Ricavare la lagrangiana nel sistema di coordinate sferico
Sperando di non avere fatto troppi errori, senza riportare il disegno, le coordinate sono:
$x=\rho sin \theta cos \phi $
$y=\rho sin \theta sin \phi$
$z=\rho cos \phi$
Ora, devo prima derivarle, per poi elevarle singolarmente a quadrato ed alla fine semplificarle. Tralasciando $\rho$ e derivando :
$x$, $\dot \theta cos \theta cos \phi -\dot \phi sin \theta sin \phi $
$y$, $\dot \theta cos \theta sin \phi +\dot \phi sin \theta cos \phi $
$z$, $-\dot \phi sin \phi $
Elevando al quadrato:
$x$, $\dot \theta^2 cos^2 \theta cos^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta sin^2 \phi -2\dot \theta^2 \dot \phi^2 cos \theta cos \phi sin \theta sin \phi $
$y$, $\dot \theta^2 cos^2 \theta sin^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta cos^2 \phi +2\dot \theta^2 \dot \phi^2 cos \theta sin \phi sin \theta cos \phi $
$z$, $\dot \phi^" sin^2 \phi$
Sommando tutto e raccogliendo:
$\dot \theta^2 cos^2 \theta cos^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta sin^2 \phi -2\dot \theta^2 \dot \phi^2 cos \theta cos \phi sin \theta sin \phi + dot \theta^2 cos^2 \theta sin^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta cos^2 \phi +2\dot \theta^2 \dot \phi^2 cos \theta sin \phi sin \theta cos \phi +\dot \phi^" sin^2 \phi $
$dot \theta^2 cos^2 \theta cos^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta sin^2 \phi + \dot \theta^2 cos^2 \theta sin^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta cos^2 \phi + \dot \phi^" sin^2 \phi$
$\dot \theta^2 (cos^2 \theta cos^2 \phi + cos^2 \theta sin^2 \phi)+ \dot \phi^2(sin^2 \theta sin^2 \phi + sin^2 \theta sin^2 \phi)+ \dot \phi^" sin^2 \phi$
$\dot \theta^2 (cos^2 \theta(cos^2 \phi+sin^2 \theta))+ \dot \phi^2(sin^2 \theta(sin^2\phi + cos^2 \phi))+ \dot \phi^" sin^2 \phi$
E quindi:
$\dot \theta^2 cos^2 \theta+ \dot \phi^2sin^2 \theta+ \dot \phi^" sin^2 \phi$
$T=\frac{m\rho^2}{2}(dot \theta^2 cos^2 \theta+ \dot \phi^2sin^2 \theta+ \dot \phi^" sin^2 \phi)$
E poi? Come viene fuori questa:
?
$x=\rho sin \theta cos \phi $
$y=\rho sin \theta sin \phi$
$z=\rho cos \phi$
Ora, devo prima derivarle, per poi elevarle singolarmente a quadrato ed alla fine semplificarle. Tralasciando $\rho$ e derivando :
$x$, $\dot \theta cos \theta cos \phi -\dot \phi sin \theta sin \phi $
$y$, $\dot \theta cos \theta sin \phi +\dot \phi sin \theta cos \phi $
$z$, $-\dot \phi sin \phi $
Elevando al quadrato:
$x$, $\dot \theta^2 cos^2 \theta cos^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta sin^2 \phi -2\dot \theta^2 \dot \phi^2 cos \theta cos \phi sin \theta sin \phi $
$y$, $\dot \theta^2 cos^2 \theta sin^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta cos^2 \phi +2\dot \theta^2 \dot \phi^2 cos \theta sin \phi sin \theta cos \phi $
$z$, $\dot \phi^" sin^2 \phi$
Sommando tutto e raccogliendo:
$\dot \theta^2 cos^2 \theta cos^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta sin^2 \phi -2\dot \theta^2 \dot \phi^2 cos \theta cos \phi sin \theta sin \phi + dot \theta^2 cos^2 \theta sin^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta cos^2 \phi +2\dot \theta^2 \dot \phi^2 cos \theta sin \phi sin \theta cos \phi +\dot \phi^" sin^2 \phi $
$dot \theta^2 cos^2 \theta cos^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta sin^2 \phi + \dot \theta^2 cos^2 \theta sin^2 \phi +\dot \phi^2 sin^2 \theta cos^2 \phi + \dot \phi^" sin^2 \phi$
$\dot \theta^2 (cos^2 \theta cos^2 \phi + cos^2 \theta sin^2 \phi)+ \dot \phi^2(sin^2 \theta sin^2 \phi + sin^2 \theta sin^2 \phi)+ \dot \phi^" sin^2 \phi$
$\dot \theta^2 (cos^2 \theta(cos^2 \phi+sin^2 \theta))+ \dot \phi^2(sin^2 \theta(sin^2\phi + cos^2 \phi))+ \dot \phi^" sin^2 \phi$
E quindi:
$\dot \theta^2 cos^2 \theta+ \dot \phi^2sin^2 \theta+ \dot \phi^" sin^2 \phi$
$T=\frac{m\rho^2}{2}(dot \theta^2 cos^2 \theta+ \dot \phi^2sin^2 \theta+ \dot \phi^" sin^2 \phi)$
E poi? Come viene fuori questa:
?
