Ricerca assi principali di inerzia quadrato, considerazioni di simmetria.
Salve,
Se considero un quadrato nel piano XY e con baricentro in un punto che chiamo O, in un esercizio che sto svolgendo è fatta la seguente considerazione: nella sezione quadrata, un qualsiasi asse passante per O è principale di inerzia.
A me questa cosa non torna molto. Nel senso: da considerazioni sulla simmetria so che:
- essendo XY piano di simmetria, allora ogni asse ortogonale al quadrato in un suo punto P é principale di inerzia. Gli altri due sono sul piano XY e passanti per P
- se ho un asse di simmetria della figura, esso è principale di inerzia. Anche un asse a esso ortogonale lo é. Il terzo asse principale sarà poi ortogonale a questi.
Ecco, da queste considerazioni non capisco come possa seguire che un qualsiasi asse per O (sul piano XY) è principale...
grazie!
Edit: avevo omesso di dire che questo è un esercizio di geometria delle aree e non delle masse, ma non credo che cambi qualcosa
Se considero un quadrato nel piano XY e con baricentro in un punto che chiamo O, in un esercizio che sto svolgendo è fatta la seguente considerazione: nella sezione quadrata, un qualsiasi asse passante per O è principale di inerzia.
A me questa cosa non torna molto. Nel senso: da considerazioni sulla simmetria so che:
- essendo XY piano di simmetria, allora ogni asse ortogonale al quadrato in un suo punto P é principale di inerzia. Gli altri due sono sul piano XY e passanti per P
- se ho un asse di simmetria della figura, esso è principale di inerzia. Anche un asse a esso ortogonale lo é. Il terzo asse principale sarà poi ortogonale a questi.
Ecco, da queste considerazioni non capisco come possa seguire che un qualsiasi asse per O (sul piano XY) è principale...
grazie!
Edit: avevo omesso di dire che questo è un esercizio di geometria delle aree e non delle masse, ma non credo che cambi qualcosa
Risposte
Un quadrato è un rettangolo con i lati uguali , giusto ? Hai mai sentito parlare dell’ellisse centrale di inerzia di una figura piana? Nel caso del quadrato, l’ellisse diventa una circonferenza.
Ma senza entrare nel merito, perché forse non conosci il concetto accennato, fai cosi. Metti un riferimento cartesiano nel piano del quadrato, con origine in $G$ ( baricentro) e assi (x,y) ortogonali e paralleli alle coppie di lati opposti. Sei in grado di calcolare il m.i. del quadrato rispetto ai due assi , giusto? Ci sono altri assi di simmetria del quadrato ? Direi le diagonali ...: calcola il m.i. rispetto a una diagonale...
Prendi ora una retta $r$ baricentrale qualsiasi formante l’angolo $theta$ diverso da 45º rispetto all’asse $x$ , e quella ad essa perpendicolare, che forma lo stesso angolo con l’asse $y$ .
Esistono formule per il calcolo dei momenti di inerzia rispetto alla coppia di assi ruotati di $theta$ relativamente alla coppia (x,y) . LE conosci ?
Per un inquadramento teorico della geometria delle masse , puoi guardare quanto segue , che è un capitolo del testo di SdC di Vincenzo Franciosi :
http://www.scienzadellecostruzioni.co.u ... 0masse.pdf
Qui ci sono alcuni semplici esercizi sulla determinazione dell’ellisse di inerzia :
https://www.unirc.it/documentazione/mat ... 3_4257.pdf
Ma senza entrare nel merito, perché forse non conosci il concetto accennato, fai cosi. Metti un riferimento cartesiano nel piano del quadrato, con origine in $G$ ( baricentro) e assi (x,y) ortogonali e paralleli alle coppie di lati opposti. Sei in grado di calcolare il m.i. del quadrato rispetto ai due assi , giusto? Ci sono altri assi di simmetria del quadrato ? Direi le diagonali ...: calcola il m.i. rispetto a una diagonale...
Prendi ora una retta $r$ baricentrale qualsiasi formante l’angolo $theta$ diverso da 45º rispetto all’asse $x$ , e quella ad essa perpendicolare, che forma lo stesso angolo con l’asse $y$ .
Esistono formule per il calcolo dei momenti di inerzia rispetto alla coppia di assi ruotati di $theta$ relativamente alla coppia (x,y) . LE conosci ?
Per un inquadramento teorico della geometria delle masse , puoi guardare quanto segue , che è un capitolo del testo di SdC di Vincenzo Franciosi :
http://www.scienzadellecostruzioni.co.u ... 0masse.pdf
Qui ci sono alcuni semplici esercizi sulla determinazione dell’ellisse di inerzia :
https://www.unirc.it/documentazione/mat ... 3_4257.pdf
Da questa immagine è evidente. Le trasformazioni che mandano il pezzo nel primo quadrante negli altri quadranti sono del tipo: $x'=-y, y'=x$, e dato che il momento deviatorico coinvolge i prodotto xy si ha che $xy=-x'y'$ e quindi i momenti deviatorici hanno somma nulla, i.e. è un asse principale.
Grazie ad entrambi!
