Relatività : orologio a luce
Ogni tanto arriva qualcuno che ha idee poco chiare sull’orologio a luce, e su quello che esso dimostra. Ho fatto delle ricerche , e ho trovato questi messaggi, dove il funzionamento è spiegato con chiarezza e le conclusioni sono corrette:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 96#p889096
mancano i disegni sotto spoiler, è vero; ma in sostanza si tratta di uno specchio F messo in alto, disposto in senso orizzontale , e di un Emettitore/Trasmettitore M (mobile) in basso, che emette fotoni verso lo specchio e li raccoglie dopo che sono stati riflessi da F. Era più o meno cosi :
Per visualizzare il sistema, è utile fare riferimento alle due dispense messe come link nel 2º messaggio sullo stesso argomento , questo .
i due link alle dispense sono questi :
http://www2.ing.unipi.it/~a004361/FISIC ... %20III.pdf
http://www.batmath.it/fisica/a_relativita/spaz_temp.htm
e giacche ci sono, metto anche il terzo thread della serie, da cui si vede come si possono ricavare le trasformazioni di Lorentz:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 68#p892668
È importante osservare che entrambi gli assi, verticale e orizzontale, sono assi spaziali; in entrambi i riferimenti, quello di F e quello di M, la velocità della luce è sempre la stessa. Come risultato finale:
$Deltat_F =\ gamma Delta t_M$, in cui $\gamma>1$
come si ricava applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo della prima figura.
Questo fatto si trova spesso descritto, in libri divulgativi , con la frase “ nel riferimento in moto il tempo scorre più lentamente” , oppure “il tempo di un orologio in moto si dilata “., che non è del tutto esatta.
In questa immagine c’é una versione leggermente diversa della figura, ma la conclusione è la stessa :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 96#p889096
mancano i disegni sotto spoiler, è vero; ma in sostanza si tratta di uno specchio F messo in alto, disposto in senso orizzontale , e di un Emettitore/Trasmettitore M (mobile) in basso, che emette fotoni verso lo specchio e li raccoglie dopo che sono stati riflessi da F. Era più o meno cosi :
Per visualizzare il sistema, è utile fare riferimento alle due dispense messe come link nel 2º messaggio sullo stesso argomento , questo .
i due link alle dispense sono questi :
http://www2.ing.unipi.it/~a004361/FISIC ... %20III.pdf
http://www.batmath.it/fisica/a_relativita/spaz_temp.htm
e giacche ci sono, metto anche il terzo thread della serie, da cui si vede come si possono ricavare le trasformazioni di Lorentz:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 68#p892668
È importante osservare che entrambi gli assi, verticale e orizzontale, sono assi spaziali; in entrambi i riferimenti, quello di F e quello di M, la velocità della luce è sempre la stessa. Come risultato finale:
$Deltat_F =\ gamma Delta t_M$, in cui $\gamma>1$
come si ricava applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo della prima figura.
Questo fatto si trova spesso descritto, in libri divulgativi , con la frase “ nel riferimento in moto il tempo scorre più lentamente” , oppure “il tempo di un orologio in moto si dilata “., che non è del tutto esatta.
In questa immagine c’é una versione leggermente diversa della figura, ma la conclusione è la stessa :
Risposte
"Shackle":
Ogni tanto arriva qualcuno che ha idee poco chiare sull’orologio a luce..
Immagino che quel tuo qualcuno sia proprio io.
Allora ti dico che la mia animazione
https://www.geogebra.org/m/undgqdaa
riguarda proprio due orologi a luce, il primo sul treno A fermo sui binari (riferimento K) e il secondo sul treno B (riferimento K') in avvicinamento sul binario parallelo alla velocità v=0,866c (gamma=2).
L'ipotesi (unica) è che i due fotoni (F del treno A ed F2 del treno B) salendo verso l'alto (verticalmente nel proprio spazio) s'incontrano nel punto C, al tempo t=6,9282 e nella posizione x=6,9282 e y=4 di entrambi i riferimenti (evento E2).
Il fotone F era partito al tempo (di K) t=2,9282 (-4 rispetto all'evento E1) e il fotone F2 era partito non so quando e non so da dove.
Però, conoscendo la velocità relativa di K' rispetto a K e la posizione spaziotemporale dell'evento E2, si dovrebbe poter risalire all'evento E1 (partenza/riflessione del fotone F2 dal pavimento del treno B).
