d'onda e non capisco un passaggio:
Considerando un condotto cilindrico cavo attraversato dal suo interno da campi dipendenti dal tempo $e^(-i\omegat)$ le equazioni di maxwell :
$1)\nabla X vecE = i\omega vecB,2) \nabla vecB =0,3)\nabla X vecB =-i\mu\epsilon\omegavecE,4)\nabla vecE =0 $ nelle condizioni cui le pareti sono conduttori perfetti, con cilindro riempito di materiale omogeneo isotropo non dissipativo. Possiamo scrivere $5)(\nabla^2+\mu\epsilon\omega^2)(vecE,vecB)=0$
Considerando la geometria cilindrica indicando x,y le coordinate transverse e z la coordinata passante per l'asse di simmetria del cilindro assumiamo:
$6)vecE(x,y,z,t,)=vecE(x,y)e^(+- ikz-i\omegat) ,7)vecB(x,y,z,t,)=vecB(x,y)e^(+- ikz-i\omegat) $
Pensando ai campi come componenti parallele e transverse all'asse z possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell rispetto a queste componenti:
$8)(\partialvecE_t)/(\partial z) + i\omega \hat z X vecB_t =\nabla_t E_z, 9)\hat z (\nabla_t X vecE_t) =i\omegaB_z $
$10)(\partialvecB_t)/(\partial z) - i\mu\omega\epsilon\hat z X vecE_t=\nabla_t B_z,11) \hat z (\nabla_t X vecB_t) =-i\mu\epsilon\omega Ez $
$12)\nabla_t vecE_t =- (\partial E_z)/(\partial z) ,13) \nabla_t vecB_t = -(\partial B_z)/(partial z) $
Le componenti di E e B assumendo una dipendenza da z sono determinate da Ez e Bz; se assumiamo che almeno una fra Ez e Bz sia diversa da zero possiamo scrivere i campi trasversi :
$14)vecE_t =i/(\mu\epsilon\omega^2 - k^2) (k \nabla_t E_z - \omega \hat z X \nabla_t B_z)$
una relazione analoga per Bt ....$\nabla_t$ è l'operatore differenziale per le sole componenti trasverse. A questo ultimo passaggio mi fermo perchè non lo capisco. Ho tratto l'argomento da Elettrodinamica Jackson pag 346 della 3° ristampa, se qualcuno capisse che tipo di passaggio fa mi farebbe un grosso piacere.
grazie
Considerando un condotto cilindrico cavo attraversato dal suo interno da campi dipendenti dal tempo $e^(-i\omegat)$ le equazioni di maxwell :
$1)\nabla X vecE = i\omega vecB,2) \nabla vecB =0,3)\nabla X vecB =-i\mu\epsilon\omegavecE,4)\nabla vecE =0 $ nelle condizioni cui le pareti sono conduttori perfetti, con cilindro riempito di materiale omogeneo isotropo non dissipativo. Possiamo scrivere $5)(\nabla^2+\mu\epsilon\omega^2)(vecE,vecB)=0$
Considerando la geometria cilindrica indicando x,y le coordinate transverse e z la coordinata passante per l'asse di simmetria del cilindro assumiamo:
$6)vecE(x,y,z,t,)=vecE(x,y)e^(+- ikz-i\omegat) ,7)vecB(x,y,z,t,)=vecB(x,y)e^(+- ikz-i\omegat) $
Pensando ai campi come componenti parallele e transverse all'asse z possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell rispetto a queste componenti:
$8)(\partialvecE_t)/(\partial z) + i\omega \hat z X vecB_t =\nabla_t E_z, 9)\hat z (\nabla_t X vecE_t) =i\omegaB_z $
$10)(\partialvecB_t)/(\partial z) - i\mu\omega\epsilon\hat z X vecE_t=\nabla_t B_z,11) \hat z (\nabla_t X vecB_t) =-i\mu\epsilon\omega Ez $
$12)\nabla_t vecE_t =- (\partial E_z)/(\partial z) ,13) \nabla_t vecB_t = -(\partial B_z)/(partial z) $
Le componenti di E e B assumendo una dipendenza da z sono determinate da Ez e Bz; se assumiamo che almeno una fra Ez e Bz sia diversa da zero possiamo scrivere i campi trasversi :
$14)vecE_t =i/(\mu\epsilon\omega^2 - k^2) (k \nabla_t E_z - \omega \hat z X \nabla_t B_z)$
una relazione analoga per Bt ....$\nabla_t$ è l'operatore differenziale per le sole componenti trasverse. A questo ultimo passaggio mi fermo perchè non lo capisco. Ho tratto l'argomento da Elettrodinamica Jackson pag 346 della 3° ristampa, se qualcuno capisse che tipo di passaggio fa mi farebbe un grosso piacere.
grazie
Risposte
prendiamo la 10 e moltiplichiamo ambo i membri per $\hat z$ (prodotto vettoriale!!). L'asse z è quello longitudinale che indica il verso di propagazione del fronte.
15) $\hat z X ((\del vecB_t)/(\del z) - i\mu \epsilon \omega \hat z X vec E_t) = \hat z X \nabla_t B_z$
riscriviamo il primo addendo del primo membro:
16) $\hat z X (\delvecB_t)/(\delz) = -\del/(\delz) (\hatz X vecB_t) = ik(-B_y,B_x,0) = \del/(\delz) (-i/\omega \nabla_t E_z + i/\omega (\delvec E_t)/(\delz))$
otteniamo perciò:
$\del/(\delz) (-i/\omega \nabla_t E_z + i/\omega (\delvec E_t)/(\delz)) + i\mu\omega\epsilon vec E_t = \hatz X \nabla_t B_z$
il secondo addendo del primo membro della 15) è $vecaXvecaXvecb = -vecb(veca.veca)$
portando i e omega al secondo membro ed esplicitando le derivate rispetto a z riferite a onde viaggianti del tipo 6) otteniamo :
$-ik\nabla_t E_z -k^2 vecE_t +\omega^2 \mu\epsilon vecE_t = -i \omega ( \hatz X \nabla_t B_z)$ da cui si ricava il campo elettrico trasverso 14).
A considerazioni analoghe si deduce il caso B trasverso
ciao a tutti
15) $\hat z X ((\del vecB_t)/(\del z) - i\mu \epsilon \omega \hat z X vec E_t) = \hat z X \nabla_t B_z$
riscriviamo il primo addendo del primo membro:
16) $\hat z X (\delvecB_t)/(\delz) = -\del/(\delz) (\hatz X vecB_t) = ik(-B_y,B_x,0) = \del/(\delz) (-i/\omega \nabla_t E_z + i/\omega (\delvec E_t)/(\delz))$
otteniamo perciò:
$\del/(\delz) (-i/\omega \nabla_t E_z + i/\omega (\delvec E_t)/(\delz)) + i\mu\omega\epsilon vec E_t = \hatz X \nabla_t B_z$
il secondo addendo del primo membro della 15) è $vecaXvecaXvecb = -vecb(veca.veca)$
portando i e omega al secondo membro ed esplicitando le derivate rispetto a z riferite a onde viaggianti del tipo 6) otteniamo :
$-ik\nabla_t E_z -k^2 vecE_t +\omega^2 \mu\epsilon vecE_t = -i \omega ( \hatz X \nabla_t B_z)$ da cui si ricava il campo elettrico trasverso 14).
A considerazioni analoghe si deduce il caso B trasverso ciao a tutti
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