Retta dei minimi quadrati
Salve, vorrei ricevere una spiegazione riguardo al seguente problema:nel costruire la retta dei minimi quadrati quale procedimento si deve seguire per scegliere la variabile indipendente(quella da porre sull asse delle x), dovrebbe essere quella che ha minore errore, ma quale errore e come si fanno i calcoli? Grazie.
Maria
Maria
Risposte
se hai un set di misure del tipo portate $P$ e livelli $liv$ di un corso d'acqua puoi cercare di trovare una legge delle portate che per un livello qualsiasi assegnato restituisca un valore di portata e in aggiunta anche un valore di dispersione del dato.
Un metodo per farlo è quello per esempio dei minimi quadrati. Supponi che il fenomeno livelli-portate sia descritto da una legge polinomiale del tipo $P=A*liv^B$ dove i due coefficienti A e B sono incogniti: puoi pensare di minimizzare la somma dei quadrati degli scarti, ovverosia $\sum(A*liv_i^B-P_i)^2=\Delta$.
Per minimizzare questo $\Delta$ lo derivi sia per A che per B ed ottieni un sistema di due equazioni in due incognite:
$\frac{\partial \Delta}{\partial A}=0$
$\frac{\partial \Delta}{\partial B}=0$
Il sistema è non lineare e dovresti procedere o per tentativi, oppure minimizzi $\Delta$ con uno dei tanti pacchetti di ottimizzazione che trovi in rete.
Per l'esempio proposto, ci sarebbe una seconda via, che però non stima il $\Delta$ minimo su un piano livelli-portate, ma su un doppio piano logaritmico $log(liv)$ e $log(P)$. Questo metodo prevede di trasformare la relazione $P=A*liv^B$ in $log(A)+Blog(liv_i)-log(P_i)$. Quind si calcolala una nuova somma del quadrato degli scarti con $\sum(log(A)+Blog(liv_i)-log(P_i))^2=\bar{\Delta}$ e si procede come sopra minimizzando $\bar{\Delta}$.
Se plotti la soluzione sul grafico bi-logaritmico, ottieni una retta perchè il coefficiene angolare è dato dall'esponente B mentre l'intercetta da $log(A)$.
Da ricordarsi che la soluzione di minimo così ottenuta non è quella cercata, ma le "si avvicina".
Un metodo per farlo è quello per esempio dei minimi quadrati. Supponi che il fenomeno livelli-portate sia descritto da una legge polinomiale del tipo $P=A*liv^B$ dove i due coefficienti A e B sono incogniti: puoi pensare di minimizzare la somma dei quadrati degli scarti, ovverosia $\sum(A*liv_i^B-P_i)^2=\Delta$.
Per minimizzare questo $\Delta$ lo derivi sia per A che per B ed ottieni un sistema di due equazioni in due incognite:
$\frac{\partial \Delta}{\partial A}=0$
$\frac{\partial \Delta}{\partial B}=0$
Il sistema è non lineare e dovresti procedere o per tentativi, oppure minimizzi $\Delta$ con uno dei tanti pacchetti di ottimizzazione che trovi in rete.
Per l'esempio proposto, ci sarebbe una seconda via, che però non stima il $\Delta$ minimo su un piano livelli-portate, ma su un doppio piano logaritmico $log(liv)$ e $log(P)$. Questo metodo prevede di trasformare la relazione $P=A*liv^B$ in $log(A)+Blog(liv_i)-log(P_i)$. Quind si calcolala una nuova somma del quadrato degli scarti con $\sum(log(A)+Blog(liv_i)-log(P_i))^2=\bar{\Delta}$ e si procede come sopra minimizzando $\bar{\Delta}$.
Se plotti la soluzione sul grafico bi-logaritmico, ottieni una retta perchè il coefficiene angolare è dato dall'esponente B mentre l'intercetta da $log(A)$.
Da ricordarsi che la soluzione di minimo così ottenuta non è quella cercata, ma le "si avvicina".
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