Resistenze natalizie
Come al solito durante le vacanze riprendo qualche esercizio lasciato così a giacere.... ora è stato scelto questo (mi soprende la mia memoria ogni tanto: lo lessi ben cinque anni fa!):
- Determinare la resistenza elettrica fra due poli di un conduttore sferico cavo di raggio R e spessore s che abbia, ai due poli, saldati due conduttori di diametro d
dove l'ho letto era scritto così... quindi non saprei dare informazioni in più... in ogni caso qualunque sia la vostra soluzione cercate di dire se e dove utilizzate approssimazioni, insomma di inquadrare il problema
- Determinare la resistenza elettrica fra due poli di un conduttore sferico cavo di raggio R e spessore s che abbia, ai due poli, saldati due conduttori di diametro d
dove l'ho letto era scritto così... quindi non saprei dare informazioni in più... in ogni caso qualunque sia la vostra soluzione cercate di dire se e dove utilizzate approssimazioni, insomma di inquadrare il problema
Risposte
Immagino che si debbano introdurre anche le resistività [tex]\rho_1[/tex] e [tex]\rho_2[/tex] della sfera e dei dischi. Ci penserò su.
si penso che il risultato sia in funzione della resistività della sfera.
per il disco non credo: il fatto che il problema non dia dati sulla lunghezza dei conduttori cilindrici saldati alla sfera ma solo sul loro diametro (ma dia tutti gli altri dati geometrici) mi fa pensare che la resistività del cilindro non debba entrare del risultato (detto altrimenti si suppone che questo abbia una resistività molto piccola nel problema...)... of course, questa è una mia idea non avendo sotto mano risultati ufficiali...
bonne chance
per il disco non credo: il fatto che il problema non dia dati sulla lunghezza dei conduttori cilindrici saldati alla sfera ma solo sul loro diametro (ma dia tutti gli altri dati geometrici) mi fa pensare che la resistività del cilindro non debba entrare del risultato (detto altrimenti si suppone che questo abbia una resistività molto piccola nel problema...)... of course, questa è una mia idea non avendo sotto mano risultati ufficiali...
bonne chance
hahaha collegarlo ad un generatore e misurare la corrente non vale vero? 
si si va bene... fai tu le misure? 
......
......
Beh, credo che il metodo da applicare sia proprio quello... A livello concettuale però!
Dai ci provo, premettendo di compiere delle approssimazioni abbastanza grezze e probabilmente di non essere capace a calcolare gli integrali.. Innanzitutto posto il disegno di come io interpreto la forma del conduttore..
dove $r=R-s$
Il conduttore sarebbe la roba colorata in azzurro. Giustifico questa scelta dicendo che se lo spessore dei dischi applicati ai bordi non fosse stato trascurabile, avrei considerato come conduttore anche la parte tratteggiata di rosso.
Detto questo, suppongo di collegare questo conduttore ad un generatore di corrente costante pari ad $I$. Ora, se prendo una fettina di sfera spessa $dx$ e di superificie pari ad $S(x)$, dovrebbe valere, data la simmetria clindrica del problema, che:
$\int_(S(x)) j_x (x,y,z) dydz = I$
in virtù della conservazione della carica e del fatto che le cariche nel conduttore non si accumulano. Ora faccio la super approssimazione rozzissima nel considerare $j_x$ dipendente solo dalla coordinata $x$. So che è sbagliato e poco fisico, ma è il modo + veloce che mi viene in mente per risolvere quel problema integrale. Altrimenti credo che quell'equazione vada accoppiata ad eq di Maxwell varie con un po' di condizoni al contorno, ma non ho idea di come poterla risolvere, forse con matlab.
A sto punto penso che l'integrale possa essere calcolato direttamente (a meno di magie strane di analisi B che non mi ricordo +) e si dovrebbe ricavare che $j_x (x) = I /(S(x))$. Se non ho fatto male i conti di geometria (vedi disegno iniziale), dovrebbe essere che:
$S(x)={(0,if |x|>sqrt(R^2 - d^2)),(\pi (R^2-x^2),if r <|x|
dove $r=R-s$
Il conduttore sarebbe la roba colorata in azzurro. Giustifico questa scelta dicendo che se lo spessore dei dischi applicati ai bordi non fosse stato trascurabile, avrei considerato come conduttore anche la parte tratteggiata di rosso.
