Relatività ristretta - Tentativo parziale
Salve! Ho fatto un tentativo nel risolvere un esercizio di un appello passato, ma non avendo le soluzioni volevo chiedere il vostro parere 
Inoltre, la seconda parte mi mette in difficoltà e non so come risolverla...
Testo: "In un esperimento si ricerca il decadimento del muone ($m_(mu)=105MeV/(c^2)$) in un elettrone ($m_(e) = 0.5MeV/(c^2)$) e un fotone."
1) Calcolare l'energia $E_(e)$ che ha l'elettrone nel sistema di riferimento del laboratorio se il muone decade a riposo in quel sistema. [SOL.FORNITE: 26,2;39,3;52,5;105;210]
2) Un muone a riposo ha una vita media $tau=2mus$. Quale sarebbe la sua vita media T se osservata in un sistema di riferimento solidale a quello dell'elettrone prodotto nel decadimento di cui sopra? [SOL.FORNITE: 26,2;39,3;52,5;105;210]
Ecco il mio approccio al problema:
1) $m_(mu)c^2 = E_(e) = m_(e)c^2+m_(fot)c^2 = 105MeV = E_(t)$ con l'energia del fotone nulla perchè massless
Per la seconda parte, come ho già detto, attendo che qualcuno mi illumini.
Grazie!
Inoltre, la seconda parte mi mette in difficoltà e non so come risolverla...
Testo: "In un esperimento si ricerca il decadimento del muone ($m_(mu)=105MeV/(c^2)$) in un elettrone ($m_(e) = 0.5MeV/(c^2)$) e un fotone."
1) Calcolare l'energia $E_(e)$ che ha l'elettrone nel sistema di riferimento del laboratorio se il muone decade a riposo in quel sistema. [SOL.FORNITE: 26,2;39,3;52,5;105;210]
2) Un muone a riposo ha una vita media $tau=2mus$. Quale sarebbe la sua vita media T se osservata in un sistema di riferimento solidale a quello dell'elettrone prodotto nel decadimento di cui sopra? [SOL.FORNITE: 26,2;39,3;52,5;105;210]
Ecco il mio approccio al problema:
1) $m_(mu)c^2 = E_(e) = m_(e)c^2+m_(fot)c^2 = 105MeV = E_(t)$ con l'energia del fotone nulla perchè massless
Per la seconda parte, come ho già detto, attendo che qualcuno mi illumini.
Grazie!
Risposte
Ciao. Sono molto lontano da casa mia e dal mio computer, e non posso scrivere molto, ora.
1) È sbagliato. Il fotone non ha massa , però ha sicuramente energia. L'energia di un fotone (si indica il fotone con $\gamma$ ) è data da $h\nu$ , e si può anche scrivere : $pc = h\nu$ , il che permette di definire la quantità di moto di un fotone come $p= (h\nu)/c$ . il 4-impulso per il fotone si scrive $ P_\gamma = ( pc, pc )$ , le due componenti, temporale e spaziale, sono uguali, infatti deve essere $P_\gamma^2 = 0 $ .
Nel decadimento del muone, si conservano l'energia totale e la quantità di moto totale , cioè il 4-impulso totale.
L'energia totale iniziale è quella di riposo del muone : $E_\mu = m_\muc^2$
Essendo il muone a riposo, le due quantità di moto spaziali dell'elettrone e del fotone prodotti nel decadimento devono essere uguali e opposte, come vettori , quindi i moduli sono uguali :$p_e = p_\gamma = p $
LA conservazione dell'energia si scrive allora : $E_\mu = E_e + E_\gamma$ , da cui :
$ m_\muc^2 = sqrt((m_ec^2)^2 + (pc)^2) + pc $
dove la radice è l'energia totale dell'elettrone, il termine finale $pc$ è l'energia del fotone.
Risolvendo, si trova l'energia del fotone : $pc = ((m_\mu^2 -m_e^2)c^2)/(2m_\mu) $
Trovata questa , trovi per differenza l'energia totale $E_e$ dell'elettrone .
2) nota l' energia totale dell'elettrone $E_e$ , ti basta dividerla per $m_ec^2$ , poichè $E_e = \gammam_ec^2$ , e ottieni il fattore $\gamma$ di Lorentz, da cui la velocità relativa dell'elettrone rispetto al muone. Questa é uguale in modulo alla velocità relativa del muone, visto nel rif. di quiete dell'elettrone . Allora :
$\Delta t = \gamma\Delta \tau $
e puoi determinare l'aumento di vita del muone nel riferimento dell'elettrone . Devi solo mettere i numeri, attento alle unità.
Eventuali chiarimenti , forse domani sera.
1) È sbagliato. Il fotone non ha massa , però ha sicuramente energia. L'energia di un fotone (si indica il fotone con $\gamma$ ) è data da $h\nu$ , e si può anche scrivere : $pc = h\nu$ , il che permette di definire la quantità di moto di un fotone come $p= (h\nu)/c$ . il 4-impulso per il fotone si scrive $ P_\gamma = ( pc, pc )$ , le due componenti, temporale e spaziale, sono uguali, infatti deve essere $P_\gamma^2 = 0 $ .
Nel decadimento del muone, si conservano l'energia totale e la quantità di moto totale , cioè il 4-impulso totale.
