Relatività speciale: componente di un evento ortogonale alla velocità relativa tra due sistemi di riferimento
Perchè in relatività speciale la componente di un evento ortogonale alla velocità relativa tra due sistemi di riferimento deve rimanere invariata?
Risposte
Ok ti sottopongo il problema originale.
Come ricavo le trasformazioni di Lorentz nel caso generale in cui v non è parallelo ai due assi x,x' dei due sistemi di riferimento, e nel caso in cui i due sistemi di riferimento non hanno gli assi allineati?
Come ricavo le trasformazioni di Lorentz nel caso generale in cui v non è parallelo ai due assi x,x' dei due sistemi di riferimento, e nel caso in cui i due sistemi di riferimento non hanno gli assi allineati?
con quali dati a disposizione?
Non è un problema assegnato ad un esame, ma è un problema di coerenza con la costruzione teorica.
I moti rettilinei uniformi devono essere mandati in moti rettilinei uniformi, quindi la trasformazione deve essere lineare, OTTIMO. Ovvero sarà del tipo AX.
Primo passo: caso semplice in cui gli assi sono allineati con la velocità relativa. Mi ricavo la matrice di lorentz, il boost in questo caso particolare.
Problema: ricavare il boost nel caso generale in cui i due sistemi di riferimento non sono allineati con la velocità relativa (e neanche tra di loro)
I moti rettilinei uniformi devono essere mandati in moti rettilinei uniformi, quindi la trasformazione deve essere lineare, OTTIMO. Ovvero sarà del tipo AX.
Primo passo: caso semplice in cui gli assi sono allineati con la velocità relativa. Mi ricavo la matrice di lorentz, il boost in questo caso particolare.
Problema: ricavare il boost nel caso generale in cui i due sistemi di riferimento non sono allineati con la velocità relativa (e neanche tra di loro)
Qui è mostrata, nel parag. 3, la trasformazione con gli assi rispettivamente paralleli, che non è la più generica perché non c'è la rotazione degli assi :
http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz
c'è un accenno alla composizione quando gli assi non sono paralleli, caso in cui entra in gioco la "precessione di Thomas" . Ma io non ne so nulla . Se vuoi approfondire, ci sono vari link, tra cui questo :
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/do ... 1&type=pdf
http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz
c'è un accenno alla composizione quando gli assi non sono paralleli, caso in cui entra in gioco la "precessione di Thomas" . Ma io non ne so nulla . Se vuoi approfondire, ci sono vari link, tra cui questo :
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/do ... 1&type=pdf
il mio problema è il secondo punto: supposto fatto il primo (quindi so come sono fatti i boost in quel caso semplice) voglio ricavarmi quelli nel caso generale
la precessione di Thomas è esattamente il fatto che la composizione di due boost in direzioni diverse non è un boost ma include anche una rotazione.
Newton, il motivo per cui chiedo è per aiutarti ad identificare la domanda. Se ti interessa trovare l'insieme di tutte le possibili matrici di Lorentz, è semplice. Sono quelle sotto la quale la $\eta$ è invariante per coniugio:
$\Lambda \eta \Lambda^T = \eta$ con $\eta = diag(+,-,-,-)$
o meglio \[{\Lambda^\mu}_{\alpha} {\Lambda^\nu}_{\beta} \eta^{\alpha \beta} = \eta^{\mu\nu}\]
però se sei interessato alla specifica trasformazione di Lorentz fra due frame precisi, è chiaramente necessario identificare in maniera disambigua il rapporto fra i due sistemi di riferimento mediante una serie di quantità (ne servono 6). Putroppo non è così semplice come dire "c'è una velocità relativa $v$ e gli assi sono ruotati della matrice ortogonale 3x3 $R$" perché
1) $v$ è un 3-vettore e non è chiaro se lo stai dando nel primo o nel secondo sistema. Nota che gli iperpiani di simultaneità sono diversi.
2) Gli assi spaziali di un sistema non sono nello stesso iperpiano descritto dai tre assi dell'altro sistema, e non esiste una rotazione $R$ che li porta l'uno nell'altro.
Newton, il motivo per cui chiedo è per aiutarti ad identificare la domanda. Se ti interessa trovare l'insieme di tutte le possibili matrici di Lorentz, è semplice. Sono quelle sotto la quale la $\eta$ è invariante per coniugio:
$\Lambda \eta \Lambda^T = \eta$ con $\eta = diag(+,-,-,-)$
o meglio \[{\Lambda^\mu}_{\alpha} {\Lambda^\nu}_{\beta} \eta^{\alpha \beta} = \eta^{\mu\nu}\]
però se sei interessato alla specifica trasformazione di Lorentz fra due frame precisi, è chiaramente necessario identificare in maniera disambigua il rapporto fra i due sistemi di riferimento mediante una serie di quantità (ne servono 6). Putroppo non è così semplice come dire "c'è una velocità relativa $v$ e gli assi sono ruotati della matrice ortogonale 3x3 $R$" perché
1) $v$ è un 3-vettore e non è chiaro se lo stai dando nel primo o nel secondo sistema. Nota che gli iperpiani di simultaneità sono diversi.