Tu sei in grado di farmi sapere le coordinate spaziotemporali dell'evento E1 nei due riferimenti K e K'?
"LuigiFortunati":
Immagino che quel tuo qualcuno sia proprio io.
No, sei in buona compagnia
Ho trovato una animazione carina su questo argomento, eccola:
https://galileoandeinstein.phys.virgini ... /home.html
Innanzitutto, entrambi gli assi, verticale e orizzontale, rappresentano “spazi” , questo non è un diagramma di Minkowski in cui su un asse c’è lo spazio e sull’altro c’è il tempo.
L’osservatore di Sinistra Jack è considerato “fermo” in questo sistema di assi, e lancia monotonamente il suo fotone verso l’alto, con velocità $c$ , fino a che incontra lo specchio e viene riflesso.
Invece l’osservatore di destra Jill si può spostare in orizzontale, con velocità variabile; per variare la velocità di Jill occorre muovere il cursore sulla barra bianca, più lo si sposta a destra e maggiore diventa la velocità di traslazione di Jill , come frazione di $c$.
A sinistra in basso ci sono tre pulsanti: se si mette la spunta a quello più a destra “trace”, si vedranno le tracce dei fotoni, quello di Jack e quello emesso da Jill , che sale verso lo specchio con direzione obliqua ; è l’ipotenusa del triangolo rettangolo di cui prima detto, percorsa dal fotone con velocità $c$ , che è tanto più lunga quanto più grande è la velocità di Jill. Il pulsante centrale con le freccine tonde incrociate resetta l’animazione. Il pulsante verde di Sn é start/stop ovviamente.
Guardate come variano i tempi segnati dai due contatori in alto a Sn. Il tempo di Jill “scorre più lentamente” rispetto a quello di Jack. Per $v/c$ molto alto, il fotone emesso da Jack, va più volte su e giù , mentre quello emesso da Jill esegue un solo tragitto, fino allo specchio e ritorno. Qui si arresta l’animazione. Il tempo di cui è avanzato l’orologio di Jack è sempre maggiore di quello dell’orologio di Jill.
@Luigi
nella tua animazione, hai messo i tempi sull’asse orizzontale e le distanze su quello verticale, ma nell’orologio a luce i due assi sono entrambi lunghezze : su quello verticale c’è l’altezza dei treni, su quello orizzontale c’è la distanza percorsa dall’emettitore/ricevitore Mobile M ; sarebbe la distanza percorsa da Jill nella animazione da me riportata. Come fai a dire che i due fotoni si incontrano in C ( evento che hai chiamato $E_2$ ) dopo uno stesso tempo di 6.9282 ? Tempo di chi ? Lo scopo dell’orologio a luce è quello di dimostrare che i tempi di Jack e di Jill sono diversi , quello di Jack supera sempre quello di Jill , guarda l’animazione che ho linkato. Quel numero che hai messo come cateto orizzontale $F_2F$ ( ma l’ ipotenusa e il cateto verticale sono “spazi” , come fa a venire fuori un “Tempo”? ) dovrebbe rappresentare lo stesso tempo per i due fotoni? infatti si ha :
$ sqrt ( 8^2 - 4^2) = sqrt (48) = 6.9282$
però non so che cosa voglia dire. LA velocità della luce è sempre $c$ , come è possibile che due distanze diverse , 8 e 4, vengano percorse dalla luce nello stesso tempo ? Vuol dire che la velocità della luce è diversa ? É evidente dalla tua animazione che la pallina che percorre la diagonale (=8) ha una velocità doppia di quella che percorre il cateto verticale (=4) , visto che li fai arrivare insieme all’appuntamento!
Chiarisci dapprima la situazione che hai rappresentato, e modifica l’animazione come necessario.
https://galileoandeinstein.phys.virgini ... /home.html
Innanzitutto, entrambi gli assi, verticale e orizzontale, rappresentano “spazi” , questo non è un diagramma di Minkowski in cui su un asse c’è lo spazio e sull’altro c’è il tempo.
L’osservatore di Sinistra Jack è considerato “fermo” in questo sistema di assi, e lancia monotonamente il suo fotone verso l’alto, con velocità $c$ , fino a che incontra lo specchio e viene riflesso.