L'energia totale iniziale è quella di riposo del muone : $E_\mu = m_\muc^2$
Essendo il muone a riposo, le due quantità di moto spaziali dell'elettrone e del fotone prodotti nel decadimento devono essere uguali e opposte, come vettori , quindi i moduli sono uguali :$p_e = p_\gamma = p $
LA conservazione dell'energia si scrive allora : $E_\mu = E_e + E_\gamma$ , da cui :
$ m_\muc^2 = sqrt((m_ec^2)^2 + (pc)^2) + pc $
dove la radice è l'energia totale dell'elettrone, il termine finale $pc$ è l'energia del fotone.
Risolvendo, si trova l'energia del fotone : $pc = ((m_\mu^2 -m_e^2)c^2)/(2m_\mu) $
Trovata questa , trovi per differenza l'energia totale $E_e$ dell'elettrone .
2) nota l' energia totale dell'elettrone $E_e$ , ti basta dividerla per $m_ec^2$ , poichè $E_e = \gammam_ec^2$ , e ottieni il fattore $\gamma$ di Lorentz, da cui la velocità relativa dell'elettrone rispetto al muone. Questa é uguale in modulo alla velocità relativa del muone, visto nel rif. di quiete dell'elettrone . Allora :
$\Delta t = \gamma\Delta \tau $
e puoi determinare l'aumento di vita del muone nel riferimento dell'elettrone . Devi solo mettere i numeri, attento alle unità.
Eventuali chiarimenti , forse domani sera.
Ancora una volta, Shackle, getti luce sul mio cammino! 
Ho però ancora dei dubbi:
- l'energia $pc$ del fotone a me viene con il segno opposto al numeratore
- le energie che calcoliamo al punto uno non vanno convertite nel sistema di riferimento del laboratorio? Oppure è proprio il muone stesso, a riposo, ad esserlo?
Fondamentale è stato capire che $p = |p_(e)|=|p_(f)|$, in quanto i relativi vettori sono uguali ed opposti.
Grazie mille!
Ho però ancora dei dubbi:
- l'energia $pc$ del fotone a me viene con il segno opposto al numeratore
- le energie che calcoliamo al punto uno non vanno convertite nel sistema di riferimento del laboratorio? Oppure è proprio il muone stesso, a riposo, ad esserlo?
Fondamentale è stato capire che $p = |p_(e)|=|p_(f)|$, in quanto i relativi vettori sono uguali ed opposti.
Grazie mille!
"Henry!":
Ho però ancora dei dubbi:
- l'energia $pc$ del fotone a me viene con il segno opposto al numeratore
No, ho ricontrollato la soluzione che ti ho dato :
"Shackle":
........
LA conservazione dell'energia si scrive allora : $ E_\mu = E_e + E_\gamma $ , da cui :
$ m_\muc^2 = sqrt((m_ec^2)^2 + (pc)^2) + pc $
dove la radice è l'energia totale dell'elettrone, il termine finale $ pc $ è l'energia del fotone.
Risolvendo, si trova l'energia del fotone : $ pc = ((m_\mu^2 -m_e^2)c^2)/(2m_\mu) $
e mi risulta corretta. Per risolvere l' equazione , isola la radice quadrata , sicché :
$ sqrt((m_ec^2)^2 +(pc)^2) =m_\muc^2 - (pc) $
ed eleva al quadrato entrambi i membri :
$ (m_ec^2)^2 +(pc)^2 =[ m_\muc^2 - (pc)]^2 $
alla fine , ottieni l'energia, come già riportato :
$ pc = ((m_\mu^2 -m_e^2)c^2)/(2m_\mu) $
questa rappresenta sia l'energia del fotone che la quota di energia dell'elettrone dovuta la moto , come si vede dall'espressione dell'energia totale per una particella di massa $m_e$ :
$E_e^2 = (m_ec^2)^2 + (p_ec)^2 $
le energie che calcoliamo al punto uno non vanno convertite nel sistema di riferimento del laboratorio? Oppure è proprio il muone stesso, a riposo, ad esserlo?
Esatto, il muone prima di decadere è in quiete nel laboratorio, quindi il suo riferimento e quello del laboratorio coincidono, non devi fare alcuna trasformazione di coordinate.
Faccio qualche osservazione :
1) Il fatto che la quantità di moto del fotone sia uguale alla sua energia (a meno di un fattore $c$) , si ricava dall'espressione dell'energia relativistica di una particella materiale qualsiasi ( che do per scontata, non è questa la sede per ricavare tale formula), che ripeto :
$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2 $ , ponendo semplicemente $m=0$ poiché il fotone ha massa nulla; quindi : $E = pc$
perciò il 4-impulso del fotone ha le componenti uguali : $P_\gamma = (pc, pc) $ , e la pseudo-norma è nulla : $(pc)^2 - (pc)^2 = 0 $ . Infatti, essendo la linea luce una geodetica nulla, un 4-vettore giacente su tale linea deve avere pseudo-norma nulla.
2) per l'elettrone, la quantità di moto $p$ che compare in $ (pc)$ è comunque una quantità di moto relativistica; perciò, si può dire anche che :
$p = \gammam_ev = m_e v/(sqrt( 1-(v/c)^2) ) $
e quindi si potrebbe ricavare la velocità anche da qui , ma è più complicato. Meglio servirsi della energia totale $E_e = \gammam_ec^2$ , dove l'incognita è $\gamma$, avendo calcolato $E_e = E_\mu - (pc)$ , come prima detto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo