Resistenza "super" viscosa
Il mio prof di Analisi ci ha dato un problemino come passatempo per le vacanze:
Supponiamo di avere un corpo in caduta libera in un mezzo viscoso, con velocità nulla all'istante $t=0$; si consideri la resistenza proporzionale a $v^n$ (non $v$ o $v^2$ come è, credo, normalmente), con n numero naturale. Si studi l'andamento della velocità in funzione del tempo.
Scelto un asse verticale diretto verso il basso, applicando la legge di Newton si ha quindi:
$m a = m g - k v^n$ da cui $(dv)/(dt) = g - k/m v^n$
Il prof, evidentemente poco interessato ai dettagli, ha detto di considerare $k/m=1$ e di segliere come unità di misura per la lunghezza i decametri, in modo tale da poter approssimare $g$ ad uno; ne consegue che:
$(dv)/(dt) = 1 - v^n$
A questo punto "posso" scrivere:
$(dv)/(1 - v^n) = dt$
Integrando:
$t = int_0^v (dv)/(1 - v^n)$
Ho pensato di poter scrivere $1/(1 - v^n)$ come $1/((1 - v)(1 + v + v^2 +...+v^(n-1)))$
Separando $1/(1 - v)$ (facilmente integrabile), rimane il problema dell'altro integrale, che non so trattare. Si può risolvere analiticamente, o solo numericamente? Ho notato che il denominatore, per $|v| < 1$ decametri/secondo , è lo sviluppo della serie geometrica, ma questo mi porta ad un risultato privo di senso. Grazie a Tutti quelli che mi aiuteranno!
Supponiamo di avere un corpo in caduta libera in un mezzo viscoso, con velocità nulla all'istante $t=0$; si consideri la resistenza proporzionale a $v^n$ (non $v$ o $v^2$ come è, credo, normalmente), con n numero naturale. Si studi l'andamento della velocità in funzione del tempo.
Scelto un asse verticale diretto verso il basso, applicando la legge di Newton si ha quindi:
$m a = m g - k v^n$ da cui $(dv)/(dt) = g - k/m v^n$
Il prof, evidentemente poco interessato ai dettagli, ha detto di considerare $k/m=1$ e di segliere come unità di misura per la lunghezza i decametri, in modo tale da poter approssimare $g$ ad uno; ne consegue che:
$(dv)/(dt) = 1 - v^n$
A questo punto "posso" scrivere:
$(dv)/(1 - v^n) = dt$
Integrando:
$t = int_0^v (dv)/(1 - v^n)$
Ho pensato di poter scrivere $1/(1 - v^n)$ come $1/((1 - v)(1 + v + v^2 +...+v^(n-1)))$
Separando $1/(1 - v)$ (facilmente integrabile), rimane il problema dell'altro integrale, che non so trattare. Si può risolvere analiticamente, o solo numericamente? Ho notato che il denominatore, per $|v| < 1$ decametri/secondo , è lo sviluppo della serie geometrica, ma questo mi porta ad un risultato privo di senso. Grazie a Tutti quelli che mi aiuteranno!
Risposte
Mah! secondo me studiare l'andamento della velocità in funzione del tempo può voler dire parecchie cose, ma non implica necessariamente dover calcolare quell'integrale, che mi pare non integrabile in termini finiti...
Potrebbe semplicemente significare avere un'idea di come vanno le cose, magari disegnando il grafico.
Allora se disegnamo il grafico della funzione $1-v^n$ per v compreso tra 0 e 1 e n intero >=1, e consideriamo che questa funzione deve essere la derivata della funzione $v(t)$, possiamo riportare le due funzioni su grafici appaiati:
A sinistra c'è la funzione $1-v^n$, a destra ho cercato di disegnare la $v(t)$ tenendo conto che la sua derivata è la funzione di sinistra.
Si vede che per n=1 si tratta di un semplice esponenziale $v(t)=1-e^(-t)$ e per n crescente la funzione v tende a una spezzata. Il valore asintotico $v=1$ viene raggiunto comunque, ma nel caso di n>>1 viene avvicinato prima nel tempo. Il caso limite è interessante: il grave cade con velocità lineare (accelerazione=1) , come se la resistenza non ci fosse, finché raggiunge $v=1$, dopodiché mantiene la velocità asintotica.