Non abbiamo proprio parlato dell’ellisse centrale ma leggendo da alcuni testi ho vagamente in mente ciò che intendi e, se non capisco male, essendo l’ellisse d’inerzia una circonferenza allora il raggio di inerzia è lo stesso e, quindi, anche tutti i momenti di inerzia.
Poi sì, abbiamo visto la formula per trovare i momenti di inerzia rispetto a assi ruotati di theta e quindi calcolando rispetto a un theta qualunque mi deve venire lo stesso risultato?
Non abbiamo proprio parlato dell’ellisse centrale ma leggendo da alcuni testi ho vagamente in mente ciò che intendi e, se non capisco male, essendo l’ellisse d’inerzia una circonferenza allora il raggio di inerzia è lo stesso e, quindi, anche tutti i momenti di inerzia.
Poi sì, abbiamo visto la formula per trovare i momenti di inerzia rispetto a assi ruotati di theta e quindi calcolando rispetto a un theta qualunque mi deve venire lo stesso risultato?
Poi sì, abbiamo visto la formula per trovare i momenti di inerzia rispetto a assi ruotati di theta e quindi calcolando rispetto a un theta qualunque mi deve venire lo stesso risultato?
Si, stiamo parlando del quadrato; ma anche una figura piana regolare qualsiasi come un esagono o un pentagono ecc.ecc. ha l’ellisse di inerzia di forma circolare, per ragioni di simmetria. Naturalmente gli assi di simmetria non sono a 90º come nel quadrato. E se poi passi ai corpi solidi, come il cubo, i poliedri regolari...hai la stessa musica, l’ellissoide di inerzia è una sfera.
Ho trovato questo paragrafo che fa per te, per una figura piana qualunque :
dalle equazioni 3.8 applicate al caso del quadrato vedi che, presi gli assi baricentrici (x,y) paralleli ai lati, i momenti principali di inerzia sono uguali e il momento centrifugo è nullo :
$(J_x = J_y )$ $\bigwedge$ $ J_(xy) = 0 $
quindi si ha subito : $(J_u = J_v )$ $\bigwedge$ $ J_(uv) = 0 $ , $AA (u,v)$
ovvero qualunque sia $theta$ .
Grazie mille!
Ragionando su alcune delle proprietà sopra dette mi è sorto un altro dubbio che posto qua per evitare di riaprire una discussione simile..
Dato che io so che il baricentro di una figura è appartenente all’asse di simmetria della figura stessa (e due assi me lo fissano e saranno, tra l’altro, principali di inerzia) allora, se io trovo il baricentro con considerazioni analitiche (e non “grafiche” perché magari non immediato), posso dire in generale che un asse principale passerà sempre per il baricentro (Poiché so che ci sarà un asse per G che è di simmetria, visto che G si trova su asse di simmetria e un asse di simmetria é principale di inerzia). Vi torna? Non so quanto possa poi essere utile a livello pratico ma è per capire se ragiono per bene.
Inoltre, se mi viene detto di determinare gli assi principali di inerzia e non mi viene dato un punto rispetto a cui determinarli allora direi che posso sceglierlo io, no? Perché, in generale, se cambio il punto in cui voglio l’origine degli assi principali questi cambiano..
Dato che io so che il baricentro di una figura è appartenente all’asse di simmetria della figura stessa (e due assi me lo fissano e saranno, tra l’altro, principali di inerzia) allora, se io trovo il baricentro con considerazioni analitiche (e non “grafiche” perché magari non immediato), posso dire in generale che un asse principale passerà sempre per il baricentro (Poiché so che ci sarà un asse per G che è di simmetria, visto che G si trova su asse di simmetria e un asse di simmetria é principale di inerzia). Vi torna? Non so quanto possa poi essere utile a livello pratico ma è per capire se ragiono per bene.
Inoltre, se mi viene detto di determinare gli assi principali di inerzia e non mi viene dato un punto rispetto a cui determinarli allora direi che posso sceglierlo io, no? Perché, in generale, se cambio il punto in cui voglio l’origine degli assi principali questi cambiano..
Vi torna? Non so quanto possa poi essere utile a livello pratico ma è per capire se ragiono per bene.
Tutto sbagliato, non hai capito niente
come mai? Qual è la considerazione errata?
Io sto parlando di geometria delle aree e non delle masse quindi il baricentro è appartenente a un asse di simmetria.
Viceversa, se so dove è il baricentro allora so che UN asse di simmetria passerà per tale punto e quello sarà anche principale di inerzia (visto che di simmetria). Oppure è proprio questo l’errore e cioè non Vale il viceversa?
Io sto parlando di geometria delle aree e non delle masse quindi il baricentro è appartenente a un asse di simmetria.
Viceversa, se so dove è il baricentro allora so che UN asse di simmetria passerà per tale punto e quello sarà anche principale di inerzia (visto che di simmetria). Oppure è proprio questo l’errore e cioè non Vale il viceversa?
io so che il baricentro di una figura è appartenente all’asse di simmetria della figura stessa
Limitiamoci a figure nel piano, quindi “geometria delle aree”. Solo per cominciare l’analisi dei tuoi pensieri : chi ti dice che una figura piana qualsiasi debba avere un asse di simmetria? Eppure ha un baricentro!