2) Gli assi spaziali di un sistema non sono nello stesso iperpiano descritto dai tre assi dell'altro sistema, e non esiste una rotazione $R$ che li porta l'uno nell'altro.
Concordo pienamente, e non potrei fare altrimenti. Il tensore metrico di Minkowski nello ST piatto si deve trasformare a quella maniera, sia in forma controvariante sia in forma covariante : la matrice prodotto delle due trasformazioni di L. deve essere la matrice identica.
OK, allora prendo il toro per le corna...
Ci sono due sistemi di riferimento, O e O', i cui assi sono ruotati l'uno rispetto all'altro. L'origine O' si muove rispetto a O cn una velocità $\vec v$ Sembra che le equazioni di trasformazione siano
$t'=\gamma(t-(\vec v\cdot \vec r)/(c^2))$
$\vec r' =\vec r + ((\gamma-1)/(v^2) (\vec r \cdot \vec v) -\gamma t )\vec v$
Domanda: da dove vengono queste equazioni di trasformazione? Ho note solo le trasformazioni nel caso particolare in cui v è parallelo a x e a x'. Come si ottiene questa generalizzazione?
Ci sono due sistemi di riferimento, O e O', i cui assi sono ruotati l'uno rispetto all'altro. L'origine O' si muove rispetto a O cn una velocità $\vec v$ Sembra che le equazioni di trasformazione siano
$t'=\gamma(t-(\vec v\cdot \vec r)/(c^2))$
$\vec r' =\vec r + ((\gamma-1)/(v^2) (\vec r \cdot \vec v) -\gamma t )\vec v$
Domanda: da dove vengono queste equazioni di trasformazione? Ho note solo le trasformazioni nel caso particolare in cui v è parallelo a x e a x'. Come si ottiene questa generalizzazione?
Ti avevo consigliato di procurarti il libro di V.Barone, ma tu evidentemente non lo hai fatto.
Queste sono due pagine scannerizzate del libro, dove sono ricavate le TL che cerchi, e che sono scritte su Wikipedia.
Non so se riesci a visualizzarle bene, non è colpa mia ma sono fotocopie sbiadite dell'originale. Specie il grassetto dei vettori si vede male.
Queste sono due pagine scannerizzate del libro, dove sono ricavate le TL che cerchi, e che sono scritte su Wikipedia.
Non so se riesci a visualizzarle bene, non è colpa mia ma sono fotocopie sbiadite dell'originale. Specie il grassetto dei vettori si vede male.
Ho capito che in realtà quelle formule sono relative al caso $x,x'$ paralleli. Però lui assume che $x//$ si trasforma con Lorentz e $x |_$ rimane invariato.
E' proprio queste due assunzioni che non capisco. Questo perchè potrebbe venirmi il dubbio che, "ruotando" gli assi in un altro modo, il modo in cui trasforma il vettore potrebbe cambiare...
E' proprio queste due assunzioni che non capisco. Questo perchè potrebbe venirmi il dubbio che, "ruotando" gli assi in un altro modo, il modo in cui trasforma il vettore potrebbe cambiare...
No, in realtà lui scompone il vettore $vecx$ in un vettore $vecx_(parall)$ , parallelo al vettore velocità $vecv$ , che si trasforma secondo L. , e in un vettore $vecx _(perp) $ perpendicolare a $vecv$ , che rimane invariato perché, lo diciamo per l'ennesima volta, le dimensioni nel piano perpendicolare alla velocità relativa non variano.
Ricordiamoci comunque che siamo in RR : trasformazioni tra riferimenti inerziali, con velocità relativa $vecv = "cost" $.
Se assumi un'altra direzione per $vecv$ , devi sempre scomporre come sopra, ma non sarà la stessa scomposizione di prima , evidente! Spero di essermi spiegato.
Guarda, sto pensando a un esercizio per far vedere certe cose carine che succedono, quando componi relativisticamente delle velocità in direzioni NON collineari….ma ho bisogno di tempo.
Ricordiamoci comunque che siamo in RR : trasformazioni tra riferimenti inerziali, con velocità relativa $vecv = "cost" $.
Se assumi un'altra direzione per $vecv$ , devi sempre scomporre come sopra, ma non sarà la stessa scomposizione di prima , evidente! Spero di essermi spiegato.
Guarda, sto pensando a un esercizio per far vedere certe cose carine che succedono, quando componi relativisticamente delle velocità in direzioni NON collineari….ma ho bisogno di tempo.
che significa che le dimensioni nel piano perpendicolare alla velocità relativa non variano? E perchè non variano?
