[RISOLTO] Esercizio semplice cinematica
Buonasera ho un problema con queste semplice esercizio preso online:
All'istante t = 0 un punto materiale, partendo da fermo, si mette in moto su una traiettoria circolare, giacente su un piano orizzontale liscio, di raggio R = 225 m. Fino all'istante t1 = 10 s la velocità cresce linearmente con il tempo e lo spazio percorso è di 150 m. Determinare il modulo dell'accelerazione nell'istante t1.
Posto il mio svolgimento:
L'accelerazione è costante quindi prendo in considerazione il moto circolare uniformemente accelerato.
Dico che: \(\displaystyle w_{i} = 0, w_{f} = ? , \theta_{i} = 0, \theta_{f} = 150 m, t_{i} = 0, t_{f} = 10 s\)
\(\displaystyle w_{f} = w_{i} + \alpha(t_{f} - t_{i}) \), essendo \(\displaystyle w_{i} = 0 , t_{i} = 0 \) ho \(\displaystyle w_{f} = \alpha(t_{f}) \)
Poi ho:
\(\displaystyle \theta_{f} = \theta_{i} +w_{i}(t_{f}-t_{i}) + \frac{1}{2}\alpha(t_{f}-t_{i})^{2} \) che diventa, \(\displaystyle \theta_{f} = \frac{1}{2}\alpha(t_{f})^{2} \)
Da questa ultima formula trovo \(\displaystyle \alpha \), ossia: \(\displaystyle \alpha = \frac{2\theta_{f}}{(t_{f})^{2}} \) \(\displaystyle = \frac{2*150}{(10)^{2}} = 3 \frac{rad}{s^{2}} \)
Ora: \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{t}}{R} \), che ricavando \(\displaystyle a_{t} \) ottengo \(\displaystyle a_{t} = \alpha * R = 3* 225 = 675 \frac{m}{s^{2}}\)
Adesso trovo \(\displaystyle w_{f} \), \(\displaystyle w_{f} = \alpha * t_{f} = 3*10 = 30 \frac{rad}{s} \)
Dalla teoria so che: \(\displaystyle a_{n} = w_{f}^{2} * R \), quindi, \(\displaystyle a_{n} = (30)^{2} * 225 = 202500 \frac{rad}{s^{2}} \)
Infine, il modulo dell'accelerazione è dato da: \(\displaystyle a = \sqrt{a_{t}^{2} +a_{n}^{2}} = \sqrt{(675)^{2} + (202500)^{2}} = 202501 \frac{m}{s^{2}} \)
Il risultato è sbagliato e non capisco il perchè, penso di aver applicato bene le formule e non trovo cose che non vanno nel ragionamento.
Nella soluzione noto che l'accelerazione tangenziale è: \(\displaystyle a_{t} = 3 \frac{m}{s^{2}} \)
L'accelerazione normale/centripeta è: \(\displaystyle a_{n} = 4 \frac{m}{s^{2}} \)
Il modulo, quindi il, risultato finale , è: \(\displaystyle 5 \frac{m}{s^{2}} \)
Edit: Secondo me c'è qualche errore dimensionale.
Sapreste dirmi dove sbaglio?
Grazie delle risposte!
All'istante t = 0 un punto materiale, partendo da fermo, si mette in moto su una traiettoria circolare, giacente su un piano orizzontale liscio, di raggio R = 225 m. Fino all'istante t1 = 10 s la velocità cresce linearmente con il tempo e lo spazio percorso è di 150 m. Determinare il modulo dell'accelerazione nell'istante t1.
Posto il mio svolgimento:
L'accelerazione è costante quindi prendo in considerazione il moto circolare uniformemente accelerato.
Dico che: \(\displaystyle w_{i} = 0, w_{f} = ? , \theta_{i} = 0, \theta_{f} = 150 m, t_{i} = 0, t_{f} = 10 s\)
\(\displaystyle w_{f} = w_{i} + \alpha(t_{f} - t_{i}) \), essendo \(\displaystyle w_{i} = 0 , t_{i} = 0 \) ho \(\displaystyle w_{f} = \alpha(t_{f}) \)
Poi ho:
\(\displaystyle \theta_{f} = \theta_{i} +w_{i}(t_{f}-t_{i}) + \frac{1}{2}\alpha(t_{f}-t_{i})^{2} \) che diventa, \(\displaystyle \theta_{f} = \frac{1}{2}\alpha(t_{f})^{2} \)
Da questa ultima formula trovo \(\displaystyle \alpha \), ossia: \(\displaystyle \alpha = \frac{2\theta_{f}}{(t_{f})^{2}} \) \(\displaystyle = \frac{2*150}{(10)^{2}} = 3 \frac{rad}{s^{2}} \)
Ora: \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{t}}{R} \), che ricavando \(\displaystyle a_{t} \) ottengo \(\displaystyle a_{t} = \alpha * R = 3* 225 = 675 \frac{m}{s^{2}}\)
Adesso trovo \(\displaystyle w_{f} \), \(\displaystyle w_{f} = \alpha * t_{f} = 3*10 = 30 \frac{rad}{s} \)
Dalla teoria so che: \(\displaystyle a_{n} = w_{f}^{2} * R \), quindi, \(\displaystyle a_{n} = (30)^{2} * 225 = 202500 \frac{rad}{s^{2}} \)
Infine, il modulo dell'accelerazione è dato da: \(\displaystyle a = \sqrt{a_{t}^{2} +a_{n}^{2}} = \sqrt{(675)^{2} + (202500)^{2}} = 202501 \frac{m}{s^{2}} \)
Il risultato è sbagliato e non capisco il perchè, penso di aver applicato bene le formule e non trovo cose che non vanno nel ragionamento.
Nella soluzione noto che l'accelerazione tangenziale è: \(\displaystyle a_{t} = 3 \frac{m}{s^{2}} \)
L'accelerazione normale/centripeta è: \(\displaystyle a_{n} = 4 \frac{m}{s^{2}} \)
Il modulo, quindi il, risultato finale , è: \(\displaystyle 5 \frac{m}{s^{2}} \)
Edit: Secondo me c'è qualche errore dimensionale.
Sapreste dirmi dove sbaglio?
Grazie delle risposte!
Risposte
"Escher":
$\theta_{f} = 150 m$
Mi pare che hai preso l'arco di 150m come se fosse l'angolo in radianti, dimenticando di dividere per il raggio.
Da qui i valori assurdi tipo 30 rad/sec, circa 5 giri al secondo, dove in 10 secondi fa circa 1/4 di giro...
Mi pare che hai preso l'arco di 150m come se fosse l'angolo in radianti, dimenticando di dividere per il raggio.
Guarda, poco dopo aver premuto invio, per inserire il post nel forum, ho pensato fosse quello l'errore. Sono stato stupido a non accorgermene prima!
Grazie che mi hai dato conferma.
Grazie ancora
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