Invece l’osservatore di destra Jill si può spostare in orizzontale, con velocità variabile; per variare la velocità di Jill occorre muovere il cursore sulla barra bianca, più lo si sposta a destra e maggiore diventa la velocità di traslazione di Jill , come frazione di $c$.
A sinistra in basso ci sono tre pulsanti: se si mette la spunta a quello più a destra “trace”, si vedranno le tracce dei fotoni, quello di Jack e quello emesso da Jill , che sale verso lo specchio con direzione obliqua ; è l’ipotenusa del triangolo rettangolo di cui prima detto, percorsa dal fotone con velocità $c$ , che è tanto più lunga quanto più grande è la velocità di Jill. Il pulsante centrale con le freccine tonde incrociate resetta l’animazione. Il pulsante verde di Sn é start/stop ovviamente.
Guardate come variano i tempi segnati dai due contatori in alto a Sn. Il tempo di Jill “scorre più lentamente” rispetto a quello di Jack. Per $v/c$ molto alto, il fotone emesso da Jack, va più volte su e giù , mentre quello emesso da Jill esegue un solo tragitto, fino allo specchio e ritorno. Qui si arresta l’animazione. Il tempo di cui è avanzato l’orologio di Jack è sempre maggiore di quello dell’orologio di Jill.
@Luigi
nella tua animazione, hai messo i tempi sull’asse orizzontale e le distanze su quello verticale, ma nell’orologio a luce i due assi sono entrambi lunghezze : su quello verticale c’è l’altezza dei treni, su quello orizzontale c’è la distanza percorsa dall’emettitore/ricevitore Mobile M ; sarebbe la distanza percorsa da Jill nella animazione da me riportata. Come fai a dire che i due fotoni si incontrano in C ( evento che hai chiamato $E_2$ ) dopo uno stesso tempo di 6.9282 ? Tempo di chi ? Lo scopo dell’orologio a luce è quello di dimostrare che i tempi di Jack e di Jill sono diversi , quello di Jack supera sempre quello di Jill , guarda l’animazione che ho linkato. Quel numero che hai messo come cateto orizzontale $F_2F$ ( ma l’ ipotenusa e il cateto verticale sono “spazi” , come fa a venire fuori un “Tempo”? ) dovrebbe rappresentare lo stesso tempo per i due fotoni? infatti si ha :
$ sqrt ( 8^2 - 4^2) = sqrt (48) = 6.9282$
però non so che cosa voglia dire. LA velocità della luce è sempre $c$ , come è possibile che due distanze diverse , 8 e 4, vengano percorse dalla luce nello stesso tempo ? Vuol dire che la velocità della luce è diversa ? É evidente dalla tua animazione che la pallina che percorre la diagonale (=8) ha una velocità doppia di quella che percorre il cateto verticale (=4) , visto che li fai arrivare insieme all’appuntamento!
Chiarisci dapprima la situazione che hai rappresentato, e modifica l’animazione come necessario.
Per risponderti mi ci vuole del tempo ma lo farò con tutti i dettagli del caso.
"Shackle":
Chiarisci dapprima la situazione che hai rappresentato, e modifica l’animazione come necessario.
Accetto il suggerimento e ho già provveduto.
"Shackle":
Ho trovato una animazione carina su questo argomento, eccola:
https://galileoandeinstein.phys.virgini ... /home.html
Mi sono ispirato a quest'animazione che mi hai segnalato e l'ho rifatta a modo mio ma con gli stessi criteri.
Ho solo fatto passare Jill davanti a Jack alla velocità di 0,866C (l'unica che m'interessa).
Adesso va bene, giusto?
Però, quando Jack e Jill sono l'uno di fronte all'altro, i due fotoni non si incontrano e io vorrei tanto che anche loro s'incontrassero (sono un inguaribile romantico!).
Poiché Jack fa partire il suo fotone al tempo t=2,9282, sappiamo che arriverà in C (in alto) al tempo (suo) t=6.9282 (il tempo dell'orologio di Jack è visualizzato nell'apposito riquadro).
Perché il fotone di Jill arrivi in C contemporaneamente a quello di Jack, a quale tempo di Jack, Jill deve far partire il suo fotone per non mancare all'appuntamento?
Mi sembra la prima animazione, che è successo? Oggi avevo intravisto la seconda, ma ora non la vedo piu, c’è stato qualche cambio non voluto?
Scusami, ho incasinato tutto e ho sovrascritto il salvataggio perdendo il lavoro fatto.
