[Risolto] Oggetto in caduta con accelerazione non costante
Ciao!
vorrei trovare le equazioni del moto di un corpo in caduta sulla Terra (o affine) da centinaia o migliaia di km dal livello del mare, così che l'accelerazione non si possa ritenere costante. Trascuro l'aria e qualsiasi altro moto relativo tra i due corpi.
Fissato $y_0 = h$ e $t_0 = 0$ rispettivamente la quota iniziale rispetto al livello del mare e l'istante iniziale, ho considerato:
$\ddot{y} = g = GM/r^2 = k/(y+R)^2$
dove $k = GM$, $M$ è la massa della Terra, $R$ è il raggio medio della Terra.
Se provo a integrare, ottengo:
$\int (y+R)^2 d \dot{y} = kt$
e in sostanza qui mi fermo, perché non so bene come affrontare gli integrali a sinistra, della forma $\int x^\alpha d \dot{x}$.
Quale aiutino?
Grazie!
vorrei trovare le equazioni del moto di un corpo in caduta sulla Terra (o affine) da centinaia o migliaia di km dal livello del mare, così che l'accelerazione non si possa ritenere costante. Trascuro l'aria e qualsiasi altro moto relativo tra i due corpi.
Fissato $y_0 = h$ e $t_0 = 0$ rispettivamente la quota iniziale rispetto al livello del mare e l'istante iniziale, ho considerato:
$\ddot{y} = g = GM/r^2 = k/(y+R)^2$
dove $k = GM$, $M$ è la massa della Terra, $R$ è il raggio medio della Terra.
Se provo a integrare, ottengo:
$\int (y+R)^2 d \dot{y} = kt$
e in sostanza qui mi fermo, perché non so bene come affrontare gli integrali a sinistra, della forma $\int x^\alpha d \dot{x}$.
Quale aiutino?
Grazie!
Risposte
Il problema che poni era stato già affrontato alcune volte nel forum . Ti metto il
link ad una discussione identica. Purtroppo mancano i contributi di un utente, molto bravo , il cui nick name era Tem . In sostanza il problema lo aveva risolto lui a fondo , con la sua pazienza, chiarezza , competenza e completezza di esposizione . È andato via chiedendo che venissero cancellati tutti i suoi messaggi . È stata una notevole perdita per il forum. Da' anche un'occhiata alla risposta incompleta di navigatore, in aiuto del quale Tem era intervenuto per completare. A qualcosa dovrebbe servire.
link ad una discussione identica. Purtroppo mancano i contributi di un utente, molto bravo , il cui nick name era Tem . In sostanza il problema lo aveva risolto lui a fondo , con la sua pazienza, chiarezza , competenza e completezza di esposizione . È andato via chiedendo che venissero cancellati tutti i suoi messaggi . È stata una notevole perdita per il forum. Da' anche un'occhiata alla risposta incompleta di navigatore, in aiuto del quale Tem era intervenuto per completare. A qualcosa dovrebbe servire.
Immaginavo fosse un problema anche piuttosto didattico, purtroppo online non ho trovato nulla e non ho i miei libri con me.
Grazie per la risposta, in effetti ho risolto con la prima risposta dell'utente "navigatore" che lo affronta usando la conservazione dell'energia. Rimango un po' scontento in realtà, perché speravo di capire come trattare integrali come quello indicato nel mio post.
Nei termini in cui mi sono espresso nel primo messaggio, ho però risolto.
Grazie!
Grazie per la risposta, in effetti ho risolto con la prima risposta dell'utente "navigatore" che lo affronta usando la conservazione dell'energia. Rimango un po' scontento in realtà, perché speravo di capire come trattare integrali come quello indicato nel mio post.
Nei termini in cui mi sono espresso nel primo messaggio, ho però risolto.
Grazie!
"amivaleo":
Rimango un po' scontento in realtà, perché speravo di capire come trattare integrali come quello indicato nel mio post.
Hai in pratica una equazione differenziale del secondo ordine, autonoma (il tempo non compare esplicitamente) e due condizioni a contorno. C'è un modo per ridurne l'ordine, ti mostro formalmente il procedimento. Partendo da
$y''(t)=f(y(t),y'(t))$ puoi porre $y'(t)=z(y(t))$ e derivando ottieni $y''(t)=z'(y(t)) z(y(t))$ .
