Ricavare velocità di gruppo
salve ragazzi volevo porvi un quesito in cui non riesco a venirne a capo
data la relazione tra indice di rifrazione e lunghezza d'onda (equazione di Cauchy)
\(\displaystyle n=A+{B \over \lambda^2} \)
devo ricavare la velocità di gruppo espressa da \(\displaystyle {d \omega \over dk}=v_g \)
come devo proseguire?
per il momento mi è venuto solo in mente di riscrivermi \(\displaystyle n={{A \lambda^2 +B} \over {\lambda^2}} \)
ma come posso eseguire questa derivata
grazie in anticipo a tutti
data la relazione tra indice di rifrazione e lunghezza d'onda (equazione di Cauchy)
\(\displaystyle n=A+{B \over \lambda^2} \)
devo ricavare la velocità di gruppo espressa da \(\displaystyle {d \omega \over dk}=v_g \)
come devo proseguire?
per il momento mi è venuto solo in mente di riscrivermi \(\displaystyle n={{A \lambda^2 +B} \over {\lambda^2}} \)
ma come posso eseguire questa derivata
grazie in anticipo a tutti
Risposte
help
Se non scrivi cosa sono A e B è difficile dare una mano
sono valori costanti che dipendono solo dal materiale sia A che B
up
ci ho sbattuto la testa per un po' ma poi ho risolto così
data l'espressione di Cauchy per l'indice di rifrazione
\(\displaystyle n=A+{B \over \lambda^2} = {{\lambda^2A+B} \over {\lambda^2}}\)
\(\displaystyle \omega (k) = 2 \pi \nu = 2 \pi {v_f \over \lambda}= 2 \pi {c \over n \lambda}={{2 \pi c} \over{ {\lambda^2 A+B} \over \lambda^2} \lambda }= {{2 \pi c} \over{ {\lambda^2 A+B} \over \lambda}}= {2 \pi c \lambda \over \lambda^2A+B} \)
dove ho semplicemente sostituito la frequenza dalla relazione \(\displaystyle {\nu = {c \over \lambda}} \) e successivamente la velocità di fase come \(\displaystyle {v_f= {c \over n}} \) il resto sono passaggi algebrici
poi sapendo che la velocità di gruppo è
\(\displaystyle {{{d \omega} \over {d k}}= {d \omega \over d \lambda} {d \lambda \over d k}} \)
l'espressione di \(\displaystyle \lambda \) in funzione di k è \(\displaystyle {\lambda={ 2 \pi \over k}} \)
eseguendo la derivata di w(k) rispetto a \(\displaystyle \lambda \) e di \(\displaystyle \lambda (k) \) rispetto a k, e moltiplicando ho trovato l'espressione della velocità di gruppo che mi è risultata essere
\(\displaystyle {{{d \omega} \over {d k}}= {d \omega \over d \lambda} {d \lambda \over d k}}={{2 \pi c (B- \lambda^2 A)} \over {(A \lambda^2 + B)^2}}{({{- \lambda^2} \over {2 \pi}})} \)
data l'espressione di Cauchy per l'indice di rifrazione
\(\displaystyle n=A+{B \over \lambda^2} = {{\lambda^2A+B} \over {\lambda^2}}\)
\(\displaystyle \omega (k) = 2 \pi \nu = 2 \pi {v_f \over \lambda}= 2 \pi {c \over n \lambda}={{2 \pi c} \over{ {\lambda^2 A+B} \over \lambda^2} \lambda }= {{2 \pi c} \over{ {\lambda^2 A+B} \over \lambda}}= {2 \pi c \lambda \over \lambda^2A+B} \)
dove ho semplicemente sostituito la frequenza dalla relazione \(\displaystyle {\nu = {c \over \lambda}} \) e successivamente la velocità di fase come \(\displaystyle {v_f= {c \over n}} \) il resto sono passaggi algebrici
poi sapendo che la velocità di gruppo è
\(\displaystyle {{{d \omega} \over {d k}}= {d \omega \over d \lambda} {d \lambda \over d k}} \)
l'espressione di \(\displaystyle \lambda \) in funzione di k è \(\displaystyle {\lambda={ 2 \pi \over k}} \)
eseguendo la derivata di w(k) rispetto a \(\displaystyle \lambda \) e di \(\displaystyle \lambda (k) \) rispetto a k, e moltiplicando ho trovato l'espressione della velocità di gruppo che mi è risultata essere
\(\displaystyle {{{d \omega} \over {d k}}= {d \omega \over d \lambda} {d \lambda \over d k}}={{2 \pi c (B- \lambda^2 A)} \over {(A \lambda^2 + B)^2}}{({{- \lambda^2} \over {2 \pi}})} \)
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