Ho recuperato qualcosa e l'ho aggiornato velocemente sperando di non aver trascurato niente.
L'animazione è questa
https://www.geogebra.org/m/v5c7bbed (Jack e Jill 2)
Ho recuperato qualcosa e l'ho aggiornato velocemente sperando di non aver trascurato niente.
L'animazione è questa
https://www.geogebra.org/m/v5c7bbed (Jack e Jill 2)
Ok questa è quella che avevo visto oggi, senz’altro migliore della prima.
Posso dire questo. Nella descrizione dell’orologio a luce, di solito si considera un treno, nel quale l’emettitore/ricevitore è uno solo, M , posizionato sul pavimento, che spara un fotone verso lo specchio posto al soffitto del treno. Il fotone sale e scende, nel tempo (andata più ritorno) pari a : $Deltat_M = (2H)/c$. Non c’è una seconda sorgente di fotoni. [nota]noi parliamo di fotoni come se fossero particelle, in realtà si tratta di una onda e.m. ; tuttavia in questa questione dell’orologio a luce va bene supporre che si tratti di una particella, come una pallina ma di massa nulla, per semplificare la spiegazione.[/nota]
L’osservatore fisso a terra , F , rispetto al quale il treno viaggia con velocità $v=kc$ ( con k<1) , vede il tragitto compiuto dal fotone nel treno, che ha velocità $c$ anche per lui, di lunghezza maggiore rispetto ad H ; e se la velocitá aumenta, aumenta pure la lunghezza di questo tragitto, cioè l’ipotenusa del triangolo rettangolo; piu grande è $k= v/c$ piu tempo impiega il fotone, secondo F , a raggiungere di nuovo l’emettitore/ricevitore M dopo la riflessione in alto. Ecco quindi che deve essere $Deltat_F>Deltat_M$ , infatti dal calcolo risulta $ Deltat_F= \gamma Deltat_M$.
L’animazione che ho trovato io, dell’Università della Virginia, riporta due emettitori, Jack fisso e Jill mobile, ma bisogna capire che lo fa per far notare la differenza tra quello che avviene nel riferimento del treno (Jack) e quello che avviene invece nel riferimento della banchina (Jill) , rispetto al quale è Jack che passa davanti all’osservatore fisso a terra, con velocità $v=kc$ come detto. [nota]forse é opportuno fare una precisazione: nella animazione si leggono i due contatori, di Jack e di Jill, che accumulano tempi diversi, e risulta alla fine che quello di Jack è maggiore di quello di Jill, apparentemente in contrasto che per l’osservatore nel treno "il tempo scorre piu lentamente” di quello a terra. Ma non c’è contrasto! Se si limita il tragitto rispetto a Jack ad un solo viaggio Andata+Ritorno con una velocità qualsiasi ( basta stoppare l’animazione quando il fotone andato su in verticale torna giù sempre in verticale) , si nota che il fotone di Jill non ha ancora completato il percorso.[/nota]
Nella realtà , ripeto, non ci sono quindi due fotoni, ma si tratta dello stesso fotone visto da due osservatori diversi.
Perciò, non ha senso chiedersi quando parte l’uno rispetto a quando parte l’altro! Per dirla in maniera molto grezza : se si vuole pensare a due “particelle’ diverse, si deve dire che “partono insieme” . Però non "arriveranno insieme” , all’ apparecchio em./ric. di M per una velocità qualsiasi. E non potranno essere contemporaneamente presenti nello stesso punto del treno [nota]meglio non essere romantici quando si studia fisica![/nota]per lo stesso motivo: si “muovono" in maniera diversa nello spaziotempo; pur avendo la stessa velocità $c$ in entrambi i riferimenti , devono percorre spazi diversi! Sono stato molto semplicistico ( per non dire grossolano...) nello scrivere questo, ma penso sia il modo più efficace di far comprendere come stanno le cose. SE si fanno arrivare insieme, visto che sono partiti insieme, si commette l’errore di supporre che la luce abbia velocità diverse, perché i cammini sono di diversa lunghezza. Visto dall' osservatore a terra , l’ipotenusa è più lunga del cateto verticale.
