Relatività ristretta (primo esercizietto semplice)
Ciao ragazzi,
mi sono già incasinato su esercizio da scuole superiori di relatività. Mi accorgo di doverci proprio prendere la mano.
In sosranza mi si chiede dato un sistema S e la navicella N che gli si avvicina, quanto sia la velocità di avvicinamento, sapendo che: S emette un flash ogni secondo e N riceve 2 flash ogni secondo (chiamando S e N i due sistemi di riferimento).
La mia idea era sfruttare un effetto doppler relativistico con la nota formula: $T_N=sqrt((1+B)/(1-B))*T_S$ (B negativo dato che si avvicina), il punto è che questo mi permette di trovare il tempo della distanza tra i due flash, visto nella navicella dagli astronauti.
Ora la parte che mi incasina:
Il processo è stato dricondurmi alle unità di misura che mi servono: 1/tempo, quindi: $1/T_N=sqrt((1-B)/(1+B))*1/T_S$
da questo poi ho moltiplicato ambo i membri per $1_(\flash)$ cioè:
$(1_(\flash))/T_N=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/T_S$
Avndo il dato che TS=1 secondo, a secondo membro si ha: $sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/1_S$
D'altra parte ciò che sta a primo membro è la frazione che deve mantenersi costante se mettessi nell'unità di tempo 1 secondo: $(1_(\flash))/T_N=(x_(\flash))/(1 \secondo)$
Così avrei: $(x_(\flash))/(1s)=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/(1s)$
Tuttavia ho anche il dato $(x_(\flash))=2$ perché so che ne vede 2, quindi concludendo:
$(2_(\flash))/(1s)=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/(1s)$
e da B ricavo il v sapendo che $B=v/c$.
Parrebbe giusto, ma non mi convince molto, che ne pensate?
Many thanks
mi sono già incasinato su esercizio da scuole superiori di relatività. Mi accorgo di doverci proprio prendere la mano.
In sosranza mi si chiede dato un sistema S e la navicella N che gli si avvicina, quanto sia la velocità di avvicinamento, sapendo che: S emette un flash ogni secondo e N riceve 2 flash ogni secondo (chiamando S e N i due sistemi di riferimento).
La mia idea era sfruttare un effetto doppler relativistico con la nota formula: $T_N=sqrt((1+B)/(1-B))*T_S$ (B negativo dato che si avvicina), il punto è che questo mi permette di trovare il tempo della distanza tra i due flash, visto nella navicella dagli astronauti.
Ora la parte che mi incasina:
Il processo è stato dricondurmi alle unità di misura che mi servono: 1/tempo, quindi: $1/T_N=sqrt((1-B)/(1+B))*1/T_S$
da questo poi ho moltiplicato ambo i membri per $1_(\flash)$ cioè:
$(1_(\flash))/T_N=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/T_S$
Avndo il dato che TS=1 secondo, a secondo membro si ha: $sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/1_S$
D'altra parte ciò che sta a primo membro è la frazione che deve mantenersi costante se mettessi nell'unità di tempo 1 secondo: $(1_(\flash))/T_N=(x_(\flash))/(1 \secondo)$
Così avrei: $(x_(\flash))/(1s)=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/(1s)$
Tuttavia ho anche il dato $(x_(\flash))=2$ perché so che ne vede 2, quindi concludendo:
$(2_(\flash))/(1s)=sqrt((1-B)/(1+B))*(1_(\flash))/(1s)$
e da B ricavo il v sapendo che $B=v/c$.
Parrebbe giusto, ma non mi convince molto, che ne pensate?
Many thanks
Risposte
Modifico la risposta precedente perchè ho scritto delle imprecisioni.
Il numero $beta = v/c$ è positivo, in quanto rapporto tra moduli di velocità.