LA figura seguente rappresenta una superficie piana senza assi di simmetria :
Ora devo assentarmi, continua gtx , con molta calma ...
Vero, nel ragionare prendevo in considerazione tutte figure simmetriche o comunque con assi di simmetria... che stupido! Quindi se ho un asse di simmetria so che G sta su esso ma ovviamente non che se esiste G allora esiste anche un asse di simmetria...
Però se invece ho una figura che individuo essere simmetrica e di cui so il baricentro allora posso dire che un asse baricentrico sarà di simmetria e quindi principale di inerzia (banalmente)
Però se invece ho una figura che individuo essere simmetrica e di cui so il baricentro allora posso dire che un asse baricentrico sarà di simmetria e quindi principale di inerzia (banalmente)
Risposta lampo da cellulare: NO! Idee miste e confuse.
Non hai chiaro per niente i concetti.
Per OGNI PUNTO di una figura piana esistono SEMPRE ALMENO due assi principali ORTOGONALI TRA LORO (mi limito al caso piano) -> deriva dalla proprietà di simmetria e definita positivà del tensore d'inerzia. Il baricentro non ha nessun ruolo privilegiato.
Come si trovano?: trovando gli autovettori della matrice di inerzia.
Esiste un modo piu semplice per trovare gli assi principali senza dover trovare autovettori? SI esistono delle PROPRIETà GENERALI , che sono quelle che hai elencato nel primo messaggio:
Se una figura rispetta queste proprietà allora puoi trovare gli assi principali (rispetto a un dato punto ovviamente) in modo immediato. Si tratta pertanto di condizioni sufficienti.
Se una figura non rispetta quelle proprietà, rispetto a un dato punto, per trovare gli assi principali, invece di trovare autovettori. puoi cercare delle condizioni PARTICOLARI DI SIMMETRIA che non hanno nessuna pretesa di generalità: è il caso del quadrato di prima....cercavi di dimostrare quella proprietà particolare partendono da condizioni generali...
Se non esiste nessuna particolare simmetria/antisimmetria o altro, non ti resta che trovare gli autovettori.
Il baricentro non ha nessun ruolo privilegiato nelle considerazioni di sopra, nè tantomeno sugli assi principali.
Per OGNI PUNTO di una figura piana esistono SEMPRE ALMENO due assi principali ORTOGONALI TRA LORO (mi limito al caso piano) -> deriva dalla proprietà di simmetria e definita positivà del tensore d'inerzia. Il baricentro non ha nessun ruolo privilegiato.
Come si trovano?: trovando gli autovettori della matrice di inerzia.
Esiste un modo piu semplice per trovare gli assi principali senza dover trovare autovettori? SI esistono delle PROPRIETà GENERALI , che sono quelle che hai elencato nel primo messaggio:
essendo XY piano di simmetria, allora ogni asse ortogonale al quadrato in un suo punto P é principale di inerzia. Gli altri due sono sul piano XY e passanti per P
- se ho un asse di simmetria della figura, esso è principale di inerzia. Anche un asse a esso ortogonale lo é. Il terzo asse principale sarà poi ortogonale a questi.
Se una figura rispetta queste proprietà allora puoi trovare gli assi principali (rispetto a un dato punto ovviamente) in modo immediato. Si tratta pertanto di condizioni sufficienti.
Se una figura non rispetta quelle proprietà, rispetto a un dato punto, per trovare gli assi principali, invece di trovare autovettori. puoi cercare delle condizioni PARTICOLARI DI SIMMETRIA che non hanno nessuna pretesa di generalità: è il caso del quadrato di prima....cercavi di dimostrare quella proprietà particolare partendono da condizioni generali...
Se non esiste nessuna particolare simmetria/antisimmetria o altro, non ti resta che trovare gli autovettori.
Il baricentro non ha nessun ruolo privilegiato nelle considerazioni di sopra, nè tantomeno sugli assi principali.
Magari un esempio aiuta.
Prendi il quadrato e calcola il baricentro usando i due modi, uno usando la simmetria, uno usando area e momento rispetto l'asse.
Il primo lo usi quando hai simmetrie, il secondo vale sempre
Inoltre se una figura ha due assi di simmetria retti, allora questi sono anche gli assi principali.
Nel caso del quadrato passano anche per il baricentro
Prendi il quadrato e calcola il baricentro usando i due modi, uno usando la simmetria, uno usando area e momento rispetto l'asse.
Il primo lo usi quando hai simmetrie, il secondo vale sempre
Inoltre se una figura ha due assi di simmetria retti, allora questi sono anche gli assi principali.
Nel caso del quadrato passano anche per il baricentro
Grazie a tutti, in effetti ho messo in ballo il baricentro quando non c’entra nulla. Stavo facendo confusione nel voler generalizzare quanto visto nel quadrato per altre strutture simmetriche o, ancora peggio, per strutture anche non simmetriche.
Grazie per la pazienza...
Grazie per la pazienza...
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