Riduzione a una coppia, noto il momento

[Sk_Anonymous]

ciao

è dato il momento $ M_O = 3 vec{k} $ di un sistema, mi si chiede in base a ciò di ridurre a una coppia equivalente.

dato che il momento ha direzione $vec{k}$, la coppia sarà nel piano $xy$.

possiamo scrivere

$M_0 = ( P1-O) × vec{v} + (P2-O) × vec{-v} $

dove $vec{v}$ e $vec{-v}$ sono la coppia e $P1$ e $P2$ sono i punti di applicazione dei vettori della coppia.

si applica una relazione che non mi spiego:

$vec{v}= avec{i}+bvec{j} +(3vec{k}×(avec{i}+bvec{j}))/(a^2+b^2)$

non mi spiego la relazione finale adoperata...

[Sk_Anonymous]

ho dimenticato di scrivere: $ P1 - P2 = avec{i}+bvec{j}$ è il braccio

quindi credo che $vec{v}$ sia risultato della somma vettoriale tra il braccio e il termine finale che non capisco come si sia ottenuto...

[Emar1]

"Suv":si applica una relazione che non mi spiego:

$vec{v}= avec{i}+bvec{j} +(3vec{k}×(avec{i}+bvec{j}))/(a^2+b^2)$

non mi spiego la relazione finale adoperata...

In modo più compatto hai:
\[\mathbf{v} = \mathbf{b} + \mathbf{M} \times \frac{\mathbf{b}}{\| \mathbf{b} \|^2}\]

Ragioniamo: innanzi tutto la forza è applicata nella "punta" del vettore braccio, e questo spiega la somma \(\mathbf{b} + \dots\).

Il verso della forza dev'essere quello ortogonale al piano individuato dal momento e dal braccio, ovvero nel verso: \[\frac{\mathbf{M} \times \mathbf{b}}{\| \mathbf{M} \times \mathbf{b} \|} = \frac{\mathbf{M} \times \mathbf{b}}{\| \mathbf{v}\|\|\mathbf{b} \|^2}\]
avendo ricordato che il momento è \(\mathbf{b} \times \mathbf{v}\)

Il modulo dev'essere \(\| \mathbf{v}\|\).

Quindi mettendo insieme il tutto:
\[\mathbf{v} = \mathbf{b} + \frac{\mathbf{M} \times \mathbf{b}}{\| \mathbf{M} \times \mathbf{b} \|}\| \mathbf{v}\| = \mathbf{b} + \frac{\mathbf{M} \times \mathbf{b}}{\cancel{\| \mathbf{v}\|}\|\mathbf{b} \|^2} \cancel{\| \mathbf{v}\|} = \mathbf{b} + \mathbf{M} \times \frac{\mathbf{b}}{\| \mathbf{b} \|^2}\]
che è quello che hai tu.

[strike]Mi sembra strano non compaia un fattore \(1/2\) dato che una coppia è composta da due forze...[/strike] Come non detto, ho visto che \(\mathbf{b}\) in realtà è il doppio del singolo braccio e quindi elide l'\(1/2\)

[Sk_Anonymous]

ciao Emar, grazie per la risposta


non capisco, tuttavia, una cosa: perchè si definisce $vec{v}$ come somma tra un vettore a esso ortogonale , ossia il vettore braccio, e un vettore che ha il verso della forza stessa? In questo caso, non capisco come la risultante di questi somma di vettori abbia ancora verso parallelo a $vec{v}$..