Ricavare velocità e accelerazione in coordinate polari
Stavo riguardando gli appunti, preparando fisica 1, e mi è venuto un dubbio cercando di dimostrare le formule di velocità e accelerazione in coordinate polari. In particolare non riesco a svolgere le derivate dei versori.
Ho iniziato così:
I versori hanno norma unitaria \(\displaystyle e_r \cdot e_r=1 \),
derivando trovo che \(\displaystyle e_r \cdot\frac{d}{dt}e_r=0 \),
ovvero la derivata di un versore è perpendicolare al versore stesso. E qua mi fermo. Non riesco a risalire alla formula dataci per la derivata dei versori polari, cioè
\(\displaystyle e_{r}=\vec{\omega}\times e_{r} \), dove omega è il vettore velocità angolare del sistema di riferimento polare.
Non credo sia così necessario saperlo in fondo (nel grande schema delle cose) ma mi farebbe piacere poterla usare con qualche cognizione di causa. Grazie mille
Ho iniziato così:
I versori hanno norma unitaria \(\displaystyle e_r \cdot e_r=1 \),
derivando trovo che \(\displaystyle e_r \cdot\frac{d}{dt}e_r=0 \),
ovvero la derivata di un versore è perpendicolare al versore stesso. E qua mi fermo. Non riesco a risalire alla formula dataci per la derivata dei versori polari, cioè
\(\displaystyle e_{r}=\vec{\omega}\times e_{r} \), dove omega è il vettore velocità angolare del sistema di riferimento polare.
Non credo sia così necessario saperlo in fondo (nel grande schema delle cose) ma mi farebbe piacere poterla usare con qualche cognizione di causa. Grazie mille
Risposte
Forse mi sfugge qualcosa ma quella relazione vale solo per quanto riguarda la direzione e magari il verso dei vettori. Se $e_r$ e $e_{\theta}$ sono versori e quindi il loro modulo è unitario, non può valere quella relazione che comporterebbe
$1=|e_r|=\omega|e_\{theta}|\sin\alpha=\omega\sin\alpha$.
$1=|e_r|=\omega|e_\{theta}|\sin\alpha=\omega\sin\alpha$.
... ma per quella mancano le derivate nella relazione scritta da sphyr
Quella è :
$ (dA) /dt=(ω)xx (A) $
$ (dA) /dt=(ω)xx (A) $
"Lucacs":
Quella è :
$ (dA) /dt=(ω)xx (A) $
Mi riferivo a questa, erano sbagliati gli appunti a cui mi riferivo. Che comunque non mi torna. Mi scuso per la confusione generata (anche se la relazione di Poisson l'avevamo accennata parlando di SR non inerziali)
@ sphyr
Basta ricordare che:
Quindi:
Insomma, non è necessario scomodare le formule di Poisson.
Basta ricordare che:
$vec(u_r)=cos\thetaveci+sin\thetavecj$
$vec(u_\theta)=-sin\thetaveci+cos\thetavecj$
Quindi:
$(dvec(u_r))/(dt)=-dot\thetasin\thetaveci+dot\thetacos\thetavecj=dot\thetavec(u_\theta)$
$(dvec(u_\theta))/(dt)=-dot\thetacos\thetaveci-dot\thetasin\thetavecj=-dot\thetavec(u_r)$
Insomma, non è necessario scomodare le formule di Poisson.
Ma vuoi mettere la comodità...
Ricavare Coriolis da lì è lunghissimo
Ricavare Coriolis da lì è lunghissimo
Veramente, stai facendo confusione. Insomma, la descrizione, in un sistema di riferimento inerziale, di un moto piano in coordinate polari, piuttosto che in coordinate cartesiane, non ha nulla a che vedere con i sistemi di riferimento non inerziali. Si tratta di applicare due diversi modelli matematici al medesimo sistema di riferimento inerziale.
Mi è chiara la distinzione: Le coordinate polari sono un sistema di riferimento in cui, a differenza delle coordinate cartesiane, i versori non hanno direzione costante. Mi è chiaro anche che le formule di velocità e accelerazione in polari sono solo un caso particolare di velocità e accelerazione in un SR non inerziale e rotante (uno ancorato alla stessa origine delle cartesiane). L'unica possibile fonte di confusione è la formula sbagliata nel mio primo intervento, che ora provvedo a correggere.
"sphyr":
Le coordinate polari sono un sistema di riferimento in cui, a differenza delle coordinate cartesiane, i versori non hanno direzione costante.
Ok.
"sphyr":
Mi è chiaro anche che le formule di velocità e accelerazione in polari sono solo un caso particolare di velocità e accelerazione in un SR non inerziale e rotante (uno ancorato alla stessa origine delle cartesiane).
Continuo a non capire di quale caso, relativo ai sistemi di riferimento non inerziali, le seguenti formule:
Vettore posizione
$vec(OP)=rvec(u_r)$
Vettore velocità
$vecv=dotrvec(u_r)+rdot\thetavec(u_\theta)$
Vettore accelerazione
$veca=(ddotr-rdot\theta^2)vec(u_r)+(rddot\theta+2dotrdot\theta)vec(u_\theta)$
sarebbero un caso particolare. Insomma, le formule di cui sopra sono del tutto generali e di carattere puramente cinematico. Proprio per questo, se vuoi, possono essere utilizzate anche in un sistema di riferimento non inerziale in cui, piuttosto, a fare la differenza sono le forze apparenti. Tuttavia, questo aspetto compete alla dinamica, non alla cinematica.
Ed è sbagliato ancora
$ e_(r, θ) $ andava molto meglio $ e_r= $????
$ e_(r, θ) $ andava molto meglio $ e_r= $????
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