L'effetto Doppler relativistico dice in sostanza questo :
Se una sorgente luminosa $S$ emette impulsi luminosi a intervalli temporali $T_S$ , questi impulsi vengono ricevuti da un ricevitore $N$, in moto rispetto alla sorgente, a intervalli temporali :
$T_N = sqrt ((1+beta)/(1-beta)) *T_S $
questa formula è valida se il ricevitore si allontana, infatti l'intervallo di ricezione, da parte di N, tra un impulso e il successivo è maggiore rispetto all'emissione a causa dell’ allontanamento , e risulta $T_N>T_S $ in quanto la radice è > 1.
Se il ricevitore si avvicina. gli impulsi sono ricevuti con maggior frequenza rispetto all’ emissione, e risulta :
$T_N = sqrt ((1-beta)/(1+beta)) *T_S $
e questo significa che l'intervallo di ricezione, da parte di N, è più piccolo rispetto a quello di emissione ; dalla formula si ha $T_N
A queste formule si arriva considerando l'effetto Doppler classico con la correzione del fattore $gamma =(1-beta^2)^(-1/2)$ applicata al tempo dell'orologio in moto , che rispetto al tempo della sorgente ferma scorre più lentamente, sia in allontanamento che in avvicinamento . Se occorre, parliamo anche di questo. In verità, si tratta l’effetto Doppler parlando di frequenze, ma la frequenza F è l’inverso del Periodo T , e il periodo è proporzionale alla lunghezza d’onda : $ lambda =cT$ ; nel Doppler di onde em non occorre precisare chi si muove rispetto all’aria come nel caso delle onde sonore.
Nel caso in esame , essendo N in avvicinamento ad S, si ha che :
questo significa che $T_S = 1s$ (intervallo temporale tra due flash successivi emessi da S )
e : $T_N = 0.5s $ (intervallo temporale tra due flash successivi ricevuti da N )
Quindi si ha : $0.5s = sqrt ((1-beta)/(1+beta)) *1s$ ( la formula è quella per l'avvicinamento) .
Sviluppando, si ha : $ 0.25 = (1-beta)/(1+beta) \rarr =...= (0.25+1)beta = 1- 0.25 rarr beta = (0.75) /(1.25) = 0.6 $
La tua formula finale porterebbe a un $beta<0$ , infatti sarebbe :
$4 = (1-beta)/(1+beta) rarr 4 +4beta = 1 -beta rarr 5beta = -3 rarr beta = -3/5$
ma noi vogliamo che sia $beta>0$ , il segno + oppure - lo scriviamo nella quantità sotto radice al numeratore , mettendo il segno opposto al denominatore. È il segno che indica l'operazione di somma o di differenza, non è il segno di $beta$ .
Il numero $beta = v/c$ è positivo, in quanto rapporto tra moduli di velocità.
L'effetto Doppler relativistico dice in sostanza questo :
Se una sorgente luminosa $S$ emette impulsi luminosi a intervalli temporali $T_S$ , questi impulsi vengono ricevuti da un ricevitore $N$, in moto rispetto alla sorgente, a intervalli temporali :
$T_N = sqrt ((1+beta)/(1-beta)) *T_S $
questa formula è valida se il ricevitore si allontana, infatti l'intervallo di ricezione, da parte di N, tra un impulso e il successivo è maggiore rispetto all'emissione a causa dell’ allontanamento , e risulta $T_N>T_S $ in quanto la radice è > 1.
Se il ricevitore si avvicina. gli impulsi sono ricevuti con maggior frequenza rispetto all’ emissione, e risulta :
$T_N = sqrt ((1-beta)/(1+beta)) *T_S $
e questo significa che l'intervallo di ricezione, da parte di N, è più piccolo rispetto a quello di emissione ; dalla formula si ha $T_N
A queste formule si arriva considerando l'effetto Doppler classico con la correzione del fattore $gamma =(1-beta^2)^(-1/2)$ applicata al tempo dell'orologio in moto , che rispetto al tempo della sorgente ferma scorre più lentamente, sia in allontanamento che in avvicinamento . Se occorre, parliamo anche di questo. In verità, si tratta l’effetto Doppler parlando di frequenze, ma la frequenza F è l’inverso del Periodo T , e il periodo è proporzionale alla lunghezza d’onda : $ lambda =cT$ ; nel Doppler di onde em non occorre precisare chi si muove rispetto all’aria come nel caso delle onde sonore.