Risposte
E' chiaro che non devi considerare costante il raggio, ma devi derivare tutto anche rispetto a $rho$ (altrimenti non comparirebbe $dot(rho)$ nel risultato finale!). Se hai coordinate sferiche non è detto che il punto si muova effettivamente su una sfera (a raggio costante): queste coordinate sono di uso generale!
$1.$Ok, hai ragione. Vuoi dire che se derivassi anche rispetto a $\rho$ riuscirei a ricavare la lagrangiana in coordinate sferiche?
$2.$Il problema è nato quando ho dovuto cercare la lagrangiana del pendolo sferico. Ora, posso ottenere quest'ultima semplicemente considerando costante $\rho$, ed il problema è risolto, ma sono comunque curioso di sapere come ottengo $L=\frac{m \rho^2}{2}( \dot \theta^2+ \dot \phi^2 sin^2 \theta)$ una volta arrivato agli ultimi passaggi del primo post.
Edit. Ho sbagliato. $z=\rho cos \theta$
$2.$Il problema è nato quando ho dovuto cercare la lagrangiana del pendolo sferico. Ora, posso ottenere quest'ultima semplicemente considerando costante $\rho$, ed il problema è risolto, ma sono comunque curioso di sapere come ottengo $L=\frac{m \rho^2}{2}( \dot \theta^2+ \dot \phi^2 sin^2 \theta)$ una volta arrivato agli ultimi passaggi del primo post.
Edit. Ho sbagliato. $z=\rho cos \theta$
I prodotti
scalari sono ottenuti mediante il tensore metrico$ g_(ij)$:
$"="g_(ij)u^iv^j$
In coordinate cartesiane ortogonali$g_(ij)=\delta_(ij)$.
In un altro sistema di coordinate $"*"$ (sistema che chiamo appunto "star"): $g"*"_(ij)=A_i^rA_j^s\delta_rs$,
dove $A_p^q$ è la matrice di cambiamento di coordinate dalle cartesiane ortogonali alle $"*"$:
$A_p^q=\delx^q/(\delx"*"_p)$.
Si trova (si può fare per esercizio) che la matrice $g*_(ij)$ in coordinate sferiche $(\rho, \phi, \theta)$ è:
$((1,0,0),(0,\rho^2sin^2\theta,0),(0,0,\rho^2))$.
Nota: mi avvedo che, nelle coordinate come sono state date, è stato chiamato $\theta$ quel che
di solito è chiamato $\phi$, e viceversa _ma è lo stesso!
scalari sono ottenuti mediante il tensore metrico$ g_(ij)$:
$
In coordinate cartesiane ortogonali$g_(ij)=\delta_(ij)$.
In un altro sistema di coordinate $"*"$ (sistema che chiamo appunto "star"): $g"*"_(ij)=A_i^rA_j^s\delta_rs$,
dove $A_p^q$ è la matrice di cambiamento di coordinate dalle cartesiane ortogonali alle $"*"$:
$A_p^q=\delx^q/(\delx"*"_p)$.
Si trova (si può fare per esercizio) che la matrice $g*_(ij)$ in coordinate sferiche $(\rho, \phi, \theta)$ è:
$((1,0,0),(0,\rho^2sin^2\theta,0),(0,0,\rho^2))$.
Nota: mi avvedo che, nelle coordinate come sono state date, è stato chiamato $\theta$ quel che
di solito è chiamato $\phi$, e viceversa _ma è lo stesso!
Grazie a tutti, abbiamo risolto 
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