[RISOLTO] Alcuni dubbi sul moto elicoidale
ciao.
ho un certo problema in meccanica. Il testo è quello di Mauro Fabrizio II edizione 1994. Alle pagine 20-21 descrive il moto elicoidale. I dubbi che incontro sono:
1) cosa s'intende con "una curva che incontra le generatrici del cilindro sempre sotto lo stesso angolo"? (la parte sottolineata è la parte oscura). Io ho interpretato questo con il fatto che le tangenti nei vari punti sono sempre le stesse
2) quando viene sviluppata l'equazione del moto del punto $P-O$, l'autore pone
(gli $i_j$ sono i versori della terna di riferimento) affermando che, poiché il punto \(P^\star \), proiezione sul piano $(x_1,x_2)$ di $P$, si muove di moto circolare, scegliendo il sistema cartesiano in modo opportuno, si può usare la scrittura precedente, in modo tale che si abbia $|P-P'|=2\pi h$, ossia la distanza fra due punti consecutivi dell'elica dopo aver effettuato un giro completo intorno all'asse del cilindro, partendo dal punto $P$ (cioè fra due punti in sequenza appartenenti alla stessa generatrice).
Questo direi che è abbastanza chiaro, dato che mi sembra che la scelta del riferimento cartesiano per soddisfare la condizione, sia quella che fa passare l'asse $x_1$ per il punto $P'$.
Quello che non mi è chiaro è invece questo: ponendo l'equazione di tale moto nel modo sopraindicato, si impone che la distanza fra due qualsiasi punti stanti sulla stessa generatrice sia costante; perché, avendo dato quale definizione di elica circolare quella di una curva soddisfacente la condizione espressa in (1), si deve pervenire a tale espressione per la traiettoria? provo a spiegarmi meglio: in genere, in un problema (in questo caso di natura geometrica), si pongono certe condizioni e, in base a queste, si perviene deduttivamente alla formulazione del modello che le soddisfa (per chi ha questo testo, questo viene fatto nei moti descritti prima di quello in questione); in tal caso invece l'oggetto (la traiettoria) viene banalmente assegnata, dopo aver dato quella definizione. Allora, mi sembra lecito domandarsi se il discorso di incontrare le generatrici del cilindro sempre sotto lo stesso angolo, caratterizzi l'espressione geometrica del moto del punto come assegnata sopra. Io non riesco però a vedere come questo avvenga
3) infine c'è un altro lato oscuro nella trattazione in esame. Subito dopo l'autore afferma: "Se il moto è uniforme allora $d/dt \theta = \text{costante} $ e il moto è detto elicoidale ed uniforme". Questa è la parte maggiormente incomprensibile. Se devo ammettere variabilità nella velocità angolare, non riesco allora a capacitarmi di come possa essere soddisfatta la condizione di incontrare le generatrici del cilindro sempre sotto lo stesso angolo: detto in modo un po' rozzo, se il punto \(P^\star \) sulla circonferenza ruota più rapidamente, la curva prende più slancio e l'inclinazione cambia (aumenta). Inoltre, se vi può essere variabilità nella velocità angolare, mi chiedo perché non possa esservi anche in $h$.
ho un certo problema in meccanica. Il testo è quello di Mauro Fabrizio II edizione 1994. Alle pagine 20-21 descrive il moto elicoidale. I dubbi che incontro sono:
1) cosa s'intende con "una curva che incontra le generatrici del cilindro sempre sotto lo stesso angolo"? (la parte sottolineata è la parte oscura). Io ho interpretato questo con il fatto che le tangenti nei vari punti sono sempre le stesse
2) quando viene sviluppata l'equazione del moto del punto $P-O$, l'autore pone
$P-O=R cos \theta i_1 + R sin \theta i_2 + h \theta i_3$
(gli $i_j$ sono i versori della terna di riferimento) affermando che, poiché il punto \(P^\star \), proiezione sul piano $(x_1,x_2)$ di $P$, si muove di moto circolare, scegliendo il sistema cartesiano in modo opportuno, si può usare la scrittura precedente, in modo tale che si abbia $|P-P'|=2\pi h$, ossia la distanza fra due punti consecutivi dell'elica dopo aver effettuato un giro completo intorno all'asse del cilindro, partendo dal punto $P$ (cioè fra due punti in sequenza appartenenti alla stessa generatrice).
Questo direi che è abbastanza chiaro, dato che mi sembra che la scelta del riferimento cartesiano per soddisfare la condizione, sia quella che fa passare l'asse $x_1$ per il punto $P'$.
