Rendimento del ciclo Diesel
Salve, il mio prof di Termodinamica ha lasciato come esercizio di ricavare la formula del rendimento di un ciclo Diesel con gas perfetto e di verificare che, concordemente al teorema di Carnot, esso è minore del rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra la temperature minima e massima raggiunta dal ciclo.
Il ciclo è composto da quattro trasformazioni:
$ A -> B $ espansione isobara, da cui: $T_A/V_A = T_B/V_B$
$ B -> C $ espansione adiabatica da cui: $T_B V_B^(\gamma-1) = T_C V_C^(\gamma-1)$
$ C -> D $ raffreddamento isocoro da cui: $V_C = V_D$
$ D -> A $ compressione adiabatica da cui: $T_D V_D^(\gamma-1) = T_A V_A^(\gamma-1)$
Ho calcolato la formula del rendimento del ciclo, che è la seguente:
$ \eta = 1 - (T_C - T_D)/(\gamma(T_B - T_A)) $
Ma non riesco a verificare che tale rendimento è minore del rendimento di Carnot di una macchina reversibile che opera tra le temperature minore e maggiore raggiunte dal ciclo, devo cioè verificare che:
$1 - (T_C - T_D)/(\gamma(T_B - T_A)) < 1 - T_D/T_B \Rightarrow (T_C-T_D)/(\gamma(T_B-T_A))>T_D/T_B$
Ho provato a fare qualche passaggio matematico utilizzando le relazioni delle trasformazioni ma non riesco a venirne a capo. Molto spesso il problema è quel $\gamma$ che è maggiore di 1 e quindi lì al denominatore dà fastidio. Qualche suggerimento?
Il ciclo è composto da quattro trasformazioni:
$ A -> B $ espansione isobara, da cui: $T_A/V_A = T_B/V_B$
$ B -> C $ espansione adiabatica da cui: $T_B V_B^(\gamma-1) = T_C V_C^(\gamma-1)$
$ C -> D $ raffreddamento isocoro da cui: $V_C = V_D$
$ D -> A $ compressione adiabatica da cui: $T_D V_D^(\gamma-1) = T_A V_A^(\gamma-1)$
Ho calcolato la formula del rendimento del ciclo, che è la seguente:
$ \eta = 1 - (T_C - T_D)/(\gamma(T_B - T_A)) $
Ma non riesco a verificare che tale rendimento è minore del rendimento di Carnot di una macchina reversibile che opera tra le temperature minore e maggiore raggiunte dal ciclo, devo cioè verificare che:
$1 - (T_C - T_D)/(\gamma(T_B - T_A)) < 1 - T_D/T_B \Rightarrow (T_C-T_D)/(\gamma(T_B-T_A))>T_D/T_B$
Ho provato a fare qualche passaggio matematico utilizzando le relazioni delle trasformazioni ma non riesco a venirne a capo. Molto spesso il problema è quel $\gamma$ che è maggiore di 1 e quindi lì al denominatore dà fastidio. Qualche suggerimento?
Risposte
Scusate, qualcuno può darmi una mano?
Ho l'esame a breve, nessuno che può darmi una mano?
Premetto che non sono un fenomeno in termodinamica (e non solo), però io ragionerei sul calore, e in particolare nel diagramma T-S.
Questo diagramma ha il pregio di rappresentare il ciclo di Carnot come un rettangolo, il cui rendimento è semplicemente il rapporto tra l'area del rettangolo stesso e il calore assorbito dalla sorgente calda, ovvero l'area rettangolare sottesa al segmento orizzontale che rappresenta la temperatura maggiore.
In questo diagramma il ciclo diesel sta all'interno del rettangolo di Carnot (vedi un po' di verificarlo), dunque il rendimento, che è sempre l'area del ciclo rapportata all'area sottesa dalla curva superiore S(T), è necessariamente minore di quello di Carnot.
Questo diagramma ha il pregio di rappresentare il ciclo di Carnot come un rettangolo, il cui rendimento è semplicemente il rapporto tra l'area del rettangolo stesso e il calore assorbito dalla sorgente calda, ovvero l'area rettangolare sottesa al segmento orizzontale che rappresenta la temperatura maggiore.
In questo diagramma il ciclo diesel sta all'interno del rettangolo di Carnot (vedi un po' di verificarlo), dunque il rendimento, che è sempre l'area del ciclo rapportata all'area sottesa dalla curva superiore S(T), è necessariamente minore di quello di Carnot.
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