A questo punto, puoi pure mettere l’inizio del contatore di Jack a zero, nella tua animazione. Si nota che mentre il fotone di Jill compie un solo percorso ( somma delle due ipotenuse ) , quello di Jack compie esattamente 4 tragitti, cioè due volte A+R. Anche l’animazione che ho messo io, con $v/c =\approx 0.866$ , si verifica questo , poiché $gamma=2$ . Si nota che , dopo il primo percorso A+R del fotone di Jack, quello di Jill ha appena compiuto metà tragitto, cioè un sola diagonale. LA distanza orizzontale tra il punto in cui parte Jill e il punto in cu is trova Jack, l’hai già messa tu , visto che l’altezza vale $4$ , e conosci $v/c$ .
Dopo un altro percorso A+R di Jack, Jill torna pure esso nel ricevitore. (indico il fotone col nome di chi lo emette)
È curioso questo fatto? No, è la relatività, bellezza!
Posso dire questo. Nella descrizione dell’orologio a luce, di solito si considera un treno, nel quale l’emettitore/ricevitore è uno solo, M , posizionato sul pavimento, che spara un fotone verso lo specchio posto al soffitto del treno. Il fotone sale e scende, nel tempo (andata più ritorno) pari a : $Deltat_M = (2H)/c$. Non c’è una seconda sorgente di fotoni. [nota]noi parliamo di fotoni come se fossero particelle, in realtà si tratta di una onda e.m. ; tuttavia in questa questione dell’orologio a luce va bene supporre che si tratti di una particella, come una pallina ma di massa nulla, per semplificare la spiegazione.[/nota]
L’osservatore fisso a terra , F , rispetto al quale il treno viaggia con velocità $v=kc$ ( con k<1) , vede il tragitto compiuto dal fotone nel treno, che ha velocità $c$ anche per lui, di lunghezza maggiore rispetto ad H ; e se la velocitá aumenta, aumenta pure la lunghezza di questo tragitto, cioè l’ipotenusa del triangolo rettangolo; piu grande è $k= v/c$ piu tempo impiega il fotone, secondo F , a raggiungere di nuovo l’emettitore/ricevitore M dopo la riflessione in alto. Ecco quindi che deve essere $Deltat_F>Deltat_M$ , infatti dal calcolo risulta $ Deltat_F= \gamma Deltat_M$.
L’animazione che ho trovato io, dell’Università della Virginia, riporta due emettitori, Jack fisso e Jill mobile, ma bisogna capire che lo fa per far notare la differenza tra quello che avviene nel riferimento del treno (Jack) e quello che avviene invece nel riferimento della banchina (Jill) , rispetto al quale è Jack che passa davanti all’osservatore fisso a terra, con velocità $v=kc$ come detto. [nota]forse é opportuno fare una precisazione: nella animazione si leggono i due contatori, di Jack e di Jill, che accumulano tempi diversi, e risulta alla fine che quello di Jack è maggiore di quello di Jill, apparentemente in contrasto che per l’osservatore nel treno "il tempo scorre piu lentamente” di quello a terra. Ma non c’è contrasto! Se si limita il tragitto rispetto a Jack ad un solo viaggio Andata+Ritorno con una velocità qualsiasi ( basta stoppare l’animazione quando il fotone andato su in verticale torna giù sempre in verticale) , si nota che il fotone di Jill non ha ancora completato il percorso.[/nota]
Nella realtà , ripeto, non ci sono quindi due fotoni, ma si tratta dello stesso fotone visto da due osservatori diversi.
Perciò, non ha senso chiedersi quando parte l’uno rispetto a quando parte l’altro! Per dirla in maniera molto grezza : se si vuole pensare a due “particelle’ diverse, si deve dire che “partono insieme” . Però non "arriveranno insieme” , all’ apparecchio em./ric. di M per una velocità qualsiasi. E non potranno essere contemporaneamente presenti nello stesso punto del treno [nota]meglio non essere romantici quando si studia fisica![/nota]per lo stesso motivo: si “muovono" in maniera diversa nello spaziotempo; pur avendo la stessa velocità $c$ in entrambi i riferimenti , devono percorre spazi diversi! Sono stato molto semplicistico ( per non dire grossolano...) nello scrivere questo, ma penso sia il modo più efficace di far comprendere come stanno le cose. SE si fanno arrivare insieme, visto che sono partiti insieme, si commette l’errore di supporre che la luce abbia velocità diverse, perché i cammini sono di diversa lunghezza. Visto dall' osservatore a terra , l’ipotenusa è più lunga del cateto verticale.