Quello che non mi è chiaro è invece questo: ponendo l'equazione di tale moto nel modo sopraindicato, si impone che la distanza fra due qualsiasi punti stanti sulla stessa generatrice sia costante; perché, avendo dato quale definizione di elica circolare quella di una curva soddisfacente la condizione espressa in (1), si deve pervenire a tale espressione per la traiettoria? provo a spiegarmi meglio: in genere, in un problema (in questo caso di natura geometrica), si pongono certe condizioni e, in base a queste, si perviene deduttivamente alla formulazione del modello che le soddisfa (per chi ha questo testo, questo viene fatto nei moti descritti prima di quello in questione); in tal caso invece l'oggetto (la traiettoria) viene banalmente assegnata, dopo aver dato quella definizione. Allora, mi sembra lecito domandarsi se il discorso di incontrare le generatrici del cilindro sempre sotto lo stesso angolo, caratterizzi l'espressione geometrica del moto del punto come assegnata sopra. Io non riesco però a vedere come questo avvenga
3) infine c'è un altro lato oscuro nella trattazione in esame. Subito dopo l'autore afferma: "Se il moto è uniforme allora $d/dt \theta = \text{costante} $ e il moto è detto elicoidale ed uniforme". Questa è la parte maggiormente incomprensibile. Se devo ammettere variabilità nella velocità angolare, non riesco allora a capacitarmi di come possa essere soddisfatta la condizione di incontrare le generatrici del cilindro sempre sotto lo stesso angolo: detto in modo un po' rozzo, se il punto \(P^\star \) sulla circonferenza ruota più rapidamente, la curva prende più slancio e l'inclinazione cambia (aumenta). Inoltre, se vi può essere variabilità nella velocità angolare, mi chiedo perché non possa esservi anche in $h$.
Risposte
1) Prendi un punto qualunque della curva, calcola la tangente (di norma 1) alla curva in quel punto, fai il prodotto scalare col versore (di norma 1) della generatrice ed otterrai sempre lo stesso valore, indipendentemente dal punto che scegli. Questo significa "formare lo stesso angolo", dato che $ = ||t|| ||v|| cos \theta = cos \theta$, dove $t$ è il vettore tangente di norma $||t|| = 1$ e $v$ è il versore di norma $||v|| = 1$.
2) Mi spiace, con capisco quasi nulla ... troppo intricato ... Per me, una volta assegnato l'equazione parametrica, hai determinato già tutto quanto ... si tratta poi di dedurre a posteriori tutte le proprietà della curva. Viceversa, date certe proprietà, le curve che le soddisfano sono di solito infinite, Nel caso specifico, avere lo stesso angolo con la direttrice accade anche a curve diverse (infinite) da quella data ...
ps. a meno che, come proprietà, non conosci curvatura e torsione in ogni punto. In tal caso, la curva che le soddisfa è unica, a meno di una rototraslazione.
ok per (1) e grazie. Faccio solo una domanda banale, per evitare equivoci: con $\theta$ indichi l'angolo tra i due vettori che hai indicato, giusto? (perché io con $\theta$ indicavo l'angolo dello spostamento della proiezione di $P$.)
Per (2), io domandavo infatti se tale condizione fosse sufficiente e necessaria ai fini dell'espressione formale della traiettoria di $P$ che avevo indicato. Quindi, in base a quello che mi dici, possiamo dire che non è affatto sufficiente, mentre risulta necessaria. Ma allora, per caratterizzare un tale moto, si pone la questione, in un certo senso, su un piano assiomatico (ossia le traiettorie che ci interessano appartengono alla classe di questa espressione formale)?
Ma (3) resta ancora aperta. Tuttavia, ripensandoci meglio, credo di aver fatto delle valutazioni errate. Ammettere l'eventualità di variabilità della velocità angolare, implica soltanto che la traiettoria viene percorsa in un minor o maggior tempo. Essa dipende infatti da altri parametri, precisamente $R$ e $h$. Mi puoi confermare questo ragionamento?
Per (2), io domandavo infatti se tale condizione fosse sufficiente e necessaria ai fini dell'espressione formale della traiettoria di $P$ che avevo indicato. Quindi, in base a quello che mi dici, possiamo dire che non è affatto sufficiente, mentre risulta necessaria. Ma allora, per caratterizzare un tale moto, si pone la questione, in un certo senso, su un piano assiomatico (ossia le traiettorie che ci interessano appartengono alla classe di questa espressione formale)?
