Relazione termodinamica
salve....
stavo girando per la rete...
http://physics.ucsc.edu/~peter/231/magn ... 5.html#sum
a voi torna la formula 53? non capisco come faccia a differenziare rispetto a $\mu$ tenendo $N$ costante....
credo che per far questo scelga degli argomenti delle variabili termodinamiche che non sono quelli standard, però non li specifica....
voi riuscite a vedere gli argomenti?
stavo girando per la rete...
http://physics.ucsc.edu/~peter/231/magn ... 5.html#sum
a voi torna la formula 53? non capisco come faccia a differenziare rispetto a $\mu$ tenendo $N$ costante....
credo che per far questo scelga degli argomenti delle variabili termodinamiche che non sono quelli standard, però non li specifica....
voi riuscite a vedere gli argomenti?
Risposte
Nel caso grancanonico tu puoi scegliere come variabili di stato $V,T,\mu$ e se parti dal gran potenziale hai che
$\Omega = U - T S - N \mu$ (1)
se ora vai a prendere il differenziale, ricorda che stiamo parlando di funzioni di stato,
$d \Omega = dU - T * dS - S * dT - N * d\mu - \mu * dN$
siccome per il primo principio $dU = T*dS - p dV$ hai che
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu - \mu * dN$
ora è chiaro che $\mu e N$ sono variabili correlate, come p e V e anche T e S, e siccome all'inizio abbiamo scelto $\mu$ come variabile di stato non avranno senso le variazioni "indipendenti" di N, cioè dN=0, cioè
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu$
quindi
$N = -((\partial \Omega)/(\partial \mu))_(V,T,N) $
Detto questo, riscrivi la (1) come
$F=\Omega + N \mu $
la derivi rispetto a $\mu$ e ottieni quello che cercavi.
Più chiaro così?
$\Omega = U - T S - N \mu$ (1)
se ora vai a prendere il differenziale, ricorda che stiamo parlando di funzioni di stato,
$d \Omega = dU - T * dS - S * dT - N * d\mu - \mu * dN$
siccome per il primo principio $dU = T*dS - p dV$ hai che
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu - \mu * dN$
ora è chiaro che $\mu e N$ sono variabili correlate, come p e V e anche T e S, e siccome all'inizio abbiamo scelto $\mu$ come variabile di stato non avranno senso le variazioni "indipendenti" di N, cioè dN=0, cioè
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu$
quindi
$N = -((\partial \Omega)/(\partial \mu))_(V,T,N) $
Detto questo, riscrivi la (1) come
$F=\Omega + N \mu $
la derivi rispetto a $\mu$ e ottieni quello che cercavi.
Più chiaro così?
ti ringrazio tanto della risposta.... purtroppo non mi è ancora ben chiara la questione.... sempre fatto difficolt\'a ad orientarmi tra le funzioni termodinamiche e quindi vorrei fare un pò di chiarezza per capirle bene.... ti spiego le mie perplessità! magari esce fuori una bella discussione!
non dovresti mettere in realt\'a
$dU = T*dS - p dV+\mu dN$?
perchè poi mi dici di ricordare che stiamo parlando di funzioni di stato? cosa hai in mente?
questo discorso non mi \'e chiarissimo... noi abbiamo $\Omega$ come funzione di tre variabili.... ovvero da $R^3$ in $R$... vogliamo calcolare il differenziale giochicchiando con i differenziali e diciamo: che variazione abbiamo del $d\Omega$ spostandoci di $dV$, $dT$ e $d\mu$ ? (ovvero le 3 variabili).... La $N$ a(anch'essa funzione di stato e quindi funzione delle medesime tre variabili per esempio) sua volta cambier\'a se ci spostiamo di $dV$, $dT$ e $d\mu$ e quindi ci sar\'a un $dN$ diverso da 0...
quel termine per\'o se ne va se si mette il $dU$ con un termine aggiuntivo e quindi la formula torna.
qua hai aggiunto una $N$ a pedice in pi\'u?
[/quote]
il mio problema \'e che se derivo la funzione $F$ rispetto a $\mu$ a $T$ e $V$ costanti (come credo ci si aspetti) non vedo perch\'e se ne dovrebbe andare il termine;
$((\partial \N)/(\partial \mu))_(T,V) \mu$...
"alle.fabbri":
Nel caso grancanonico tu puoi scegliere come variabili di stato $V,T,\mu$ e se parti dal gran potenziale hai che
$\Omega = U - T S - N \mu$ (1)
se ora vai a prendere il differenziale, ricorda che stiamo parlando di funzioni di stato,
$d \Omega = dU - T * dS - S * dT - N * d\mu - \mu * dN$
siccome per il primo principio $dU = T*dS - p dV$ hai che
non dovresti mettere in realt\'a
$dU = T*dS - p dV+\mu dN$?
perchè poi mi dici di ricordare che stiamo parlando di funzioni di stato? cosa hai in mente?
"alle.fabbri":
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu - \mu * dN$
ora è chiaro che $\mu e N$ sono variabili correlate, come p e V e anche T e S, e siccome all'inizio abbiamo scelto $\mu$ come variabile di stato non avranno senso le variazioni "indipendenti" di N, cioè dN=0, cioè
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu$
questo discorso non mi \'e chiarissimo... noi abbiamo $\Omega$ come funzione di tre variabili.... ovvero da $R^3$ in $R$... vogliamo calcolare il differenziale giochicchiando con i differenziali e diciamo: che variazione abbiamo del $d\Omega$ spostandoci di $dV$, $dT$ e $d\mu$ ? (ovvero le 3 variabili).... La $N$ a(anch'essa funzione di stato e quindi funzione delle medesime tre variabili per esempio) sua volta cambier\'a se ci spostiamo di $dV$, $dT$ e $d\mu$ e quindi ci sar\'a un $dN$ diverso da 0...
quel termine per\'o se ne va se si mette il $dU$ con un termine aggiuntivo e quindi la formula torna.
"alle.fabbri":
quindi
$N = -((\partial \Omega)/(\partial \mu))_(V,T,N) $
qua hai aggiunto una $N$ a pedice in pi\'u?
[/quote]
"alle.fabbri":
Detto questo, riscrivi la (1) come
$F=\Omega + N \mu $
la derivi rispetto a $\mu$ e ottieni quello che cercavi.
il mio problema \'e che se derivo la funzione $F$ rispetto a $\mu$ a $T$ e $V$ costanti (come credo ci si aspetti) non vedo perch\'e se ne dovrebbe andare il termine;
$((\partial \N)/(\partial \mu))_(T,V) \mu$...
"Thomas":
non dovresti mettere in realt\'a
$dU = T*dS - p dV+\mu dN$?
Ma è la stessa cosa....nel senso che fisicamente dici che la variazione di energia interna sarà quella dell'insieme canonico più un termine $\mu dN$. Cioè stai definendo $\mu$ come la variazione di energia interna per unità di particella aggiunta. Con un po' di smanettamenti sulle forme differenziali ottieni quello che ho scritto io. Secondo me puoi ragionare così. Al posto di $\mu dN$ sostituisci $d(\mu N) - N d\mu$. Questa nel pieno rigore matematico è una trasformazione di Legendre, quindi stai passando da $N$ a $\mu$ come variabile termodinamica. Stessa cosa per il termine $T * dS$. Cosa rimane?
$dU - d(TS) - d(\mu N) = d(U - TS - \mu N) = d \Omega = -S*dT - p dV - N d\mu$
Così facendo abbiamo anche definito il Gran Potenziale. E ti dovresti chiedere come funzione di quali variabili?
"Thomas":
[quote="alle.fabbri"]
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu - \mu * dN$
ora è chiaro che $\mu e N$ sono variabili correlate, come p e V e anche T e S, e siccome all'inizio abbiamo scelto $\mu$ come variabile di stato non avranno senso le variazioni "indipendenti" di N, cioè dN=0, cioè
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu$
questo discorso non mi \'e chiarissimo... noi abbiamo $\Omega$ come funzione di tre variabili.... ovvero da $R^3$ in $R$... vogliamo calcolare il differenziale giochicchiando con i differenziali e diciamo: che variazione abbiamo del $d\Omega$ spostandoci di $dV$, $dT$ e $d\mu$ ? (ovvero le 3 variabili).... La $N$ a(anch'essa funzione di stato e quindi funzione delle medesime tre variabili per esempio) sua volta cambier\'a se ci spostiamo di $dV$, $dT$ e $d\mu$ e quindi ci sar\'a un $dN$ diverso da 0...
quel termine per\'o se ne va se si mette il $dU$ con un termine aggiuntivo e quindi la formula torna.
[/quote]
Il discorso non è così lineare perchè esistono le equazioni di stato che riducono il numero di variabili dipendenti.....l'analogia con $RR^3$ non sempre è illuminante.....
"alle.fabbri":
quindi
$N = -((\partial \Omega)/(\partial \mu))_(V,T,N) $
qua hai aggiunto una $N$ a pedice in pi\'u?
Perchè mi sono sbagliato.............
...................N non è una variabile, in questo caso, ma una funzione di stato......$N = -((\partial \Omega)/(\partial \mu))_(V,T)$
"Thomas":
[quote="alle.fabbri"]
Detto questo, riscrivi la (1) come
$F=\Omega + N \mu $
la derivi rispetto a $\mu$ e ottieni quello che cercavi.
il mio problema \'e che se derivo la funzione $F$ rispetto a $\mu$ a $T$ e $V$ costanti (come credo ci si aspetti) non vedo perch\'e se ne dovrebbe andare il termine;
$((\partial \N)/(\partial \mu))_(T,V) \mu$...[/quote]
Perchè la scrittura non è delle più illuminanti per avere le idee chiare.......prova a riscriverla come
$dF = d\Omega + N d\mu $
e vedi se riesci a fare il ragionamento...
"alle.fabbri":
[quote="Thomas"]
non dovresti mettere in realt\'a
$dU = T*dS - p dV+\mu dN$?
Ma è la stessa cosa....nel senso che fisicamente dici che la variazione di energia interna sarà quella dell'insieme canonico più un termine $\mu dN$. Cioè stai definendo $\mu$ come la variazione di energia interna per unità di particella aggiunta. Con un po' di smanettamenti sulle forme differenziali ottieni quello che ho scritto io. Secondo me puoi ragionare così. Al posto di $\mu dN$ sostituisci $d(\mu N) - N d\mu$. Questa nel pieno rigore matematico è una trasformazione di Legendre, quindi stai passando da $N$ a $\mu$ come variabile termodinamica. Stessa cosa per il termine $T * dS$. Cosa rimane?
$dU - d(TS) - d(\mu N) = d(U - TS - \mu N) = d \Omega = -S*dT - p dV - N d\mu$
Così facendo abbiamo anche definito il Gran Potenziale. E ti dovresti chiedere come funzione di quali variabili?
"Thomas":
[quote="alle.fabbri"]
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu - \mu * dN$
ora è chiaro che $\mu e N$ sono variabili correlate, come p e V e anche T e S, e siccome all'inizio abbiamo scelto $\mu$ come variabile di stato non avranno senso le variazioni "indipendenti" di N, cioè dN=0, cioè
$d \Omega = - p * dV - S * dT - N * d\mu$
questo discorso non mi \'e chiarissimo... noi abbiamo $\Omega$ come funzione di tre variabili.... ovvero da $R^3$ in $R$... vogliamo calcolare il differenziale giochicchiando con i differenziali e diciamo: che variazione abbiamo del $d\Omega$ spostandoci di $dV$, $dT$ e $d\mu$ ? (ovvero le 3 variabili).... La $N$ a(anch'essa funzione di stato e quindi funzione delle medesime tre variabili per esempio) sua volta cambier\'a se ci spostiamo di $dV$, $dT$ e $d\mu$ e quindi ci sar\'a un $dN$ diverso da 0...
quel termine per\'o se ne va se si mette il $dU$ con un termine aggiuntivo e quindi la formula torna.
[/quote]
Il discorso non è così lineare perchè esistono le equazioni di stato che riducono il numero di variabili dipendenti.....l'analogia con $RR^3$ non sempre è illuminante.....
[/quote]
non so a me pare lineare.... nell'insieme grancanonico $\mu$, $T$, $V$ sono le variabili indipendenti, nel senso che possono prendere qualsiasi valore (sono tre, tante quante i gradi di libertà)... non vedo errore in questi ragionamenti..
"alle.fabbri":
[quote="alle.fabbri"]
quindi
$N = -((\partial \Omega)/(\partial \mu))_(V,T,N) $
qua hai aggiunto una $N$ a pedice in pi\'u?
Perchè mi sono sbagliato.............
...................N non è una variabile, in questo caso, ma una funzione di stato......$N = -((\partial \Omega)/(\partial \mu))_(V,T)$
"Thomas":
[quote="alle.fabbri"]
Detto questo, riscrivi la (1) come
$F=\Omega + N \mu $
la derivi rispetto a $\mu$ e ottieni quello che cercavi.
il mio problema \'e che se derivo la funzione $F$ rispetto a $\mu$ a $T$ e $V$ costanti (come credo ci si aspetti) non vedo perch\'e se ne dovrebbe andare il termine;
$((\partial \N)/(\partial \mu))_(T,V) \mu$...[/quote]
Perchè la scrittura non è delle più illuminanti per avere le idee chiare.......prova a riscriverla come
$dF = d\Omega + N d\mu $
e vedi se riesci a fare il ragionamento...[/quote]
perchè dovrei riscriverla così buttando via il termine $\mu dN$?
"Thomas":
non so a me pare lineare.... nell'insieme grancanonico $\mu$, $T$, $V$ sono le variabili indipendenti, nel senso che possono prendere qualsiasi valore (sono tre, tante quante i gradi di libertà)... non vedo errore in questi ragionamenti..
Non sono così semplici le cose......io non so a che livello stai affrontando la questione ma se stai studiando la termodinamica da un punto di vista della meccanica statistica non dovrebbe essere così difficile capire che l'analogia regge solo in parte.
"Thomas":
perchè dovrei riscriverla così buttando via il termine $\mu dN$?
Perchè la relazione "giusta" è quella tra i differenziali. Ricordati che in fisica hanno senso solo le differenze e non le quantità assolute. Quindi in linea di principio non puoi misurare F ma solo dF.......
"alle.fabbri":
Non sono così semplici le cose......io non so a che livello stai affrontando la questione ma se stai studiando la termodinamica da un punto di vista della meccanica statistica non dovrebbe essere così difficile capire che l'analogia regge solo in parte.
Questa è una gran cavolata!!! E soprattutto non c'entra un tubo!!!!!! Adesso ci penso un attimo....
non preoccuparti non c'è mica fretta....
in ogni caso, studio la termodinamica dal punto di vista della termodinamica (o meglio, non è che sto studiando la termodinamica di per se, la devo semplicemente usare!).... per il semplice fatto che la formula di partenza 53 non mi sembra porti nei suoi passaggi relazioni fornite dalla meccanica statistica, ma la prende come una relazione pi\'u generale, almeno mi sembra....
poi non ho capito la tua risposta sul $dN$.... quando hai differenziato $\Omega$ in uno dei tuoi messaggi precedenti hai differenziato tutto, no? perch\'e non fare lo stesso qua? ($\mu dN$ è un differenziale...)
in ogni caso, studio la termodinamica dal punto di vista della termodinamica
(o meglio, non è che sto studiando la termodinamica di per se, la devo semplicemente usare!).... per il semplice fatto che la formula di partenza 53 non mi sembra porti nei suoi passaggi relazioni fornite dalla meccanica statistica, ma la prende come una relazione pi\'u generale, almeno mi sembra.... poi non ho capito la tua risposta sul $dN$.... quando hai differenziato $\Omega$ in uno dei tuoi messaggi precedenti hai differenziato tutto, no? perch\'e non fare lo stesso qua? ($\mu dN$ è un differenziale...)
...son tornato....allora ho trovato nelle dispense del mio prof la risposta ai nostri problemi. Qui c'è il link http://www.robertosoldati.com/filepdf/nuovi_200603/cap05.pdf. La cosa è un po' complessa.....nel senso che viene tirato in ballo il limite termodinamico e delle considerazioni sulla forma delle funzioni di stato in relazione a considerazioni sulla intensività o estensività delle variabili. Cmq credo che le cose siano anche semplificabili a discapito della perdita di un po' di rigore, questo va detto.......ciao
ma in quel file viene chiarito come ottenere la formula 53? mi potresti dire dove? 
ps: un fisico anche tu?
ps: un fisico anche tu?
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