Significa questo che ti avevo detto all'inizio Newton!
viewtopic.php?f=19&t=136180#p867696
vogliamo cominciare da capo ?
Ascolta, ti faccio un esempio del tipo "paradosso" . Supponi che ci sia il solito treno, di sezione circolare, e la solita galleria circolare anch'essa. Supponi che, nei rispettivi riferimenti di quiete, il diametro del treno $D_t$ sia di poco inferiore a quello della galleria $D_g$ diciamo un paio di cm. Quindi il treno passa, a velocità "umane".
Il treno viaggia ora a $0.9c$ rispetto al suolo , sicché il fattore di contrazione longitudinale risulta $R = 0.436 $ .
Il che, se ci fosse anche contrazione trasversale delle dimensioni, vorrebbe dire che :
1) visto dal treno, il diametro $D_g$ della galleria si ridurrebbe a $0.436 D_g$ : l'imboccatura della galleria si schianterebbe contro il treno andandogli incontro.!!
2) visto dalla galleria , il diametro del treno $D_t$ si ridurrebbe a $0.436 D_t$ : il treno passerebbe alla grande dentro la galleria !
Avremmo due risultati diversi dello stesso fenomeno fisico " passaggio treno rispetto galleria" . Ma i fenomeni fisici devono avvenire alla stessa maniera, da qualunque sistema di riferimento li si consideri, altrimenti andiamo contro il principio di relatività ! È una prerogativa dei riferimenti inerziali (ma poi con la RG si estende il concetto a tutti i riferimenti) .
Avremmo trovato il modo per distinguere quale dei due è in moto e quale è in quiete (si fa per dire…) : se il treno si schianta, il treno è in quiete, è la galleria che gli si muove incontro, e questo dovrebbe valere per tutti gli OI e per tutte le velocità, quindi anche alle velocità "umane" dove applichi la meccanica classica.
Ti sembra mai possibile? Ma non succede. Non c'è contrazione trasversale. Il diametro del treno e quello della galleria rimangono immutati. La contrazione (che termine infelice , per indicare una "riduzione di misura" !) riguarda la misura longitudinale.
E guarda che anche la "contrazione" longitudinale è reciproca: se A misura contratto un regolo a riposo disposto in senso longitudinale in B , anche B misura contratto un regolo uguale a riposo in senso longitudinale in A , e l'entità è la stessa.
La teoria della "Relatività" si sarebbe dovuta chiamare "teoria dell'assolutismo più totale" , altro che!
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vogliamo cominciare da capo ?
Ascolta, ti faccio un esempio del tipo "paradosso" . Supponi che ci sia il solito treno, di sezione circolare, e la solita galleria circolare anch'essa. Supponi che, nei rispettivi riferimenti di quiete, il diametro del treno $D_t$ sia di poco inferiore a quello della galleria $D_g$ diciamo un paio di cm. Quindi il treno passa, a velocità "umane".
Il treno viaggia ora a $0.9c$ rispetto al suolo , sicché il fattore di contrazione longitudinale risulta $R = 0.436 $ .
Il che, se ci fosse anche contrazione trasversale delle dimensioni, vorrebbe dire che :
1) visto dal treno, il diametro $D_g$ della galleria si ridurrebbe a $0.436 D_g$ : l'imboccatura della galleria si schianterebbe contro il treno andandogli incontro.!!
2) visto dalla galleria , il diametro del treno $D_t$ si ridurrebbe a $0.436 D_t$ : il treno passerebbe alla grande dentro la galleria !
Avremmo due risultati diversi dello stesso fenomeno fisico " passaggio treno rispetto galleria" . Ma i fenomeni fisici devono avvenire alla stessa maniera, da qualunque sistema di riferimento li si consideri, altrimenti andiamo contro il principio di relatività ! È una prerogativa dei riferimenti inerziali (ma poi con la RG si estende il concetto a tutti i riferimenti) .
Avremmo trovato il modo per distinguere quale dei due è in moto e quale è in quiete (si fa per dire…) : se il treno si schianta, il treno è in quiete, è la galleria che gli si muove incontro, e questo dovrebbe valere per tutti gli OI e per tutte le velocità, quindi anche alle velocità "umane" dove applichi la meccanica classica.
Ti sembra mai possibile? Ma non succede. Non c'è contrazione trasversale. Il diametro del treno e quello della galleria rimangono immutati. La contrazione (che termine infelice , per indicare una "riduzione di misura" !) riguarda la misura longitudinale.
E guarda che anche la "contrazione" longitudinale è reciproca: se A misura contratto un regolo a riposo disposto in senso longitudinale in B , anche B misura contratto un regolo uguale a riposo in senso longitudinale in A , e l'entità è la stessa.
La teoria della "Relatività" si sarebbe dovuta chiamare "teoria dell'assolutismo più totale" , altro che!
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