A questo punto, puoi pure mettere l’inizio del contatore di Jack a zero, nella tua animazione. Si nota che mentre il fotone di Jill compie un solo percorso ( somma delle due ipotenuse ) , quello di Jack compie esattamente 4 tragitti, cioè due volte A+R. Anche l’animazione che ho messo io, con $v/c =\approx 0.866$ , si verifica questo , poiché $gamma=2$ . Si nota che , dopo il primo percorso A+R del fotone di Jack, quello di Jill ha appena compiuto metà tragitto, cioè un sola diagonale. LA distanza orizzontale tra il punto in cui parte Jill e il punto in cu is trova Jack, l’hai già messa tu , visto che l’altezza vale $4$ , e conosci $v/c$ .
Dopo un altro percorso A+R di Jack, Jill torna pure esso nel ricevitore. (indico il fotone col nome di chi lo emette)
È curioso questo fatto? No, è la relatività, bellezza!
"Shackle":
SE si fanno arrivare insieme, visto che sono partiti insieme, si commette l’errore di supporre che la luce abbia velocità diverse, perché i cammini sono di diversa lunghezza. Visto dall' osservatore a terra , l’ipotenusa è più lunga del cateto verticale.
Ovvio ma io avevo chiesto: se vogliamo che arrivino insieme, quando (e da dove) deve partire il fotone di Jill?
In ogni caso ho trovato la risposta: deve partire dalla posizione spaziale x=0, y=0 at tempo -4 rispetto a quella della partenza del fotone di Jack (quindi nessuna partenza simultanea).
Questa è la versione modificata per far incontrare i due fotoni di Jill e Jack:
https://www.geogebra.org/m/ke3rvse3 (Jack e Jill 3)
https://www.geogebra.org/m/ke3rvse3 (Jack e Jill 3)
Penso di sì. Contavo di fare oggi un po’ di conti, che non sono difficili. È chiaro che questo non ha a che vedere con la fisica dell’orologio a luce, in cui il fotone è unico. Qui si tratta proprio di 2 fotoni diversi.
E quando $F_(Jack)$ parte, $F_(Jill)$ non è nell’ origine degli assi spaziali.
E quando $F_(Jack)$ parte, $F_(Jill)$ non è nell’ origine degli assi spaziali.
Nel precedente post ho detto questo :
Assumo $c=1$ sicché possiamo leggere i segmenti direttamente come tempi : è una cosa che talvolta si relativisti fanno. Ho fatto lo schizzo allegato. La diagonale OB é il tempo totale di andata del fotone $F_(Jill)$ dall’origine al punto di incontro B col fotone $F_(Jack)$ . Ma perché avvenga questo incontro bisogna capire da che punto della diagonale deve partire il primo, per arrivare all’appuntamento col secondo: non certo dall’origine delle coordinate.
Allora scrivo : $t_F = t_1+t_2 \rarr t_1=t_F - t_2 $
Chiaramente il tempo $t_2 = t_M$ , affinché si abbia l’incontro. Quindi : $t_1=t_F - t_M $
dove $t_M=H= 4$ è il tempo di viaggio, sempre a velocità $c=1$ di $F_(Jack)$ dalla base A al vertice B. L’unita di misura di H non importa. possono essere metri, centimetri , secondi-luce : è una misura di distanza che però va letta come un tempo [nota]Per chiarire, 1m di tempo non è altro, in unita tradizionali, che il tempo impiegato dalla luce a percorrere 1 m di spazio[/nota] .
Dal triangolo rettangolo si ricava : $(\betat_F)^2 = t_F^2 - t_M^2 $
da cui : $t_F^2(1-\beta^2) = t_M^2 $
cioè : $ t_F^2 = (t_M^2)/(1-\beta^2) = \gamma^2 t_M^2 = 4 t_M^2$
da cui : $t_F = 2t_M = 8 $ . Questa è la diagonale OB . Ancora : $ \beta t_F = 0.866*8 = 6.9282$
Infine : $ t_1 = t_F - t_M = 4 $
Cioè $F_(Jill)$ si trova già a metà di OB , quando inizia a muoversi per incontrarsi in B con $F_(Jack)$.
Se si vuole fare partire $F_(Jill)$ dall’orignie delle coordinate, è chiaro che il suo orologio, che si sposta alla velocità della luce $c=1$ , deve essere messo indietro di un tempo pari a $-4$ . E questo si voleva dimostrare.