Detto questo, suppongo di collegare questo conduttore ad un generatore di corrente costante pari ad $I$. Ora, se prendo una fettina di sfera spessa $dx$ e di superificie pari ad $S(x)$, dovrebbe valere, data la simmetria clindrica del problema, che:
$\int_(S(x)) j_x (x,y,z) dydz = I$
in virtù della conservazione della carica e del fatto che le cariche nel conduttore non si accumulano. Ora faccio la super approssimazione rozzissima nel considerare $j_x$ dipendente solo dalla coordinata $x$. So che è sbagliato e poco fisico, ma è il modo + veloce che mi viene in mente per risolvere quel problema integrale. Altrimenti credo che quell'equazione vada accoppiata ad eq di Maxwell varie con un po' di condizoni al contorno, ma non ho idea di come poterla risolvere, forse con matlab.
A sto punto penso che l'integrale possa essere calcolato direttamente (a meno di magie strane di analisi B che non mi ricordo +) e si dovrebbe ricavare che $j_x (x) = I /(S(x))$. Se non ho fatto male i conti di geometria (vedi disegno iniziale), dovrebbe essere che:
$S(x)={(0,if |x|>sqrt(R^2 - d^2)),(\pi (R^2-x^2),if r <|x|
bene giacor.... approccio interessante... go on! 
...
...
haha ok, io on ci vado anche, ma solo coi conti. per affinare il ragionamento devo pensarci ancora un po' su... Dunque.. eravamo rimasti a:
$S(x)={(0,if |x|>sqrt(R^2 - d^2)),(\pi (R^2-x^2),if r <|x|
$E=-\grad V$, quindi $E_x =-(delV)/(delx) $, da cui $\DeltaV = -\int_{-sqrt(R^2-d^2)}^{sqrt(R^2-d^2)}E_x(x) dx$
Ora $E_x(x)$ è pari, l'intervallo d'integrazione pure, quindi separo gli integrali e e integro solo dalla parte positiva:
$\DeltaV = -2(\int_{o}^{r}((\rhoI)/(\pi(R^2 - r^2)) dx) + \int_{r}^{sqrt(R^2-d^2)}((\rhoI)/(\pi (R^2-x^2))dx))$
risolvendo gli integrali, togliendo il segno meno che tanto chissene, e dividendo tutto per I, si ottiene (se ho fatto i conti giusti):
$R = (2r\rho)/(\pi(R^2 - r^2)) + (\rho/b) ln((b^2 + (a-r)b -ar)/(b^2 - (a-r)b -ar))$ avendo posto $a=sqrt(R^2-d^2), b=sqrt(\pi)R$
So che è una formula orribile mi spiace.:D
$S(x)={(0,if |x|>sqrt(R^2 - d^2)),(\pi (R^2-x^2),if r <|x|
$E=-\grad V$, quindi $E_x =-(delV)/(delx) $, da cui $\DeltaV = -\int_{-sqrt(R^2-d^2)}^{sqrt(R^2-d^2)}E_x(x) dx$
Ora $E_x(x)$ è pari, l'intervallo d'integrazione pure, quindi separo gli integrali e e integro solo dalla parte positiva:
$\DeltaV = -2(\int_{o}^{r}((\rhoI)/(\pi(R^2 - r^2)) dx) + \int_{r}^{sqrt(R^2-d^2)}((\rhoI)/(\pi (R^2-x^2))dx))$
risolvendo gli integrali, togliendo il segno meno che tanto chissene, e dividendo tutto per I, si ottiene (se ho fatto i conti giusti):
$R = (2r\rho)/(\pi(R^2 - r^2)) + (\rho/b) ln((b^2 + (a-r)b -ar)/(b^2 - (a-r)b -ar))$ avendo posto $a=sqrt(R^2-d^2), b=sqrt(\pi)R$
So che è una formula orribile mi spiace.
:D
bene... ora non ho tempo per guardare tutto bene (lo farò) ma...
io ho seguito un procedimento diverso... ho tagliato la sfera in fettine parallele al diametro di base ed ho considerato per ognuna una $dR$ data dalla formua per conduttori di forma cilindrica...
