Relazione tra velocità e accelerazione
Correggetemi se sbaglio quanto sto per dire:
Nella cinematica in due dimensioni, si ha che per determinare la velocità di un corpo, bisogna conoscere il vettore posizione, $ vec(r)=xhat(i) $, altrimenti mi sembra ovvio che non avendo una posizione, non si potrà conoscere la sua traiettoria.
Si arriva a pensare alla velocità media data dalla seguente relazione $ bar(v)=(Delta r)/(Delta t) $, che può essere esposta anche $ bar(v)=(Delta x)/(Delta t) hat(i) $.
Il grafico della funzione $ x/t $ per determinati intervalli, fa capire l'andamento della velocità, intendo la pendenza della retta data dalla $ bar(v)=(Delta r)/(Delta t) $, mentre se si vuole calcolare la velocità istantanea, allora si utilizza la seguente $ v_x = lim_(Deltat->0) (Delta x)/(Delta t) $, questa perchè diminuendo l'intervallo di tempo, e quindi il simbolo $ lim_(Deltat->0) $ fa capire questo, cioè tendente a zero, la retta della velocità tende ad essere uguale alla tangente della curva.
Giusto fin quì?
Bene, quanto detto rappresenta la velocità, cioè lo spostamento in funzione del tempo!
Passando all'accelerazione che esprime la rapidità con la quale varia la velocità, penso si può dire che l'accelerazione è una derivata della velocità
Vero
Ovviamente anche in questo caso si può parlare di accelerazione media $ bar(a)_m = (Delta v_x)/(Delta t) hat(i) $ e di accelerazione istantanea $ vec(a) = lim_(Deltat->0) (Delta vec(v))/(Delta t) $.
Si arriva al moto con accelerazione costante e si inizia a fare le considerazioni iniziando dalla seguente formula dell'accelerazione $ bar(a)_x = (Delta v_x)/(Delta t) hat(i) $ che può essere scritta così $ bar(a)_x = (v_x (t)-v_(x0))/(t-0) $, da questa accelerazione, non capisco perchè il mio testo mi fa calcolare la velocità dall'accelerazione
Insomma perchè dalla formula dell'accelerazione si usa ricavare la velocità e per quale motivo si deve calcolare anche lo spazio $ x(t) $ , insomma lo spazio viene calcolato mediante le regole di derivazione, per quale motivo si calcola lo spazio nel contesto dell' accelerazione Si può dire che in questo caso dell'accelerazione lo spazio $ x(t) $ è una derivata dall'accelerazione Bene, ho visto che per calcolare le derivate in questo caso, si utilizza la seguente $ d/(dt) x^n = n*x^(n-1) $ , che non è difficile da utilizzare 
Adesso che sto parlando dell'accelerazione, mi chiedo perchè si utilizza ricavare la velocità $ v_x ^2 $ ...
I miei dubbi sono sul perchè se sto trattando la velocità si utilizzano determinate formule....., mentre se sto trattando l'accelerazione, si utilizzano sempre le stesse formule ma ritoccate.......
Tutto questo crea confusione
Cosa ho detto di sbagliato 
Nella cinematica in due dimensioni, si ha che per determinare la velocità di un corpo, bisogna conoscere il vettore posizione, $ vec(r)=xhat(i) $, altrimenti mi sembra ovvio che non avendo una posizione, non si potrà conoscere la sua traiettoria.
Si arriva a pensare alla velocità media data dalla seguente relazione $ bar(v)=(Delta r)/(Delta t) $, che può essere esposta anche $ bar(v)=(Delta x)/(Delta t) hat(i) $.
Il grafico della funzione $ x/t $ per determinati intervalli, fa capire l'andamento della velocità, intendo la pendenza della retta data dalla $ bar(v)=(Delta r)/(Delta t) $, mentre se si vuole calcolare la velocità istantanea, allora si utilizza la seguente $ v_x = lim_(Deltat->0) (Delta x)/(Delta t) $, questa perchè diminuendo l'intervallo di tempo, e quindi il simbolo $ lim_(Deltat->0) $ fa capire questo, cioè tendente a zero, la retta della velocità tende ad essere uguale alla tangente della curva.
Giusto fin quì?
Bene, quanto detto rappresenta la velocità, cioè lo spostamento in funzione del tempo!
Passando all'accelerazione che esprime la rapidità con la quale varia la velocità, penso si può dire che l'accelerazione è una derivata della velocità
Vero Ovviamente anche in questo caso si può parlare di accelerazione media $ bar(a)_m = (Delta v_x)/(Delta t) hat(i) $ e di accelerazione istantanea $ vec(a) = lim_(Deltat->0) (Delta vec(v))/(Delta t) $.
