Riflessioni sul concetto di rotore e rotazione
Salve, stavo cercando di comprendere per bene il significato del concetto matematico di rotore, visto che mi è necessario per la piena comprensione di alcuni argomenti di Fisica, e mi chiedevo quale fosse la definizione precisa di "rotazione", termine che usano tutte le fonti che consulto.
Per esempio, il mio libro di Analisi dice che il rotore calcolato in un punto P esprime quanto ruota il campo attorno a P, senza dare la definizione di "ruota". Che vuol dire, dunque, "ruota"? Io ho un'idea dinamica di rotazione, mentre un campo vettoriale è "statico" quindi capite bene che mi risulta un pò complicato comprendere la cosa.
Grazie per l'aiuto.
Posto, infine, questo link di wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotore_%28 ... vettoriale
Per esempio, il mio libro di Analisi dice che il rotore calcolato in un punto P esprime quanto ruota il campo attorno a P, senza dare la definizione di "ruota". Che vuol dire, dunque, "ruota"? Io ho un'idea dinamica di rotazione, mentre un campo vettoriale è "statico" quindi capite bene che mi risulta un pò complicato comprendere la cosa.
Grazie per l'aiuto.
Posto, infine, questo link di wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotore_%28 ... vettoriale
Risposte
Basta pensare a dei vettori che rappresentano la velocità, e tutto diventa molto dinamico !
"Quinzio":
Basta pensare a dei vettori che rappresentano la velocità, e tutto diventa molto dinamico !
Il fatto è che il concetto di rotore si applica anche alla teoria dell'elasticità lineare e li è tutto..."statico"
Forse originariamente il nome viene proprio dalle applicazioni di movimento, oppure da fatto che anche graficamente si ha l'idea di rotazione attorno a un punto.
"Quinzio":Quoto. Che io sappia la terminologia "rotore" viene dal caso del campo delle velocità di un fluido, in cui il rotore coincide con la velocità angolare (o qualcosa del genere). Comunque adesso sposto in Fisica, dove sono sicuro che potrai trovare una risposta più soddisfacente.
Forse originariamente il nome viene proprio dalle applicazioni di movimento, oppure da fatto che anche graficamente si ha l'idea di rotazione attorno a un punto.
Ah, a proposito, hai provato a dare un'occhiata a Div, grad, curl and all of that: an informal text on vector calculus di H.M.Schey? E' un libretto che ho trovato molto simpatico e istruttivo.
Ecco a proposito, gli inglesi lo chiamano "curl", "ricciolo". Forse così suona meglio...
Considerato un campo vettoriale ed un certo punto dello spazio, si può dire che il rotore permette di visualizzare la "conformazione" del campo nell'intorno di tale punto?
Per esempio, data una funzione reale di variabile reale $I->RR$ e un punto $x_0 in I$, se $f$ è derivabile in $x_0$ allora, per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di $x_0$ in cui il rapporto incrementale relativo a $x_0$ è positivo, il che equivale a dire che esiste un intorno di $x_0$ in cui la funzione è crescente.
Analogamente, se ho un campo vettoriale $(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$ nello spazio e voglio sapere ad esempio cosa "fanno" le proiezioni lungo l'asse $x$ dei vettori "vicini" ad un punto $(x_0,y_0,z_0)$, la risposta sta nel fare la derivata parziale di $F_x$ rispetto ad $y$ e rispetto a $z$, calcolate in $(x_0,y_0,z_0)$; infatti, se la derivata parziale di $F_x$ rispetto a $y$ è positiva, allora per il teorema della permanenza del segno si deduce che in un intorno di $y_0$ (mantenendo costanti le altre coordinate) $F_x$ è crescente, e questo vuol dire graficamente che il campo appare "ruotare". Estendendo poi tale discorso alle altre componenti del campo, si riesce a caratterizzare completamente quest'ultimo in un intorno di $(x_0,y_0,z_0)$. Non a caso, infatti, nel rotore compaiono proprio le derivate parziali delle componenti $F_i$ del campo rispetto a $k$, con $i$ diverso da $k$.
Insomma, se ho capito bene, il rotore è uno strumento (cosi come lo è la derivata o il limite per funzioni $I->RR$) per studiare l'andamento del grafico del campo vicino ad un certo punto.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Grazie per le risposte
Per esempio, data una funzione reale di variabile reale $I->RR$ e un punto $x_0 in I$, se $f$ è derivabile in $x_0$ allora, per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di $x_0$ in cui il rapporto incrementale relativo a $x_0$ è positivo, il che equivale a dire che esiste un intorno di $x_0$ in cui la funzione è crescente.
Analogamente, se ho un campo vettoriale $(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$ nello spazio e voglio sapere ad esempio cosa "fanno" le proiezioni lungo l'asse $x$ dei vettori "vicini" ad un punto $(x_0,y_0,z_0)$, la risposta sta nel fare la derivata parziale di $F_x$ rispetto ad $y$ e rispetto a $z$, calcolate in $(x_0,y_0,z_0)$; infatti, se la derivata parziale di $F_x$ rispetto a $y$ è positiva, allora per il teorema della permanenza del segno si deduce che in un intorno di $y_0$ (mantenendo costanti le altre coordinate) $F_x$ è crescente, e questo vuol dire graficamente che il campo appare "ruotare". Estendendo poi tale discorso alle altre componenti del campo, si riesce a caratterizzare completamente quest'ultimo in un intorno di $(x_0,y_0,z_0)$. Non a caso, infatti, nel rotore compaiono proprio le derivate parziali delle componenti $F_i$ del campo rispetto a $k$, con $i$ diverso da $k$.
Insomma, se ho capito bene, il rotore è uno strumento (cosi come lo è la derivata o il limite per funzioni $I->RR$) per studiare l'andamento del grafico del campo vicino ad un certo punto.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Grazie per le risposte
Quello che hai scritto è abbastanza corretto: in maniera più coincisa puoi osservare che se prendi una terna solidale ad una particella di fluido e la particella di fluido ruota in maniera rigida allora la velocità angolare sarà $vec omega= 1/2 rot (vec v)$, questo è il legame tra rotore della velocità e rotazione locale del campo di moto. Puoi osservare che se la particella non ruota rigidamente il rotore tiene conto in un certo senso della "rotazione media".
Un altra osservazione interessante discende dal legame tra circuitazione e rotore, per cui consegue che un campo irrotazionale è conservativo.
Un altra osservazione interessante discende dal legame tra circuitazione e rotore, per cui consegue che un campo irrotazionale è conservativo.
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