Ripartizione di cariche tra sfere conduttrici

[TS778LB]

Se due sfere conduttrici di raggio $ R_1 $ e $ R_2 $ vengono collegate con un filo conduttore e sono a grande distanza rispetto ai loro raggi, allora all'equilibrio la carica si ripartisce tra le due sfere in base alla relazione:
$ \frac{q_1}{q_2}=\frac{R_1}{R_2} $
A questa relazione si arriva imponendo l'uguaglianza tra i potenziali delle due sfere che, essendo lontane e quindi in condizioni di trascurabilità del fenomeno di induzione elettrostatica, si esprimono come:
$ V_i=\frac{q_i}{4\pi\epsilon_0R_i $
Sul mio testo (Mazzoldi) viene riportato che il metodo utilizzato da Coulomb per ripartire cariche elettriche tra sferette conduttrice si basa proprio sulla relazione $ \frac{q_1}{q_2}=\frac{R_1}{R_2} $. Coulomb però poneva a contatto sfere di vario raggio. Con il contatto il fenomeno dell'induzione non è più trascurabile e rende non uniforme le distribuzioni superficiali di carica dei due conduttori. Il potenziale non sarà più esprimibile come prima. Come si fa ad ammettere che anche in questo caso le carche si ripartiscono proporzionalmente ai raggi?

[RenzoDF]

Solo se sono uguali, quando messe a contatto, la carica si ripartisce in due parti uguali, se sono di diverso raggio no; quella relazione vale solo se, collegate da un sottile conduttore, si trovano ad una distanza "molto maggiore" del maggiore dei due raggi.

Quando due sfere di diverso raggio vengono messe in contatto (toccandosi) la relazione che esprime il rapporto fra le due cariche ripartite è molto più complessa.

[TS778LB]

Come si fa a dimostrare che se sono uguali allora in seguito a contatto la carica si ripartisce in parti uguali?

[RenzoDF]

Semplicemente sfruttando la simmetria.