Si arriva al moto con accelerazione costante e si inizia a fare le considerazioni iniziando dalla seguente formula dell'accelerazione $ bar(a)_x = (Delta v_x)/(Delta t) hat(i) $ che può essere scritta così $ bar(a)_x = (v_x (t)-v_(x0))/(t-0) $, da questa accelerazione, non capisco perchè il mio testo mi fa calcolare la velocità dall'accelerazione
Insomma perchè dalla formula dell'accelerazione si usa ricavare la velocità e per quale motivo si deve calcolare anche lo spazio $ x(t) $ , insomma lo spazio viene calcolato mediante le regole di derivazione, per quale motivo si calcola lo spazio nel contesto dell' accelerazione Si può dire che in questo caso dell'accelerazione lo spazio $ x(t) $ è una derivata dall'accelerazione Bene, ho visto che per calcolare le derivate in questo caso, si utilizza la seguente $ d/(dt) x^n = n*x^(n-1) $ , che non è difficile da utilizzare Adesso che sto parlando dell'accelerazione, mi chiedo perchè si utilizza ricavare la velocità $ v_x ^2 $ ...
I miei dubbi sono sul perchè se sto trattando la velocità si utilizzano determinate formule....., mentre se sto trattando l'accelerazione, si utilizzano sempre le stesse formule ma ritoccate.......
Tutto questo crea confusione
Cosa ho detto di sbagliato
Risposte
si , l'accellerazione è la derivata della velocità, cosi come la velocità è la derivata della funzione x(t). derivate rispetto al tempo ovviamente
Mmmmm....c'è qualcosa da modificare.
In due dimensioni il vettore posizione è dato da : $vecr = xhati + yhatj$ . Le componenti sono due.
La velocità istantanea si ottiene per derivazione ( quella famosa procedura matematica che ti raccomando di studiare!) :
$vecv = (dvecr)/(dt) = (dx)/(dt)hati + (dy)/(dt)hatj = v_xhati + v_yhatj$
Quindi anche la velocità istantanea è un vettore, tangente alla traiettoria in ogni punto dove la stai calcolando.
La velocità media $vecv_m$ è ancora un vettore, che va da un punto P ad un altro punto Q della traiettoria, tenendo conto che il punto mobile si sposta con una certa legge temporale ( $vecr = vecr(t)$) da P a Q nel tempo $\Deltat$.
Anche la velocità media quindi ha due componenti, nel moto piano (2 dimensioni). Quando la differenza di tempo $\Deltat$ tende a zero, il punto Q tende ad al punto P sulla traiettoria, e si passa, con un procedimento "di limite" , dalla velocità media $vecv_m$ alla velocità istantanea che abbiamo definito prima. Cioè si passa, dal vettore velocità media che aveva la direzione PQ , al vettore $vecv$ istantanea tangente alla curva in P.
Ma ....Bad....questo che abbiamo appena detto è il procedimento di "derivazione" che stiamo citando ogni tanto!
Senza accorgercene, abbiamo introdotto il concetto di derivata, sia pure in un contesto particolare.
E ora è quasi facile passare dal concetto di velocità media e velocità istantanea a quello di accelerazione media e di accelerazione istantanea. L' accelerazione media si ottiene considerando i due vettori velocità in P e Q , e costruendo il rapporto : $ veca_m = (vecv_Q -vecv_P)/(Deltat)$. Anche questo è un vettore, ma in generale non ha la direzione né della prima né della seconda delle velocità dette.
L'accelerazione istantanea si ottiene con una operazione di passaggio al limite come prima, nel punto P.
Però devo metterti in guardia su una faccenda : l'accelerazione non è un vettore tangente alla traiettoria! Avrai modo di rendertene conto più in avanti ( e sarà un storia un po' brigosa, te lo anticipo...).
Naturalmente le operazioni di derivazione si possono eseguire anche ragionando sulle componenti cartesiane della velocità.
Perciò sarà : $veca = (dv_x)/(dt)hati + (dv_y)/(dt)hatj$
Puoi eseguire le derivate dette se conosci le leggi con cui variano le componenti della velocità col tempo.
Adesso, quello che non ti è chiaro, se ho ben capito, è probabilmente il processo inverso, cioè data una certa accelerazione ricavare la velocità e ricavare lo spazio, come funzioni del tempo. Giusto?
Di solito, ci si trova ( almeno ai primi stadi di questi argomenti) di fronte a problemi di questo genere : dato un moto uniformemente accelerato ( quindi l'accelerazione è data ed è costante; spesso è costante anche la direzione del vettore, ma non è detto: vedrai ad es. che nel moto circolare il vettore accelerazione cambia direzione e anche intensità in generale), ricavare la velocità e lo spazio, se si suppongono date certe condizioni iniziali ( velocità iniziale, spazio iniziale).
