Ricerca dell'asse centrale

[caffeinaplus]

Salve,
sto svolgendo questo esercizio che chiede di trovare le equazioni cartesiane dell'asse centrale.
Il sistema è formato dai vettori

$(A_1,v_1) , (A_2, v_2), (A_3,v_3)$

Dove $A_1 = (5,-2), A_2 = (3,0), A_3=(1,-3)$

Mentre i vettori sono $v_1 = (1,1), v_2=(3,-4), v_3=(-2,6)$


Per trovare l'asse centrale parto dalla definizione, ovvero è quel luogo dei punti tali che se $P$ è un punto di questo asse si ha che $M_P \wedge R = (0,0,0)$

Inoltre sappiamo che il momento $M_P$ si può riscrivere come

$M_P = M_O + P \wedge R$

Ma allora

$M_P \wedge R = 0 = (M_O + P \wedge R ) \wedge R$

Quindi $M_O \wedge R = (R \wedge P ) \wedge R$

Facendo i conti si ha che $R=(2,3,0), M_O=(0,0,-5)$

Mentre $M_O \wedge R = (-15,10,0)$ e se $P=(x,y,z)$

Allora $P\wedgeR = (-3z,2z,3x-2y)$ e $(P\wedgeR)\wedgeR=(6y-9x,6x-4y,-13z)$

Quindi si ha

$
6y-9x=-15,
6x-4y=10,
z=0
$

E questo mi porta a concludere che l'equazione parametrica del luogo dei punti cercato sia
$r = (5/3 + 2/3 * t, t, 0 )$

Solo che se provo a prendere un punto a caso (esempio $t=0$) ecco allora che $M_P \wedge R != 0$

(so che sono le parametriche, ma sarebbe inutile convertirle in cartesiane se poi non funzionano!)

Davvero non capisco cosa sbaglio

[anonymous_0b37e9]

Se il sistema è piano puoi concludere più sinteticamente così:

$|(veci,vecj,veck),(1,1,0),(x-5,y+2,0)|+|(veci,vecj,veck),(3,-4,0),(x-3,y,0)|+|(veci,vecj,veck),(-2,6,0),(x-1,y+3,0)|=0 rarr$

$rarr y+2-x+5+3y+4x-12-2y-6-6x+6=0 rarr$

$rarr 3x-2y+5=0 rarr$

$rarr x=2/3y-5/3$

Insomma, molto probabilmente hai sbagliato solo un segno.

[caffeinaplus]

Ciao e grazie della risposta

Ero molto incerto sulla risposta esatta e avevo sbagliato un segno come hai suggerito tu, che comunque era la conferma che cercavo.