Resistività di un semiconduttore puro in base alla temperatura
Ciao, ho questo esercizio:
"Un'espressione, basata sulla teoria, che fornisce la dipendenza dalla temperatura della resistività $rho$ di un semiconduttore puro è
$rho=rho_1e^(E_g/(2kT))$
dove $rho_1$ è un parametro che dipende debolmente dalla temperatura $T$ (rispetto all'esponenziale),
$E_g$ è la cosiddetta banda energetica proibita del materiale, e
$k$ è la costante di Boltzmann.
Per il silicio puro in prossimità della temperatura ambiente,
$rho_1 = 1.4 times 10^(-6) Omegam$ ed
$E_g=1.1eV$
Ricavare un'espressione di $alpha$ da usare nell'espressione della dipendenza dalla temperatura della resistività dei metalli:
$rho=rho_0[1+alpha(T-T_0)]$".
Ho provato a uguagliare il secondo membro della prima espressione col secondo dell'ultima, ottendendo
$alpha=(rho_1/rho_0e^(E_g/(2kT)) -1)/(T-T_0)$, ma non sembra la strada giusta, perché dopo mi chiede di calcolare $alpha$ per il silicio a $20°C$ e il valore non corrisponde alla soluzione. (La soluzione porta $alpha=-E_g/(2kT_0^2)$).
Dove sto sbagliando?
Grazie
"Un'espressione, basata sulla teoria, che fornisce la dipendenza dalla temperatura della resistività $rho$ di un semiconduttore puro è
$rho=rho_1e^(E_g/(2kT))$
dove $rho_1$ è un parametro che dipende debolmente dalla temperatura $T$ (rispetto all'esponenziale),
$E_g$ è la cosiddetta banda energetica proibita del materiale, e
$k$ è la costante di Boltzmann.
Per il silicio puro in prossimità della temperatura ambiente,
$rho_1 = 1.4 times 10^(-6) Omegam$ ed
$E_g=1.1eV$
Ricavare un'espressione di $alpha$ da usare nell'espressione della dipendenza dalla temperatura della resistività dei metalli:
$rho=rho_0[1+alpha(T-T_0)]$".
Ho provato a uguagliare il secondo membro della prima espressione col secondo dell'ultima, ottendendo
$alpha=(rho_1/rho_0e^(E_g/(2kT)) -1)/(T-T_0)$, ma non sembra la strada giusta, perché dopo mi chiede di calcolare $alpha$ per il silicio a $20°C$ e il valore non corrisponde alla soluzione. (La soluzione porta $alpha=-E_g/(2kT_0^2)$).
Dove sto sbagliando?
Grazie
Risposte
Devi solo usare lo sviluppo di Taylor limitandolo al primo termine, o più semplicemente scrivere l'equazione della retta tangente alla funzione in $T=T_0$
$\rho(T)\approx \rho(T_0)+ | \frac{\text{d} \rho(T)}{\text{d} T} |_{T_0} (T-T_0)$
e quindi
$\rho_0=\rho(T_0) \qquad \qquad $e$ \qquad \qquad \alpha =\frac{1 }{\rho(T_0)} | \frac{\text{d} \rho(T)}{\text{d} T} |_{T_0}$
...
$\rho(T)\approx \rho(T_0)+ | \frac{\text{d} \rho(T)}{\text{d} T} |_{T_0} (T-T_0)$
e quindi
$\rho_0=\rho(T_0) \qquad \qquad $e$ \qquad \qquad \alpha =\frac{1 }{\rho(T_0)} | \frac{\text{d} \rho(T)}{\text{d} T} |_{T_0}$
...
Grazie per la risposta ma non riesco a seguirti...
Ti sto semplicemente ricordando che possiamo approssimare l'andamento di una funzione $r(x)$ intorno ad un particolare suo punto $P=(x_0,r(x_0))$ facendo uso della retta $y(x)$ tangente in quel punto alla funzione; retta che, passando per quel punto con coefficiente angolare $m=r'(x_0)$ (pari alla derivata della funzione calcolata in quel punto $P$), potrà essere scritta nella classica forma
$y(x)=r(x_0)+r'(x_0)(x-x_0)$
.
$y(x)=r(x_0)+r'(x_0)(x-x_0)$
.
ok, questo è chiaro. Ma al valore $alpha$ trovato da te non manca un fattore moltiplicativo $(T-T_0)$?
No, $\alpha$ è il coefficiente che va a moltiplicare $(T-T_0)$.
\[\rho(T)\approx \rho(T_0)+ \frac{\text{d} \rho(T)}{\text{d} T} \Bigg|_{T_{\ 0}} (T-T_0)= \rho(T_0)\Bigg[1+\frac{1 }{\rho(T_0)} \frac{\text{d} \rho(T)}{\text{d} T} \Bigg|_{T_{\ 0}} (T-T_0) \Bigg] \]
\[\rho(T)\approx \rho(T_0)+ \frac{\text{d} \rho(T)}{\text{d} T} \Bigg|_{T_{\ 0}} (T-T_0)= \rho(T_0)\Bigg[1+\frac{1 }{\rho(T_0)} \frac{\text{d} \rho(T)}{\text{d} T} \Bigg|_{T_{\ 0}} (T-T_0) \Bigg] \]
ah ecco, non l'abbiamo ricavato, gli abbiamo solo trovato un "posto" nell'equazione!
Il "posto" te lo aveva già indicato il testo, ora disponi della relazione che ti permette di ricavarlo, passaggio finale che lascio a te.
$alpha = 1/(rho_1e^(E_g/(2kT_0)))(rho_1e^(E_g/(2kT_0))(-E_g/(2kT_0^2))$.
Semplificando ottengo la soluzione. Grazie mille!
Semplificando ottengo la soluzione. Grazie mille!
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