Ma hai già fatto un problema del genere, nell'altro post :
$v = v_0 + at$
$s = s_0 + v_0*t + 1/2*a*t^2$
Ora però qui non posso generalizzare questo tipo di problemi. Questo che ho scritto sono piccole nozioni di teoria, che sono indispensabili per andare avanti.
In due dimensioni il vettore posizione è dato da : $vecr = xhati + yhatj$ . Le componenti sono due.
La velocità istantanea si ottiene per derivazione ( quella famosa procedura matematica che ti raccomando di studiare!) :
$vecv = (dvecr)/(dt) = (dx)/(dt)hati + (dy)/(dt)hatj = v_xhati + v_yhatj$
Quindi anche la velocità istantanea è un vettore, tangente alla traiettoria in ogni punto dove la stai calcolando.
La velocità media $vecv_m$ è ancora un vettore, che va da un punto P ad un altro punto Q della traiettoria, tenendo conto che il punto mobile si sposta con una certa legge temporale ( $vecr = vecr(t)$) da P a Q nel tempo $\Deltat$.
Anche la velocità media quindi ha due componenti, nel moto piano (2 dimensioni). Quando la differenza di tempo $\Deltat$ tende a zero, il punto Q tende ad al punto P sulla traiettoria, e si passa, con un procedimento "di limite" , dalla velocità media $vecv_m$ alla velocità istantanea che abbiamo definito prima. Cioè si passa, dal vettore velocità media che aveva la direzione PQ , al vettore $vecv$ istantanea tangente alla curva in P.
Ma ....Bad....questo che abbiamo appena detto è il procedimento di "derivazione" che stiamo citando ogni tanto!
Senza accorgercene, abbiamo introdotto il concetto di derivata, sia pure in un contesto particolare.
E ora è quasi facile passare dal concetto di velocità media e velocità istantanea a quello di accelerazione media e di accelerazione istantanea. L' accelerazione media si ottiene considerando i due vettori velocità in P e Q , e costruendo il rapporto : $ veca_m = (vecv_Q -vecv_P)/(Deltat)$. Anche questo è un vettore, ma in generale non ha la direzione né della prima né della seconda delle velocità dette.
L'accelerazione istantanea si ottiene con una operazione di passaggio al limite come prima, nel punto P.
Però devo metterti in guardia su una faccenda : l'accelerazione non è un vettore tangente alla traiettoria! Avrai modo di rendertene conto più in avanti ( e sarà un storia un po' brigosa, te lo anticipo...).
Naturalmente le operazioni di derivazione si possono eseguire anche ragionando sulle componenti cartesiane della velocità.
Perciò sarà : $veca = (dv_x)/(dt)hati + (dv_y)/(dt)hatj$
Puoi eseguire le derivate dette se conosci le leggi con cui variano le componenti della velocità col tempo.
Adesso, quello che non ti è chiaro, se ho ben capito, è probabilmente il processo inverso, cioè data una certa accelerazione ricavare la velocità e ricavare lo spazio, come funzioni del tempo. Giusto?
Di solito, ci si trova ( almeno ai primi stadi di questi argomenti) di fronte a problemi di questo genere : dato un moto uniformemente accelerato ( quindi l'accelerazione è data ed è costante; spesso è costante anche la direzione del vettore, ma non è detto: vedrai ad es. che nel moto circolare il vettore accelerazione cambia direzione e anche intensità in generale), ricavare la velocità e lo spazio, se si suppongono date certe condizioni iniziali ( velocità iniziale, spazio iniziale).
Ma hai già fatto un problema del genere, nell'altro post :
$v = v_0 + at$
$s = s_0 + v_0*t + 1/2*a*t^2$
Ora però qui non posso generalizzare questo tipo di problemi. Questo che ho scritto sono piccole nozioni di teoria, che sono indispensabili per andare avanti.
