Ricavare Energia Cinetica

[moreno88]

Salve a tutti,
vorrei chiedervi un chiarimento su come ottenere questa formula.

Il problema chiede di calcolare la massima energia che una particella alpha di 5Mev può trasferire in un urto ad un elettrone(posto fermo).
Il risultato finale è
[tex]E_{max}= \frac{4mM}{(M+m)^2} E[/tex]
con $M_a>>m_e$

ma come la ottengo quella formula?
Ho provato dall'equazione di conservazione dell'enrgia per gli urti, ma credo che quel risultato sia stato già approssimato ...come dovrei farlo?

[Falco5x]

Quella formula esce considerando semplicemente un urto monodimensionale pensando le particelle come palline, applicando la conservazione della quantità di moto e dell'energia.
Riporto i passaggi senza spiegarli, perché mi sembrano abbastanza dettagliati e autoesplicativi:

[tex]\begin{array}{l}
M{V_0} = M{V_1} + m{v_1} \\
{E_0} = \frac{1}{2}M{V_0}^2 = \frac{1}{2}M{V_1}^2 + \frac{1}{2}m{v_1}^2 \\
{V_0}^2 = {V_1}^2 + \frac{m}{M}{v_1}^2 \\
{V_0}^2 + {\left( {\frac{m}{M}} \right)^2}{v_1}^2 - 2\frac{m}{M}{V_0}{v_1} = {V_1}^2 \\
{V_0}^2 = {V_0}^2 + {\left( {\frac{m}{M}} \right)^2}{v_1}^2 - 2\frac{m}{M}{V_0}{v_1} + \frac{m}{M}{v_1}^2 \\
{\left( {\frac{m}{M}} \right)^2}{v_1}^2 + \frac{m}{M}{v_1}^2 - 2\frac{m}{M}{V_0}{v_1} = 0 \\
{v_1} = 2\frac{{M{V_0}}}{{m + M}} \\
{v_1}^2 = 4\frac{{{M^2}{V_0}^2}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}} = 8\frac{{M\frac{1}{2}M{V_0}^2}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}} = \frac{{8M{E_0}}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}} \\
{E_1} = \frac{1}{2}m{v_1}^2 = \frac{1}{2}m\frac{{8M{E_0}}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}} = \frac{{4mM}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}}{E_0} \\
\end{array}[/tex]