E quando $F_(Jack)$ parte, $F_(Jill)$ non è nell’ origine degli assi spaziali.
Assumo $c=1$ sicché possiamo leggere i segmenti direttamente come tempi : è una cosa che talvolta si relativisti fanno. Ho fatto lo schizzo allegato. La diagonale OB é il tempo totale di andata del fotone $F_(Jill)$ dall’origine al punto di incontro B col fotone $F_(Jack)$ . Ma perché avvenga questo incontro bisogna capire da che punto della diagonale deve partire il primo, per arrivare all’appuntamento col secondo: non certo dall’origine delle coordinate.
Allora scrivo : $t_F = t_1+t_2 \rarr t_1=t_F - t_2 $
Chiaramente il tempo $t_2 = t_M$ , affinché si abbia l’incontro. Quindi : $t_1=t_F - t_M $
dove $t_M=H= 4$ è il tempo di viaggio, sempre a velocità $c=1$ di $F_(Jack)$ dalla base A al vertice B. L’unita di misura di H non importa. possono essere metri, centimetri , secondi-luce : è una misura di distanza che però va letta come un tempo [nota]Per chiarire, 1m di tempo non è altro, in unita tradizionali, che il tempo impiegato dalla luce a percorrere 1 m di spazio[/nota] .
Dal triangolo rettangolo si ricava : $(\betat_F)^2 = t_F^2 - t_M^2 $
da cui : $t_F^2(1-\beta^2) = t_M^2 $
cioè : $ t_F^2 = (t_M^2)/(1-\beta^2) = \gamma^2 t_M^2 = 4 t_M^2$
da cui : $t_F = 2t_M = 8 $ . Questa è la diagonale OB . Ancora : $ \beta t_F = 0.866*8 = 6.9282$
Infine : $ t_1 = t_F - t_M = 4 $
Cioè $F_(Jill)$ si trova già a metà di OB , quando inizia a muoversi per incontrarsi in B con $F_(Jack)$.
Se si vuole fare partire $F_(Jill)$ dall’orignie delle coordinate, è chiaro che il suo orologio, che si sposta alla velocità della luce $c=1$ , deve essere messo indietro di un tempo pari a $-4$ . E questo si voleva dimostrare.
Nel precedente post ho detto questo :
Assumo $c=1$ sicché possiamo leggere i segmenti direttamente come tempi : è una cosa che talvolta si relativisti fanno. Ho fatto lo schizzo allegato. La diagonale OB é il tempo totale di andata del fotone $F_(Jill)$ dall’origine al punto di incontro B col fotone $F_(Jack)$ . Ma perché avvenga questo incontro bisogna capire da che punto della diagonale deve partire il primo, per arrivare all’appuntamento col secondo: non certo dall’origine delle coordinate.
Allora scrivo : $t_F = t_1+t_2 \rarr t_1=t_F - t_2 $
Chiaramente il tempo $t_2 = t_M$ , affinché si abbia l’incontro. Quindi : $t_1=t_F - t_M $
dove $t_M=H= 4$ è il tempo di viaggio, sempre a velocità $c=1$ di $F_(Jack)$ dalla base A al vertice B. L’unita di misura di H non importa. possono essere metri, centimetri , secondi-luce : è una misura di distanza che però va letta come un tempo [nota]Per chiarire, 1m di tempo non è altro, in unita tradizionali, che il tempo impiegato dalla luce a percorrere 1 m di spazio[/nota] .
Dal triangolo rettangolo si ricava : $(\betat_F)^2 = t_F^2 - t_M^2 $
da cui : $t_F^2(1-\beta^2) = t_M^2 $
cioè : $ t_F^2 = (t_M^2)/(1-\beta^2) = \gamma^2 t_M^2 = 4 t_M^2$
da cui : $t_F = 2t_M = 8 $ . Questa è la diagonale OB . Ancora : $ \beta t_F = 0.866*8 = 6.9282$
Infine : $ t_1 = t_F - t_M = 4 $
Cioè $F_(Jill)$ si trova già a metà di OB , quando inizia a muoversi per incontrarsi in B con $F_(Jack)$.
