Relatività generale e torsione spazio-tempo
Nella teoria della relatività generale per determinare univocamente una connessione Einstein ipotizzò fossero vere le 2 seguenti affermazioni:
1) la derivata covariante della metrica è zero.
2) i simboli di Christoffel sono simmetrici.
Ho scoperto che la teoria è stata in seguito estesa da Cartan (?), che ha eliminato il secondo ''postulato'', introducendo il tensore torsione nella teoria.
Volevo sapere: perchè Einstein considerò nulla la torsione? Inoltre, il primo ''postulato'' me lo spiego con il fatto che, localmente, lo spaziotempo ha la metrica di Minkowski, quindi di fatto se scelgo coordinate locali ottengo dei sistemi inerziali. E' ragionevole?
La torsione tuttavia è un concetto molto ostico che viene fuori matematicamente. Ho dato un' occhiata al web e ho visto che recentemente è stata verificata la torsione dello spazio-tempo. Qualcuno ne sa qualcosa a riguardo?
1) la derivata covariante della metrica è zero.
2) i simboli di Christoffel sono simmetrici.
Ho scoperto che la teoria è stata in seguito estesa da Cartan (?), che ha eliminato il secondo ''postulato'', introducendo il tensore torsione nella teoria.
Volevo sapere: perchè Einstein considerò nulla la torsione? Inoltre, il primo ''postulato'' me lo spiego con il fatto che, localmente, lo spaziotempo ha la metrica di Minkowski, quindi di fatto se scelgo coordinate locali ottengo dei sistemi inerziali. E' ragionevole?
La torsione tuttavia è un concetto molto ostico che viene fuori matematicamente. Ho dato un' occhiata al web e ho visto che recentemente è stata verificata la torsione dello spazio-tempo. Qualcuno ne sa qualcosa a riguardo?
Risposte
Pensavo che le affermazioni 1 e 2 fossero equivalenti. La prima, il cosiddetto lemma di Ricci, discende dalla definizione di derivata covariante che presuppone una connessione. Se scelgo la connessione di Levi-Civita, ho il lemma di Ricci ... e anche la simmetria dei simboli di C. ...
Circa la scelta della connessione di L-C da parte di Einstein, pensavo fosse per la visione filosofica di Einstein secondo cui il Grande Vecchio doveva creare un Mondo semplice e bello ....
Parli di verifiche sperimentali della torsione, potresti postare il link ? Grazie.
Circa la scelta della connessione di L-C da parte di Einstein, pensavo fosse per la visione filosofica di Einstein secondo cui il Grande Vecchio doveva creare un Mondo semplice e bello ....
Parli di verifiche sperimentali della torsione, potresti postare il link ? Grazie.
"anonymous_af8479":
Pensavo che le affermazioni 1 e 2 fossero equivalenti. La prima, il cosiddetto lemma di Ricci, discende dalla definizione di derivata covariante che presuppone una connessione. Se scelgo la connessione di Levi-Civita, ho il lemma di Ricci ... e anche la simmetria dei simboli di C. ...
Circa la scelta della connessione di L-C da parte di Einstein, pensavo fosse per la visione filosofica di Einstein secondo cui il Grande Vecchio doveva creare un Mondo semplice e bello ....
Parli di verifiche sperimentali della torsione, potresti postare il link ? Grazie.
grazie per la risposta arrigo. Comunque, premesso che non sono un esperto, io credo, in base a quello che ho studiato, che le due affermazioni NON siano equivalenti. Pensa alla dimostrazione della formula del simbolo di Christoffel, (ti traccio le linee guida):
1) supponi che la derivata covariante della metrica sia nulla (prima affermazione)
2) trovi una semplice espressione in base alla definizione di derivata covariante. Ti derivi altre due semplici espressioni semplicemente permutando gli indici.
3) sommi due delle tre espressioni che hai costruito (due qualsiasi fra le tre) e sottrai la rimanente.
4) ora noterai che se non dai per buona la simmetria dei simboli di Christoffel non puoi concludere e non ottieni così la famosa formula che lega il simbolo di Christoffel alla metrica. Quindi devi per forza supporre che il simbolo di C. sia simmetrico. Come vedi, seguendo questo ragionamento, le due affermazioni sono indipendenti fra loro.
Mi sono basato sulla dimostrazione che trovi per intero su "modern geometry-methods and applications" di Dubrovin,Fomenko,Novikov.
Inoltre ti cito anche il libro "La strada che porta alla realtà" di Roger Penrose, che a pag. 355 afferma: "questa affermazione (si riferisce al fatto che la derivata covariante della metrica è nulla), assieme all' annullamento della torsione è sufficiente a fissare completamente la connessione".
Ti linko uno degli articoli che ho trovato sulla torsione. Se googli ne troverai altri anche in inglese
http://www.2duerighe.com/attualita/908- ... ealta.html
Ok per le affermazioni 1 e 2, esse sono equivalenti.
Circa l'altra questione, non s tratta, secondo me, della verifica che la connessione di L.C. non va piu' bene e ci vuole Cartan. Si tratta invece della verifica di un effetto previsto dalla RG classica.
Il campo generato da una massa in rotazione e' diverso dal campo generato da una massa non in rotazione. Nel primo caso vale la metrica di Schwarzshild, nel secondo caso le cose sono molto piu' complicate, ma sempre nell'ambito della connessione di L.C.
La torsione di Cartan, per me, qui non c'entra. Se mai, ha a che fare con le teorie di gravitazione quantistica per spiegare lo spin, ma qui le mie conoscenze si fermano
Circa l'altra questione, non s tratta, secondo me, della verifica che la connessione di L.C. non va piu' bene e ci vuole Cartan. Si tratta invece della verifica di un effetto previsto dalla RG classica.
Il campo generato da una massa in rotazione e' diverso dal campo generato da una massa non in rotazione. Nel primo caso vale la metrica di Schwarzshild, nel secondo caso le cose sono molto piu' complicate, ma sempre nell'ambito della connessione di L.C.
La torsione di Cartan, per me, qui non c'entra. Se mai, ha a che fare con le teorie di gravitazione quantistica per spiegare lo spin, ma qui le mie conoscenze si fermano
mannaggia, ho notato che mi sono dimenticato un "NON" nel commento precedente. Volevo scrivere: "le due affermazioni NON sono equivalenti", poi sotto spiego perchè.
Per la torsione, la metrica di Schwarzshild non l' ho studiata, quindi non ho ancora ben chiaro. Però comunque sia la torsione è un concetto ben preciso, è definita come la differenza fra i simboli di Christoffel con gli indici inferiori permutati. E se c'è torsione, allora non regge più la seconda affermazione. Quindi la teoria va integrata con quella di Cartan.
N.B. : Ho corretto il commento precedente, ho aggiunto il ''NON''.
Per la torsione, la metrica di Schwarzshild non l' ho studiata, quindi non ho ancora ben chiaro. Però comunque sia la torsione è un concetto ben preciso, è definita come la differenza fra i simboli di Christoffel con gli indici inferiori permutati. E se c'è torsione, allora non regge più la seconda affermazione. Quindi la teoria va integrata con quella di Cartan.
N.B. : Ho corretto il commento precedente, ho aggiunto il ''NON''.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo