Relazione divergenza e sorgenti
ciao,
ho appena iniziato a studiare l'elettromagnetismo e per ora preliminarmente sto studiando un po' i campi vettoriali.
per quanto ho capito finora la divergenza di un campo vettoriale è un indice della densità di sorgenti del campo nel punto in cui è calcolata e l'integrale su un certo volume della divergenza è quindi un indice delle sorgenti all'nterno di quel volume.
cioè se le sorgenti $S$ (la densità sarà $rho = (dS)/(dV)$) producono un campo $vec(C)(s,x,y,z,t,..)$ allora
$vec(nabla)*vec(C) = rho$
e
$int int int_(V)^() vec(nabla)*vec(C)dV = S$
per il teorema di Gauss il flusso:
$oint_(Sigma) vec(C)*vec(n) d sigma = int int int_(V_Sigma)^() vec(nabla)*vec(C)dV = S$
solo che nelle mie dispense c'è una dimostrazione nel caso fluidodinamico che però mi sembra abbastanza ristretta al caso particolare dell'acqua e del campo delle velocità dell'acqua...
mi interesserebbe trovare una dimostrazione abbastanza generale per un campo qualsiasi $vec(C)(S)$ potete aiutarmi?
grazie
ho appena iniziato a studiare l'elettromagnetismo e per ora preliminarmente sto studiando un po' i campi vettoriali.
per quanto ho capito finora la divergenza di un campo vettoriale è un indice della densità di sorgenti del campo nel punto in cui è calcolata e l'integrale su un certo volume della divergenza è quindi un indice delle sorgenti all'nterno di quel volume.
cioè se le sorgenti $S$ (la densità sarà $rho = (dS)/(dV)$) producono un campo $vec(C)(s,x,y,z,t,..)$ allora
$vec(nabla)*vec(C) = rho$
e
$int int int_(V)^() vec(nabla)*vec(C)dV = S$
per il teorema di Gauss il flusso:
$oint_(Sigma) vec(C)*vec(n) d sigma = int int int_(V_Sigma)^() vec(nabla)*vec(C)dV = S$
solo che nelle mie dispense c'è una dimostrazione nel caso fluidodinamico che però mi sembra abbastanza ristretta al caso particolare dell'acqua e del campo delle velocità dell'acqua...
mi interesserebbe trovare una dimostrazione abbastanza generale per un campo qualsiasi $vec(C)(S)$ potete aiutarmi?
grazie
Risposte
Se sei interessato alla dimostrazione matematica, dovresti trovarla in un manuale di Analisi II, teorema della divergenza.
sul libro di analisi c'è la dimostrazione del teorema della divergenza, ma a me interessa più che altro la dimostrazione di $vec nabla * vec C = rho$
Nel caso del campo elettrico la trovi nei manuali di Fisica II.
si per il campo elettrico si, però ero interessato alla dimostrazione della relazione nel caso generale, sempre sia possibile, cioè di un campo generico $C=C(S) in R^3$ con S=sorgenti.
Mi sembra un discorso circolare. Il caso generale è quello matematico, quella posizione puoi vederla come una definizione.
forse ho capito cosa intendi...
la dimostrazione matematica dimostra la relazione flusso = integrale divergenza da cui caso per caso si ricava la relazione 'locale' differenziale $div vec C = f(S)$ ... se è cosi, in effetti stavo chiedendo l'analogo differenziale del teorema della divergenza nella forma integrale, cioè la dimostrazione della forma differenziale del teorema della divergenza. ci penso domani, grazie di tutto
la dimostrazione matematica dimostra la relazione flusso = integrale divergenza da cui caso per caso si ricava la relazione 'locale' differenziale $div vec C = f(S)$ ... se è cosi, in effetti stavo chiedendo l'analogo differenziale del teorema della divergenza nella forma integrale, cioè la dimostrazione della forma differenziale del teorema della divergenza. ci penso domani, grazie di tutto
Nel caso del campo di velocità di un fluido in moto, dal punto di vista fisico, non credo che ci siano problemi, visto che deve essere verificata la conservazione della massa e quindi non c'è in alcun punto dello spazio generazione o distruzione di massa.
Per quanto riguarda l'elettromagnetismo invece, fisicamente, è utile trattare non solo di distribuzioni volumetriche di carica, ma anche di cariche distribuite su superfici, linee o puntiformi, per cui si fa più cmplicato.
Ti consiglio di postare l'argomento nella sezione di matematica.
Quella formula che esprime il legame tra divergenza e densità di carica (dove esistono) è una legge, non c'è dimostrazione ma ci sono verifiche.
Per quanto riguarda l'elettromagnetismo invece, fisicamente, è utile trattare non solo di distribuzioni volumetriche di carica, ma anche di cariche distribuite su superfici, linee o puntiformi, per cui si fa più cmplicato.
Ti consiglio di postare l'argomento nella sezione di matematica.
Quella formula che esprime il legame tra divergenza e densità di carica (dove esistono) è una legge, non c'è dimostrazione ma ci sono verifiche.
ah ok, capito
credevo fosse una proprietà generale..come non detto, grazie a tutti
credevo fosse una proprietà generale..come non detto, grazie a tutti
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