chissà perchè ho usato coordinate sferiche... anyway mettendo a posto le cose il primo tuo addendo mi esce uguale.... per l'altro dovrei mettere un po' a posto i conti ma ora non ho tempo magari lo faccio prossimamente... (anyway mi esce fuori un logaritmo come a te)
la cosa interessante è la convergenza di questi due risultati che evidentemente si basano sulle stesse approssimazioni (nel mio caso forse c'è l'ulteriore ipotesi che la corrente sia solo lungo x)
[approccio per una soluzione esatta]
una soluzione più esatta forse la si può trovare come dici te con le equazioni di Maxwell... supponendo che non ci sia carica che si accumula ed in condizioni stazionarie il potenziale dovrebbe essere una funzione armonica... come condizioni al bordo metterei l gradiente di $V$ sui bordi del disco uguale a $(\rho I)/(\pi d^2)$... sui due bordi di sicuro il campo elettrico va messo parallelo (altrimenti esce corrente)... queste condizioni (di Von Neumann) forse bastano ad identificare $E$...
non credo che il tutto si risolva analiticamente anche se non ho provato con i polinomi di Legendre non credo si vada molto in là, sarebbe divertente avere il tempo di usare matlab come dicevi tu...
ora vado a mangiare... see ya
io ho seguito un procedimento diverso... ho tagliato la sfera in fettine parallele al diametro di base ed ho considerato per ognuna una $dR$ data dalla formua per conduttori di forma cilindrica...
chissà perchè ho usato coordinate sferiche... anyway mettendo a posto le cose il primo tuo addendo mi esce uguale.... per l'altro dovrei mettere un po' a posto i conti ma ora non ho tempo magari lo faccio prossimamente... (anyway mi esce fuori un logaritmo come a te)
la cosa interessante è la convergenza di questi due risultati che evidentemente si basano sulle stesse approssimazioni (nel mio caso forse c'è l'ulteriore ipotesi che la corrente sia solo lungo x)
[approccio per una soluzione esatta]
una soluzione più esatta forse la si può trovare come dici te con le equazioni di Maxwell... supponendo che non ci sia carica che si accumula ed in condizioni stazionarie il potenziale dovrebbe essere una funzione armonica... come condizioni al bordo metterei l gradiente di $V$ sui bordi del disco uguale a $(\rho I)/(\pi d^2)$... sui due bordi di sicuro il campo elettrico va messo parallelo (altrimenti esce corrente)... queste condizioni (di Von Neumann) forse bastano ad identificare $E$...
non credo che il tutto si risolva analiticamente anche se non ho provato con i polinomi di Legendre non credo si vada molto in là, sarebbe divertente avere il tempo di usare matlab come dicevi tu...
ora vado a mangiare... see ya
"Thomas":
nel mio caso forse c'è l'ulteriore ipotesi che la corrente sia solo lungo x
Però se si pensa al fatto che tutto è stazionario, $\vec \nabla x \vec E = 0$. Sviluppando il rotore e ed annullando le 3 componenti, si ottengono le 2 relaqzioni: $(delE_y)/(delx)=(delE_x)/(dely), (delE_z)/(delx)=(delE_x)/(delz)$. Ma siccome avevamo detto che il mezzo è isotropo e omogeneo, allora $E_x=\rho j_x, E_y=\rho j_y, E_z=\rho j_z,$, quindi le relazioni che discendono dal rotore diventano: $\rho(delj_y)/(delx)=\rho(delj_x)/(dely), \rho(delj_z)/(delx)=\rho(delj_x)/(delz)$. Ma la mia approssimazione era che $j_x$ fosse costante rispetto ad $y$ ed a $z$ e quindi ne viene che $(delj_y)/(delx)=(delj_z)/(delx)=0$. ora dato che è sottinteso (nell'ipotesi di simmetria cilindrica e quindi nella stesura dell'integrale) che in corrispondenza dei dischi di diametro $d$ si ha che $j_y = j_z = 0$, segue che essi sono nulli anche dentro a tutto il conduttore e la corrente scorre solo lungo x anche per me. Quindi le nostre ipotesi dovrebbero essere equivalenti.
Per quello che riguarda Matlab, purtroppo non saprei esserti utile visto che io so a malapena fare il prodotto riga per colonna fra matrici. Al massimo provo a vedere se qualche mio amico esperto in analisi numerica ha del tempo da perdere...
Effettivamente le coordinate sferiche sono un pò più comode
Forse (e dico forse) per un approccio esatto si può usare l'equazione di continuità [tex]\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}[/tex].
Quello che non mi convince è la variazione temporale della densità di carica... Secondo voi si può correlare alla corrente totale?
Forse (e dico forse) per un approccio esatto si può usare l'equazione di continuità [tex]\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}[/tex].