Ok, è chiaro!
visto che nell'altro tuo post ho preso parte anche io alla discussione, volevo mettere anche qua un po del mio zampino. ovviamente navigatore è stato molto chiaro, ma sai com'è, a ognuno piace dire la sua ahuahuhua
scherzi a parte, vedo dal tuo post che ti è abbastanza chiaro il come si procede dalla conoscenza della legge oraria del moto (nome che odio un sacco) x(t), o del vettore posizione $\vec r (t)$ è indifferente, a determinare prima la velocità, e poi l'accelerazione, mediante un passaggio al limite di un rapporto incrementale, dicesi anche derivata.
quello che giustamente non ti tornava era come mai ti presentano questa cosa quando poi nei libri ti danno prima l'accelerazione o la velocità, e ti fanno poi ricavare lo spostamento.
il motivo è la mancanza di strumenti matematici. quando uno ha chiaro il concetto di spostamento, lineare o vettoriale nel caso di più dimensioni, di velocità e di accelerazione, la fisica è finita. i legami che ci sono tra queste tre grandezze sono matematici. il primo è appunto la derivata che ti fa trovare da x(t) prima v(t) e poi a(t) ed è un concetto anche relativamente semplice, ma che ha un sacco di impieghi. quella regola che hai scritto "ho visto che per fare la derivata usare questo procedimento ecc..." è una delle regole che si usa per tale operatore.
ovviamente c'è anche il modo che ti consente di trovare data l'accelerazione la velocità e anche lo spostamento...anche questo è un operatore matematico, ma non è tanto banale e quindi è meglio lasciarlo un po perdere.
il motivo per cui si usano un sacco di formulette per vari casi deriva appunto dal fatto che non sono disponibile conoscenze di analisi matematica per presentare il problema in maniera più generale, e idonea a vari casi. per questo vengono presentati i problemi nella maniera in cui risulta più semplice spiegarli. nel moto uniformemente accelerato si parte dicendo che l'accelerazione è costante, e poi con questa considerazione ci si ricava x(t) perchè è la maniera più semplice per procedere
un ultima cosa...se la velocità è tangente al grafico dello spostamento in funzione del tempo, l'accelerazione non sarà tangente al grafico dello spostamento, ma lo sarà a quello della velocità in funzione del tempo (v(t)) (è la sua derivata)
se sei interessato a queste cose, l'unica è un testo di analisi matematica...te l'ho detto la fisica da sapere è poca...però sinceramente non saprei cosa consigliarti...
scherzi a parte, vedo dal tuo post che ti è abbastanza chiaro il come si procede dalla conoscenza della legge oraria del moto (nome che odio un sacco) x(t), o del vettore posizione $\vec r (t)$ è indifferente, a determinare prima la velocità, e poi l'accelerazione, mediante un passaggio al limite di un rapporto incrementale, dicesi anche derivata.
quello che giustamente non ti tornava era come mai ti presentano questa cosa quando poi nei libri ti danno prima l'accelerazione o la velocità, e ti fanno poi ricavare lo spostamento.
il motivo è la mancanza di strumenti matematici. quando uno ha chiaro il concetto di spostamento, lineare o vettoriale nel caso di più dimensioni, di velocità e di accelerazione, la fisica è finita. i legami che ci sono tra queste tre grandezze sono matematici. il primo è appunto la derivata che ti fa trovare da x(t) prima v(t) e poi a(t) ed è un concetto anche relativamente semplice, ma che ha un sacco di impieghi. quella regola che hai scritto "ho visto che per fare la derivata usare questo procedimento ecc..." è una delle regole che si usa per tale operatore.
ovviamente c'è anche il modo che ti consente di trovare data l'accelerazione la velocità e anche lo spostamento...anche questo è un operatore matematico, ma non è tanto banale e quindi è meglio lasciarlo un po perdere.
il motivo per cui si usano un sacco di formulette per vari casi deriva appunto dal fatto che non sono disponibile conoscenze di analisi matematica per presentare il problema in maniera più generale, e idonea a vari casi. per questo vengono presentati i problemi nella maniera in cui risulta più semplice spiegarli. nel moto uniformemente accelerato si parte dicendo che l'accelerazione è costante, e poi con questa considerazione ci si ricava x(t) perchè è la maniera più semplice per procedere
un ultima cosa...se la velocità è tangente al grafico dello spostamento in funzione del tempo, l'accelerazione non sarà tangente al grafico dello spostamento, ma lo sarà a quello della velocità in funzione del tempo (v(t)) (è la sua derivata)
se sei interessato a queste cose, l'unica è un testo di analisi matematica...te l'ho detto la fisica da sapere è poca...però sinceramente non saprei cosa consigliarti...
ah ho visto navigatore ti ha già consigliato di iniziare a applicarti su derivate. nei libri di analisi troverai una y in funzione di una x...perfetto, per la fisica è la stessa cosa. la x è sempre il tempo t, la y possono essere lo spostamento, la velocità, l'accelerazione. cambiano le lettere la sostanza non cambia
Eugenio......
....proprio finita non direi....
...quando uno ha chiaro il concetto di spostamento, lineare o vettoriale nel caso di più dimensioni, di velocità e di accelerazione, la fisica è finita.....
....proprio finita non direi....
troppo frettolosa questa mi affermazione, lo ammetto
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