Resistività semiconduttori

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Leggo che la resistività di un semiconduttore è stimabile come \[\rho=\rho_1 \text{e}^{E_g/(2kT)}\]dove $\rho_1$ è un parametro debolmente dipendente dalla temperatura $T$, quindi approssimativamente costante, $E_g$ è la banda energetica proibita e $k$ è la costante di Boltzmann.
Non riesco a trovare da alcuna parte una trattazione del modello teorico che porta ad una tale formula, anche se non credo sia improbabile che rappresenti la soluzione di un'equazione differenziale...
Qualcuno ne sa di più e potrebbe fornirne una derivazione od un link ad essa? $\infty$ grazie!!!

[RenzoDF]

"DavideGenova":... Non riesco a trovare da alcuna parte una trattazione del modello teorico che porta ad una tale formula, anche se non credo sia improbabile che rappresenti la soluzione di un'equazione differenziale...

Quella relazione deriva da un calcolo integrale che a partire dalla distribuzione di Fermi-Dirac va a stimare la densità dei portatori liberi $n=p=n_i$ presenti ad una certa temperatura $T$ nel semiconduttore intrinseco.

Detto integrale porta a

\[n_{i}^{2} =A_0 T^{3}e^{-E_g/(kT)}\]

e di conseguenza, ricordando che la conducibilità è funzione di dette concentrazioni pesate secondo le rispettive mobilità, anch'esse funzione della temperatura

\[\rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{1}{e_{el}(n\mu_n +p\mu_p)}=\frac{1}{e_{el}n_i(\mu_n +\mu_p)}\]

la resistività avrà quindi una complessa dipendenza dalla temperatura. Per "alte" temperature le mobilità tendendo ad essere propozionali a $T^-(3/2)$ tendono a compensare la dipendenza da $T^(3/2)$ della densità di portatori $n_i$, portando ad esaltare la sola dipendenza esponenziale

\[\rho=\rho_1e^{E_g/(2kT)}\]

NB Il simbolo $e_{el}$ è un'altro modo per evitare l'ambiguità, un altro (ormai superato ma usato ai miei tempi era) $|e|$; spesso si usa $q$, ma molti testi usano tranquillamente la sola lettera $e$.

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie! Non so ancora nulla della distribuzione di Fermi-Dirac, ma, anche qui, non vedo l'ora...