Io più di così non saprei fare.
p.s. lungi da me il voler competere coi matematici; queste sono solo considerazioni terrra-terra, da povero orango
Potrebbe semplicemente significare avere un'idea di come vanno le cose, magari disegnando il grafico.
Allora se disegnamo il grafico della funzione $1-v^n$ per v compreso tra 0 e 1 e n intero >=1, e consideriamo che questa funzione deve essere la derivata della funzione $v(t)$, possiamo riportare le due funzioni su grafici appaiati:
A sinistra c'è la funzione $1-v^n$, a destra ho cercato di disegnare la $v(t)$ tenendo conto che la sua derivata è la funzione di sinistra.
Si vede che per n=1 si tratta di un semplice esponenziale $v(t)=1-e^(-t)$ e per n crescente la funzione v tende a una spezzata. Il valore asintotico $v=1$ viene raggiunto comunque, ma nel caso di n>>1 viene avvicinato prima nel tempo. Il caso limite è interessante: il grave cade con velocità lineare (accelerazione=1) , come se la resistenza non ci fosse, finché raggiunge $v=1$, dopodiché mantiene la velocità asintotica.
Io più di così non saprei fare.
p.s. lungi da me il voler competere coi matematici; queste sono solo considerazioni terrra-terra, da povero orango
Grazie, il tuo ragionamento è molto interessante.
La mia idea era quella di ricavare il tempo in funzione della velocità, rappresentare questa funzione e poi "ribaltarla" rispetto alla bisettrice del primo quadrante per trovare l'inversa, cioè $v(t)$
Non avevo pensato a trovare l'andamento qualitativo della funzione partendo dalla sua derivata, già nota.
In effetti il caso limite è molto significativo; lo stesso prof ci ha chiesto se, in questo problema, esiste sempre una velocità limite.
Dato che $v$ non supera mai 1, si potrebbe applicare la relazione $1 + v + v^2 + ... + v^(n-1)=1/(1-v)$
Questo termine si semplificherebbe con l'altro, per cui si avrebbe $v = t$, cioè esattamente quello che hai disegnato per $n >> 1$1 Quindi non è vero che il risultato era privo di senso come ho detto prima...
Grazie ancora, semmai a ottobre aggiornerò il topic con la sentenza del professorone...
La mia idea era quella di ricavare il tempo in funzione della velocità, rappresentare questa funzione e poi "ribaltarla" rispetto alla bisettrice del primo quadrante per trovare l'inversa, cioè $v(t)$
Non avevo pensato a trovare l'andamento qualitativo della funzione partendo dalla sua derivata, già nota.
In effetti il caso limite è molto significativo; lo stesso prof ci ha chiesto se, in questo problema, esiste sempre una velocità limite.
Dato che $v$ non supera mai 1, si potrebbe applicare la relazione $1 + v + v^2 + ... + v^(n-1)=1/(1-v)$
Questo termine si semplificherebbe con l'altro, per cui si avrebbe $v = t$, cioè esattamente quello che hai disegnato per $n >> 1$1 Quindi non è vero che il risultato era privo di senso come ho detto prima...
Grazie ancora, semmai a ottobre aggiornerò il topic con la sentenza del professorone...
@Falco5x:
ciao
quale programma hai usato per i grafici?
grazie
ciao
quale programma hai usato per i grafici?
grazie
In ogni caso se abbiamo l'equazione differenziale
$v' = 1 - v^n$
la sua soluzione è data dalla soluzione dell'omogenea
$v' + v^n = 0$
sommata ad una soluzione particolare. La soluzione particolare potrebbe essere $f ( v) = 1$ per ogni v, ed è il caso "a regime" fin dall'inizio, in cui cioè le forze di attrito annullano la forza di gravità mantenendo il corpo a velocità costante. La soluzione dell'omogenea è semplicemente
$v^(1-n) / (n-1) = t$
$v =root(1-n) ((n-1)t)$
Quindi la soluzione generale sarà
$v ( t ) = root(1-n) ((n-1)t) +1$
Come si può verificare per sostituzione. Questa soluzione vale per $n>1$, infatti per n=1 l'integrale ti da il logaritmo. Notare che la velocità varia proporzionalmente a $1/root (n-1)(t)$ non capisco perché più n è alto, più la velocità diminuisce lentamente, mi aspettavo il contrario.