Nel caso in esame , essendo N in avvicinamento ad S, si ha che :
S emette un flash ogni secondo e N riceve 2 flash ogni secondo
questo significa che $T_S = 1s$ (intervallo temporale tra due flash successivi emessi da S )
e : $T_N = 0.5s $ (intervallo temporale tra due flash successivi ricevuti da N )
Quindi si ha : $0.5s = sqrt ((1-beta)/(1+beta)) *1s$ ( la formula è quella per l'avvicinamento) .
Sviluppando, si ha : $ 0.25 = (1-beta)/(1+beta) \rarr =...= (0.25+1)beta = 1- 0.25 rarr beta = (0.75) /(1.25) = 0.6 $
La tua formula finale porterebbe a un $beta<0$ , infatti sarebbe :
$4 = (1-beta)/(1+beta) rarr 4 +4beta = 1 -beta rarr 5beta = -3 rarr beta = -3/5$
ma noi vogliamo che sia $beta>0$ , il segno + oppure - lo scriviamo nella quantità sotto radice al numeratore , mettendo il segno opposto al denominatore. È il segno che indica l'operazione di somma o di differenza, non è il segno di $beta$ .
Ciao, grazie mille per larisposta.
Il punto è che le mie dispense preferiscono tenere il segno tale e quale e far variare beta come valore positivoo negativo a seconda del fatto che si sia in avvicinamento o allontanamento.In fin dei conti cambia poco, perché il tutto si traduce nel cambio di segno, anziché intrinsecamente nella formula e tenendo il beta sempre positivo.
Passando alla risoluzione, da quanto ho capito mi suggerisci di tenere fisso non tanto l'intervallo temporale quanto l'evento (un flash) per entrambe le situazioni e da lì ricavare quanto è variato l'intervallo temporale.
Poi certo, da lì in posi è chiarissimo, sono passaggi algebrici. Era questo passaggio logico che non avevo considerato.
Il punto è che le mie dispense preferiscono tenere il segno tale e quale e far variare beta come valore positivoo negativo a seconda del fatto che si sia in avvicinamento o allontanamento.In fin dei conti cambia poco, perché il tutto si traduce nel cambio di segno, anziché intrinsecamente nella formula e tenendo il beta sempre positivo.
Passando alla risoluzione, da quanto ho capito mi suggerisci di tenere fisso non tanto l'intervallo temporale quanto l'evento (un flash) per entrambe le situazioni e da lì ricavare quanto è variato l'intervallo temporale.
Poi certo, da lì in posi è chiarissimo, sono passaggi algebrici. Era questo passaggio logico che non avevo considerato.
Si, ho visto anch'io dei testi dove si preferisce lasciare il segno dell'operazione tal quale , e considerare $beta$ come numero relativo . Ma da un punto di vista fisico non mi sembra avere tanto senso . Ad ogni modo , segui pure le tue dispense , ci mancherebbe altro!
Per quanto concerne i flash , ovvero gli impulsi luminosi , come preferisco chiamarli io, tieni presente che il numero di impulsi al secondo $N_(imp)/s$ non è altro che una frequenza . Maggiore è la frequenza , minore è la distanza temporale tra un impulso e il successivo. Immagina che la sorgente emetta onde elettromagnetiche di una data frequenza : puoi considerare le creste di tali onde come impulsi distanziati del tempo $T$ , periodo dell'onda.
Per quanto concerne i flash , ovvero gli impulsi luminosi , come preferisco chiamarli io, tieni presente che il numero di impulsi al secondo $N_(imp)/s$ non è altro che una frequenza . Maggiore è la frequenza , minore è la distanza temporale tra un impulso e il successivo. Immagina che la sorgente emetta onde elettromagnetiche di una data frequenza : puoi considerare le creste di tali onde come impulsi distanziati del tempo $T$ , periodo dell'onda.
Molto gentile
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