Ma (3) resta ancora aperta. Tuttavia, ripensandoci meglio, credo di aver fatto delle valutazioni errate. Ammettere l'eventualità di variabilità della velocità angolare, implica soltanto che la traiettoria viene percorsa in un minor o maggior tempo. Essa dipende infatti da altri parametri, precisamente $R$ e $h$. Mi puoi confermare questo ragionamento?
1) sì, scusa $cos \alpha$
2) definire analiticamente una classe di curve con angolo costante sul cilindro la vedo dura ... La condizione sarebbe $ = \c\o\s\t\a\n\t\e$ quindi $dot x_1 v_1 + dot x_2 v_2 + dot x_3 v_3 = k$ ... troppo generica ...
3) ci guardo dopo cena ...
2) definire analiticamente una classe di curve con angolo costante sul cilindro la vedo dura ... La condizione sarebbe $
3) ci guardo dopo cena ...
2) a meno che non ti accontenti di questo. Se $v = (0,0,1)$, allora $dot x_3 = h$ per cui $x_3 = h \theta + h_0$, ma le $x_1, x_2$ le devi sistemare a mano ...
"anonymous_af8479":
2) a meno che non ti accontenti di questo. Se $v = (0,0,1)$, allora $dot x_3 = h$ per cui $x_3 = h \theta + h_0$
Per il discorso riguardante (2) sono perfettamente d'accordo con quello che hai detto prima: troppo generica. Per quello che hai scritto qui non capisco cosa intendi con $dot x_3 = h$ per cui $x_3 = h \theta + h_0$: $h$ è costante, quindi cosa indica $h_0$? indica forse la parte eventuale di $x_3$ nel caso in cui tra l'inizio della traiettoria (ipotizzandone il verso positivo nel senso di $x_3$ crescente) e il piano $(x_1,x_2)$ vi sia un dislivello? imho penso che il discorso resti comunque lo stesso, cioè del tipo: (sono io che) postulo questo movimento e assegno una certa formula analitica (perché mi interessa una traiettoria fatta così) e in matematica questi oggetti sono noti; così facendo, trovo accidentalmente la proprietà dell'angolo costante. Penso adesso però anche a un altro fatto. L'elica implica anche il fatto di essere una geodetica (la normale principale alla curva coincide con la normale alla superficie), quindi mi chiedo se unitamente all'altra caratteristica, questi due fatti necessari siano anche sufficienti a determinare univocamente quella classe di traiettorie.
Se come condizione poni la costanza dell'angolo, poni il prodotto cartesiano costante. Questo, se il versore della generatrice è verticale (come in questo caso), implica che $dot x_3 =h$. Risolvi e trovi quello che ho scritto sopra, dove $h_0$ è il valore di $x_3$ per $\theta = 0$, che per noi va benissimo porre nullo.
Però, la proprietà di cui stiamo parlando non dice nulla sulle altre due coordinate che devi decidere tu come sono.
La proprietà della geodetica è più forte. Implica anche velocità costante ! Sul cilindro, le geodetiche sono solo le eliche? La risposta è sì. Però, sorgono complessità matematiche non da poco, simboli di Christoffel ecc.
Però, la proprietà di cui stiamo parlando non dice nulla sulle altre due coordinate che devi decidere tu come sono.
La proprietà della geodetica è più forte. Implica anche velocità costante ! Sul cilindro, le geodetiche sono solo le eliche? La risposta è sì. Però, sorgono complessità matematiche non da poco, simboli di Christoffel ecc.
3) ti confermo la rettifica che hai fatto successivamente. Le cose stanno così.
La curva in funzione del tempo è: $(R cos \theta(t) , R sin \theta(t) , h \theta(t))$.
La velocità è: $(-R dot \theta sin \theta , R dot \theta cos \theta , h)$.
La condizione di uniformità del moto è: $dot x_1^2 + dot x_2^2 = R^2 dot \theta^2 = k$ da cui $\theta = \omega t + \omega_0$.
Ora sostituisci nella curva e voilà ...
La curva in funzione del tempo è: $(R cos \theta(t) , R sin \theta(t) , h \theta(t))$.
La velocità è: $(-R dot \theta sin \theta , R dot \theta cos \theta , h)$.
La condizione di uniformità del moto è: $dot x_1^2 + dot x_2^2 = R^2 dot \theta^2 = k$ da cui $\theta = \omega t + \omega_0$.
Ora sostituisci nella curva e voilà ...
"anonymous_af8479":
Se come condizione poni la costanza dell'angolo, poni il prodotto cartesiano costante. Questo, se il versore della generatrice è verticale (come in questo caso), implica che $dot x_3 =h$. Risolvi e trovi quello che ho scritto sopra, dove $h_0$ è il valore di $x_3$ per $\theta = 0$, che per noi va benissimo porre nullo.
bene.. mi devi scusare, ma non avevo visto il puntino su $x_3$ così non avevo capito che si trattasse di un'equazione differenziale. Questo spiega dunque come si giustifica $h$.
La proprietà della geodetica è più forte. Implica anche velocità costante !
intendi un moto elicoidale di tipo uniforme? allora, implicitamente, confermi anche il ragionamento di cui ti avevo chiesto nel terzultimo messaggio (che avevo modificato)? (ho visto adesso che me l'hai confermato)
Sul cilindro, le geodetiche sono solo le eliche? La risposta è sì.
Ma le eliche, come viene evidenziato nel testo, possono anche avere velocità angolare (lo scalare $dot \theta$) variabile, pertanto dovrei dedurre che nei due casi (variabile e costante) si ottengono non eliche nel primo caso, eliche nel secondo. Questo invaliderebbe il ragionamento di cui sopra, in cui dicevo che nei due casi la traiettoria resta sempre la stessa. Però, siccome sono ancora abbastanza convinto di questo fatto (anche perché me l'hai giusto confermato
), debbo dedurre che non ho compreso bene il tuo discorso attuale: velocità costante / geodetiche = eliche. Urge un chiarimento 
ps. è possibile in questi forum dare un voto? perché le risposte che mi hai dato sono molto precise e, risultandomi molto utili, credo proprio darei un bel 10!
Grazie per il 10, sei molto gentile. Magari, qualche punto in meno è più realistico ...
Sì, c'è sempre il solito qui pro quo a cui si fa l'abitudine, maneggiando queste cose. Un conto è la parametrizzazione, un altro conto è l'immagine in $bb R^3$ della medesima. Spesso si fa confusione. Comunque, un'elica è un insieme di $RR^3$ a cui corrispondono infinite parametrizzazioni, tutte però con la stessa immagine che corrispondono a diverse velocità di percorrenza. Basta cambiare variabile, e si ottiene un'altra parametrizzazione ma con la medesima immagine.
Scusa se ho fatto confusione e te ne ho fatta fare. Concludendo, di definizioni di curve ce ne sono diverse, alcune sottolineano la parametrizzazione, altre l'insieme dei punti dell'insieme destinazione ...
Sì, c'è sempre il solito qui pro quo a cui si fa l'abitudine, maneggiando queste cose. Un conto è la parametrizzazione, un altro conto è l'immagine in $bb R^3$ della medesima. Spesso si fa confusione. Comunque, un'elica è un insieme di $RR^3$ a cui corrispondono infinite parametrizzazioni, tutte però con la stessa immagine che corrispondono a diverse velocità di percorrenza. Basta cambiare variabile, e si ottiene un'altra parametrizzazione ma con la medesima immagine.
Scusa se ho fatto confusione e te ne ho fatta fare. Concludendo, di definizioni di curve ce ne sono diverse, alcune sottolineano la parametrizzazione, altre l'insieme dei punti dell'insieme destinazione ...
Direi che sei stato molto chiaro.
Credo di aver capito il discorso della parametrizzazione; in effetti, l'enfasi, per esempio in analisi, mi sembra venga data all'aspetto parametrico, e un conto è considerare l'immagine, un altro conto è prendere in esame l'espressione analitica (la funzione cambia) che la può definire. Mi sono informato un po' sul discorso geodetiche e ho notato che rientrano nel capitolo della geometria differenziale, argomento che ancora non ho affrontato. Ho visto un lemma che afferma esattamente quanto avevi detto (implica velocità costante).
Tuttavia, considerando che non ho ancora affrontato l'argomento geometria differenziale, quindi potrei benissimo dire castronerie, quello che mi sfuggiva era come mai, se ogni elica era un insieme a cui corrispondevano infinite parametrizzazioni, tutte con la stessa immagine ma facenti capo a differenti velocità; le geodetiche dovessero coincidere con tale classe di insiemi (cioè le eliche).
Ebbene, in base a quanto mi hai detto, credo di poter concludere che la proprietà della geodetica (che poi è un risultato derivato dalla sua stessa definizione) riduce la classe delle *parametrizzazioni*, risultando così un concetto più forte; pertanto, se anche le immagini si conservano tutte, si ha una perdita qualitativa rispetto al moto (= vengono tagliate fuori le curve ad accelerazione variabile). Se questo è giusto (non lo fosse, correggimi pure), se ho quindi capito bene quanto mi hai spiegato, ho allora ottenuto di più di quanto mi ero prefisso, anticipando anche alcuni argomenti.