$v' = 1 - v^n$
la sua soluzione è data dalla soluzione dell'omogenea
$v' + v^n = 0$
sommata ad una soluzione particolare. La soluzione particolare potrebbe essere $f ( v) = 1$ per ogni v, ed è il caso "a regime" fin dall'inizio, in cui cioè le forze di attrito annullano la forza di gravità mantenendo il corpo a velocità costante. La soluzione dell'omogenea è semplicemente
$v^(1-n) / (n-1) = t$
$v =root(1-n) ((n-1)t)$
Quindi la soluzione generale sarà
$v ( t ) = root(1-n) ((n-1)t) +1$
Come si può verificare per sostituzione. Questa soluzione vale per $n>1$, infatti per n=1 l'integrale ti da il logaritmo. Notare che la velocità varia proporzionalmente a $1/root (n-1)(t)$ non capisco perché più n è alto, più la velocità diminuisce lentamente, mi aspettavo il contrario.
"piero_":
@Falco5x:
ciao
quale programma hai usato per i grafici?
grazie
Fa' conto che abbia usato carta e penna, sono del tutto qualitativi.
Siccome però io a mano non so più disegnare, ho usato coreldraw.
"Falco5x":
ho usato coreldraw.
ciumbia, molto elegante.
grazie
"Zkeggia":
In ogni caso se abbiamo l'equazione differenziale
$v' = 1 - v^n$
la sua soluzione è data dalla soluzione dell'omogenea
$v' + v^n = 0$
sommata ad una soluzione particolare. La soluzione particolare potrebbe essere $f ( v) = 1$ per ogni v, ed è il caso "a regime" fin dall'inizio, in cui cioè le forze di attrito annullano la forza di gravità mantenendo il corpo a velocità costante. La soluzione dell'omogenea è semplicemente
$v^(1-n) / (n-1) = t$
$v =root(1-n) ((n-1)t)$
Quindi la soluzione generale sarà
$v ( t ) = root(1-n) ((n-1)t) +1$
Come si può verificare per sostituzione. Questa soluzione vale per $n>1$, infatti per n=1 l'integrale ti da il logaritmo. Notare che la velocità varia proporzionalmente a $1/root (n-1)(t)$ non capisco perché più n è alto, più la velocità diminuisce lentamente, mi aspettavo il contrario.
Grazie, questo è proprio quello che cercavo! Offuscato dalle urla degli oranghi, non ho pensato ad applicare semplicemente una banale regoletta!
Per la particolare volevi dire forse $v(t) = 1$ per ogni t?
In che senso "la velocità diminuisce?" La velocità non aumenta gradualmente? Il suo andamento è rappresentato nel grafico proposto da Falco 5x: per t tendente a infinito, v tende ad 1 (come si evince dalla tua soluzione). All'aumentare di n la velocità tende sempre più velocemente al valore asintotico: infatti, fissato un generico istante t, si può considerare il limite per n tendente a infinito di $(n-1)^(1/(1-n))$, cioè $e^(ln(n-1)/(1-n))$; al crescere di n, poichè una retta diverge più velocemente di un logaritmo, la funzione tende sempre di più ad uno.
Questo risultato è, invece, abbastanza intuitivo, perchè risulta che all'aumentare dell'attrito (cioè n) la forza peso viene bilanciata sempre prima.
Sì volevo dire v(t) scusami! per il fatto della velocità intendevo dire, più n è alto più la velocità sale lentamente, invece mi aspettavo il contrario, più n è alto più la velocità raggiunge in fretta il valore di regime... evidentemente sbagliavo!
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