Se si vuole fare partire $F_(Jill)$ dall’orignie delle coordinate, è chiaro che il suo orologio, che si sposta alla velocità della luce $c=1$ , deve partire al tempo $-4$ rispetto alla partenza del fotone diJack. E questo si voleva dimostrare. Ma ripeto, questa animazione ora non ha nulla a che fare con l’orologio a luce.
E quando $F_(Jack)$ parte, $F_(Jill)$ non è nell’ origine degli assi spaziali.
Assumo $c=1$ sicché possiamo leggere i segmenti direttamente come tempi : è una cosa che talvolta si relativisti fanno. Ho fatto lo schizzo allegato. La diagonale OB é il tempo totale di andata del fotone $F_(Jill)$ dall’origine al punto di incontro B col fotone $F_(Jack)$ . Ma perché avvenga questo incontro bisogna capire da che punto della diagonale deve partire il primo, per arrivare all’appuntamento col secondo: non certo dall’origine delle coordinate.
Allora scrivo : $t_F = t_1+t_2 \rarr t_1=t_F - t_2 $
Chiaramente il tempo $t_2 = t_M$ , affinché si abbia l’incontro. Quindi : $t_1=t_F - t_M $
dove $t_M=H= 4$ è il tempo di viaggio, sempre a velocità $c=1$ di $F_(Jack)$ dalla base A al vertice B. L’unita di misura di H non importa. possono essere metri, centimetri , secondi-luce : è una misura di distanza che però va letta come un tempo [nota]Per chiarire, 1m di tempo non è altro, in unita tradizionali, che il tempo impiegato dalla luce a percorrere 1 m di spazio[/nota] .
Dal triangolo rettangolo si ricava : $(\betat_F)^2 = t_F^2 - t_M^2 $
da cui : $t_F^2(1-\beta^2) = t_M^2 $
cioè : $ t_F^2 = (t_M^2)/(1-\beta^2) = \gamma^2 t_M^2 = 4 t_M^2$
da cui : $t_F = 2t_M = 8 $ . Questa è la diagonale OB . Ancora : $ \beta t_F = 0.866*8 = 6.9282$
Infine : $ t_1 = t_F - t_M = 4 $
Cioè $F_(Jill)$ si trova già a metà di OB , quando inizia a muoversi per incontrarsi in B con $F_(Jack)$.
Se si vuole fare partire $F_(Jill)$ dall’orignie delle coordinate, è chiaro che il suo orologio, che si sposta alla velocità della luce $c=1$ , deve partire al tempo $-4$ rispetto alla partenza del fotone diJack. E questo si voleva dimostrare. Ma ripeto, questa animazione ora non ha nulla a che fare con l’orologio a luce.
"Shackle":
Nel precedente post ho detto questo :
E quando $F_(Jack)$ parte, $F_(Jill)$ non è nell’ origine degli assi spaziali.
Esatto, quando il fotone di Jack parte, quello di Jill è già a metà strada.
"Shackle":
Assumo $ c=1 $ sicché possiamo leggere i segmenti direttamente come tempi : è una cosa che talvolta si relativisti fanno.
Sì, assolutamente sì.
"Shackle":
Ho fatto lo schizzo allegato.
Ho rifatto il tuo schizzo in Geogebra.
https://www.geogebra.org/m/qqqtebmj
Se, come credo, il mio lavoro corrisponde esattamente al tuo schizzo, il fotone di Jill parte dell'origine al tempo t=-1,0718 e incontra il fotone di Jack (che era partito da A al tempo t=2,9282) in corrispondenza col punto B al tempo t=6,9282.
Non hanno importanza i valori assoluti delle partenze di F(Jill) e F(Jack) , hanno importanza le differenze , infatti quei tempi sono in realtà dei $Deltat_F$ .
Hai : $ -1.0718 -2.9282 = -4 $ ; per cui se metti uguale a zero l’istante di partenza di F(Jack) , hai che F(Jill) è partito $4u$ prima ( u è l’unità di misura dei tempi ) dall’origine delle coordinate. Mi pare che ci siamo.
Hai : $ -1.0718 -2.9282 = -4 $ ; per cui se metti uguale a zero l’istante di partenza di F(Jack) , hai che F(Jill) è partito $4u$ prima ( u è l’unità di misura dei tempi ) dall’origine delle coordinate. Mi pare che ci siamo.
Sono d'accordo, sono la stessa cosa, basta fare la traslazione degli assi per passare dall'uno all'altro.
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