Se consideri la $y(t)$ come variabile indipendente hai che
$z'(y(t)) z(y(t))=f(y(t),y'(t))$
e questa si può risolvere più facilmente (nel tuo caso in f() manca la derivata della y)
Trovata una soluzione $z(y)$ la sostituisci nella relazione iniziale, cioè risolvi un'altra eq diff a variabili separabili
$y'(t)=z(y(t))$ dove ora la z è nota. Ovviamente usa le condizioni a contorno, su velocità e posizione iniziali.
Questo discorso funziona ogni qualvolta quella sostituzione è lecita.
Se ragioni sull'invertibilità della funzione capisci anche che questa è lecita quando $y'(t_0)\ne0$ … che non è proprio il tuo caso (se vuoi far partire il corpo a velocità nulla). In questi casi matematicamente si suppone vera la sostituzione e poi si verifica che il risultato risolve il problema. Ma fisicamente possiamo già dire che andrà bene, che differenza farà, sulla traiettoria di una caduta di un corpo su un centro, se questo parte con un po' di velocità iniziale lungo l'asse radiale? Nessuna. Arriverà solo un po' prima.
Questo è il modo di procedere standard che ti porta sempre ad una soluzione, magari laboriosa (soprattutto lì con quelle radice che ti uscirà ad un certo punto potresti dover provare qualche sostituzione) . Tuttavia quando ci sono integrali del moto da sfruttare è sempre meglio farlo, perché in genere i conti da fare sono molto più facili.
Ok...
Mah, ho sempre pensato che disaccoppiare le variabili fosse un modo per barare.
Ho bisogno di rispolverare un po' la tecnica: ho capito come procedere, ma senza dubbio mi bloccherei in vari passaggi.
Ho trovato questo ieri https://www.****.it/lezioni/analisi- ... ytfyt.html che mostra un trucco per risolvere equazioni di questo tipo senza ricorrere a separare le variabili. Mi piace di più questo!
Grazie per la tua risposta, Nikikinki.
Mah, ho sempre pensato che disaccoppiare le variabili fosse un modo per barare.
Ho bisogno di rispolverare un po' la tecnica: ho capito come procedere, ma senza dubbio mi bloccherei in vari passaggi.
Ho trovato questo ieri https://www.****.it/lezioni/analisi- ... ytfyt.html che mostra un trucco per risolvere equazioni di questo tipo senza ricorrere a separare le variabili. Mi piace di più questo!
Grazie per la tua risposta, Nikikinki.
Certo il metodo da te portato è più diretto perché meno generale, non puoi applicarlo nel caso la funzione f contenga anche derivate e trovarsi una velocità tra i piedi è quasi la norma in fisica. Ho preferito mostrarti qualcosa a cui puoi sempre ricorrere, nel rispetto del discorso fatto.
Non è barare è usare le regole logiche della matematica. Moltiplicare a destra e sinistra per una stessa quantità non cambia l'uguaglianza, così come una sostituzione, purché soddisfi il problema, è assolutamente accettabile. Quello che è obbrobrio matematico è separare i differenziali, cosa che peraltro si fa, con buona pace della logica di fondo. A volte però se ne paga il prezzo. Ad ogni modo sono felice di esserti stato utile 
Non è barare
è usare le regole logiche della matematica. Moltiplicare a destra e sinistra per una stessa quantità non cambia l'uguaglianza, così come una sostituzione, purché soddisfi il problema, è assolutamente accettabile. Quello che è obbrobrio matematico è separare i differenziali, cosa che peraltro si fa, con buona pace della logica di fondo. A volte però se ne paga il prezzo. Ad ogni modo sono felice di esserti stato utile
"Nikikinki":
non puoi applicarlo nel caso la funzione f contenga anche derivate
No problem per questo: tendo a non fidarmi della pappa pronta: niente "scatole nere", devo verificare che funzioni, altrimenti è un atto di fede, che io non faccio...
Grazie ancora.
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