Credo di aver capito il discorso della parametrizzazione; in effetti, l'enfasi, per esempio in analisi, mi sembra venga data all'aspetto parametrico, e un conto è considerare l'immagine, un altro conto è prendere in esame l'espressione analitica (la funzione cambia) che la può definire. Mi sono informato un po' sul discorso geodetiche e ho notato che rientrano nel capitolo della geometria differenziale, argomento che ancora non ho affrontato. Ho visto un lemma che afferma esattamente quanto avevi detto (implica velocità costante).
Tuttavia, considerando che non ho ancora affrontato l'argomento geometria differenziale, quindi potrei benissimo dire castronerie, quello che mi sfuggiva era come mai, se ogni elica era un insieme a cui corrispondevano infinite parametrizzazioni, tutte con la stessa immagine ma facenti capo a differenti velocità; le geodetiche dovessero coincidere con tale classe di insiemi (cioè le eliche).
Ebbene, in base a quanto mi hai detto, credo di poter concludere che la proprietà della geodetica (che poi è un risultato derivato dalla sua stessa definizione) riduce la classe delle *parametrizzazioni*, risultando così un concetto più forte; pertanto, se anche le immagini si conservano tutte, si ha una perdita qualitativa rispetto al moto (= vengono tagliate fuori le curve ad accelerazione variabile). Se questo è giusto (non lo fosse, correggimi pure), se ho quindi capito bene quanto mi hai spiegato, ho allora ottenuto di più di quanto mi ero prefisso, anticipando anche alcuni argomenti.
OK !
ps. una precisazione. Nel mio post delle 18.41 ho dato per scontato che la velocità fosse costante.
Il discorso corretto è questo.
Data la curva $\gamma = (f(t),g(t),h(t))$ la tangente normalizzata a 1 è $dot \gamma = 1 / sqrt{dot f^2 + dot g^2 + dot h^2} (dot f , dot g , dot h)$.
Perché il famoso angolo sia costante si deve avere $ = k$ da cui $1 / sqrt{dot f^2 + dot g^2 + dot h^2} dot h = k$.
Assegnate $f$ e $g$, uno trova $h$.
Questo dimostra l'infinità delle curve corrispondenti alla condizione dell'angolo costante.
Se poniamo la proiezione del punto sulla circonferenza con moto uniforme, si ha $(R cos \omega t , R sin \omega t, h)$ per cui $1 / sqrt{R^2 \omega^2 + dot h^2} dot h = k$ che, risolta, fornisce $h = K t$.
(Ho posto le condizioni iniziali nulle per comodità)
ps. una precisazione. Nel mio post delle 18.41 ho dato per scontato che la velocità fosse costante.
Il discorso corretto è questo.
Data la curva $\gamma = (f(t),g(t),h(t))$ la tangente normalizzata a 1 è $dot \gamma = 1 / sqrt{dot f^2 + dot g^2 + dot h^2} (dot f , dot g , dot h)$.
Perché il famoso angolo sia costante si deve avere $
Assegnate $f$ e $g$, uno trova $h$.
Questo dimostra l'infinità delle curve corrispondenti alla condizione dell'angolo costante.
Se poniamo la proiezione del punto sulla circonferenza con moto uniforme, si ha $(R cos \omega t , R sin \omega t, h)$ per cui $1 / sqrt{R^2 \omega^2 + dot h^2} dot h = k$ che, risolta, fornisce $h = K t$.
(Ho posto le condizioni iniziali nulle per comodità)
ps2. se invece rinunci alla uniformità del moto, la curva è $\gamma = (R cos \theta(t) , R sin \theta(t) , h(t))$ da cui si ricava immediatamente $h(t) = {k R} / sqrt{1 - k^2} \theta(t)$ (sempre ponendo le condizioni iniziali nulle).
Ottimo l'approfondimento, con la condizione dell'angolo costante generalizzata al massimo. Devo però controllare un particolare rispetto al discorso che fai in ps2, e per questo mi occorrono circa un paio di giorni.
Arrigo, tante grazie per aver chiarito così bene il discorso sul moto elicoidale. Le prove che volevo fare erano di tipo grafico utilizzando la formula generale del tuo ps2, ma al momento non mi è possibile, visto che la licenza del software che utilizzo mi è scaduta. Comunque si vede chiaramente dall'espressione per $\gamma$ che si ottiene dal caso generale, che si rimane sempre nell'ambito (nell'immagine) di un'elica come avevamo detto.
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