Repulsore armonico in meccanica analitica?

[AlisInterrail]

Se mi si chiede una "soluzione dell'evoluzione linearizzata delle equazioni di Lagrange che rimane sempre vicina alla posizione di equilibrio senza convergervi mai", essa coincide con la soluzione di tipo repulsore armonico? ovvero del tipo
?
Si assuma che io abbia già trovato autovalori ed autovettori della lagrangiana di piccole oscillazioni attorno al punto di equilibrio, e questo punto sia di equilibrio instabile, e ci sia quindi autovalore positivo ed un autovalore negativo: quello negativo porta alla soluzione di tipo repulsore mentre quello positivo corrisponde alla soluzione di tipo oscillatore armonico.. giusto?
L'osc. armonico invece rappresenta la soluzione (delle due possibili) che converge all'equilibrio?!

Nella soluzione il professore non è chiaro, e in ogni caso invece di scrivere per intero la soluzione di tipo repulsore armonico, come soluzione per autovalore negativo (omegaquadro <0 ) scrive soltanto la parte con il meno! (vedere ultima immagine):



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Spero la domanda si capisca.. Grazie a tutti in anticipo