Quello che non mi convince è la variazione temporale della densità di carica... Secondo voi si può correlare alla corrente totale?
mhhh secondo me quell'equazione in questo caso è analoga a dire $\vec \grad*\vecE = 0$, perchè abbiamo fatto l'ipotesi che siccome iniettiamo da una parte una corrente $I$ e dall'altra ne preleviamo altrettanta $I$, nel mezzo le cariche non si accumulano da nessuna parte e quindi se tu prendi un volume qualsiasi chiuso e fai il bilancio di carica che entra e che esce fa sempre $0$. poi data la proporzionalità fra $\vecJ$ ed $\vecE$, le 2 dovrebbero essere equivalenti. E si, di sicuro per l'approccio esatto serve anche quella da accoppiare col resto..
ok jacor... forse a fare i pignoli il fatto che lungo x la componente $J_y$ sia costante ti dice che è nulla solo per quelle $y$ che intersecano il diametro del cilindretto fuso... a meno che ora non mi dimostri che anche le altre derivate parziali di $J_y$ sono nulle!
ma sono approssimazioni rozze come dicevi tu in qualche post precedente quindi non so se vale la pena di fare tutti questi ragionamenti...
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Quello che non mi convince è la variazione temporale della densità di carica... Secondo voi si può correlare alla corrente totale?
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io proverei a cercare uno stato stazionario in cui non esistono cariche elettriche ponendo uguali a zero tutte le derivate temporali e le cariche... se poi non esiste si proverà altro... come dicevo in qualche post sopra con queste ipotesi mi sembra che il tutto si trasformi in un problema del tipo: trova la funzione armonica che verifichi quelle condizioni al bordo sul campo elettrico (ovvero sulla sua derivata normale)...
ma sono approssimazioni rozze come dicevi tu in qualche post precedente quindi non so se vale la pena di fare tutti questi ragionamenti...
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Quello che non mi convince è la variazione temporale della densità di carica... Secondo voi si può correlare alla corrente totale?
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io proverei a cercare uno stato stazionario in cui non esistono cariche elettriche ponendo uguali a zero tutte le derivate temporali e le cariche... se poi non esiste si proverà altro... come dicevo in qualche post sopra con queste ipotesi mi sembra che il tutto si trasformi in un problema del tipo: trova la funzione armonica che verifichi quelle condizioni al bordo sul campo elettrico (ovvero sulla sua derivata normale)...
hai provato a controllare la II parte della soluzione? se non hai tempo prova a postarla che ci provo io.. cmq se nessuno sa usare matlab, direi che è finita giusto? :D
:D
per seconda parte intendi controllare se mi viene il medesimo secondo addendo?
se si ho qualche difficoltà ora come ora...
l'integrale che mi viene con il procedimento che dicevo dovrebbe essere (questa è la resistenza dovuta alle fettine che non intersecano la cavità della sfera)
$R_2=\frac{2\rho}{\pi R} \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \frac{1}{cos(\theta)}$
con
$\sen(\theta_1)=\frac{R-s}{R}$
$\cos(\theta_2)=\frac{d}{2R}$
(entrambi angoli compresi tra [0,\pi/2])
svolgendo i calcoli a me viene:
$R_2=\frac{2\rho}{\pi R} ln \frac{(2R-\sqrt{4R^2-d^2})(\sqrt{2sR-s^2})}{ds}$
ma non so se è compatibile con la tua....
per quanto riguarda il "finito non finito"... beh non sapendo la soluzione non so se ne esiste una esatta!... chissà magari il problema di Von Neumann si risolve analiticamente con funzioni di green et similia.... o magari no chissà
se si ho qualche difficoltà ora come ora...
l'integrale che mi viene con il procedimento che dicevo dovrebbe essere (questa è la resistenza dovuta alle fettine che non intersecano la cavità della sfera)
$R_2=\frac{2\rho}{\pi R} \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \frac{1}{cos(\theta)}$
con
$\sen(\theta_1)=\frac{R-s}{R}$
$\cos(\theta_2)=\frac{d}{2R}$
(entrambi angoli compresi tra [0,\pi/2])
svolgendo i calcoli a me viene:
$R_2=\frac{2\rho}{\pi R} ln \frac{(2R-\sqrt{4R^2-d^2})(\sqrt{2sR-s^2})}{ds}$
ma non so se è compatibile con la tua....
per quanto riguarda il "finito non finito"... beh non sapendo la soluzione non so se ne esiste una esatta!... chissà magari il problema di Von Neumann si risolve analiticamente con funzioni di green et similia.... o magari no chissà
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