Relatività generale e l'equazione di campo di Einstein
Salve,nell'ultimo argomento che ho aperto qualche giorno fa avevo chiesto come si arrivava dall'equazione di campo alla legge di gravitazione universale,e da quello che ho capito dipende dal fatto che alcuni valori si approssimano.L'argomento di questo messaggio invece è un altro:
Cosa devo fare se voglio ottenere i valori esatti e non quelli approssimativi?
in pratica se volessi trovare i valori esatti di:
$R_(munu)$ $T_(munu)$ $g_(munu)$ e $g^(munu)$
che sono rispettivamente:
il tensore di curvatura di Ricci
il tensore stress-energia
il tensore metrico covariante
il tensore metrico controvariante
Cosa devo fare se voglio ottenere i valori esatti e non quelli approssimativi?
in pratica se volessi trovare i valori esatti di:
$R_(munu)$ $T_(munu)$ $g_(munu)$ e $g^(munu)$
che sono rispettivamente:
il tensore di curvatura di Ricci
il tensore stress-energia
il tensore metrico covariante
il tensore metrico controvariante
Risposte
Eh ... in pratica stai chiedendo come si risolvono le equazioni di campo ! Infatti, conoscere tutte quelle quantità significa proprio questo.
Si tratta di 10 equazioni differenziali del secondo ordine non lineari, di difficile soluzione. Chiarisco subito che ne so poco, parlando in generale. So che non esiste un procedimento standardizzato per risolverle. So anche che, nonostante le difficoltà, sono state proposte molte soluzioni , di cui poche sono di effettivo interesse per la fisica e cosmologia . La più interessante e studiata è quella di Scwarzschild, ti dirò qualcosa dopo.
Una estesa raccolta di soluzioni si trova in questo libro , di più di 700 pagine , che non è consigliabile....
Tu chiedi la procedura per arrivare a determinare certe quantità . Partiamo dal secondo membro : è il tensore energia- impulso della materia-energia , considerata come un mezzo continuo . Qui trovi dettagli sulle sue componenti :
https://en.wikipedia.org/wiki/Stress–energy_tensor
questo tensore è, in sostanza , il punto di partenza. Una volta definito il campo di cui si vuol parlare, bisogna assegnare queste componenti. Da esse dipendono le componenti del tensore metrico . Per esempio, il libro di Shutz contiene un intero capitolo dedicato al tensore energia-impulso per un fluido perfetto, e per la cosiddetta "polvere incoerente" , dove si ricava l'espressione e se ne studiano le caratteristiche, tra le quali la divergenza tensoriale nulla , che è conseguenza della equazione di continuità. Questo punto è molto importante, poichè anche il tensore al primo membro dell'eq. di campo deve avere divergenza tensoriale identicamente nulla, e ciò condiziona l'equazione stessa.
Non so darti dettagli maggiori, per il caso più generale . Tieni presente che la maggior parte dei corsi di base sulla RG concentra la propria attenzione sullo spazio vuoto attorno ad una certa massa M sferica e statica, per cui : $T_(munu) = 0 $ . La massa M causa la curvatura di tale spaziotempo. Allora, è presto detto; viste le equazioni di campo nella forma :
$R_(munu) = k T_(munu) $
l'annullarsi del secondo membro porta come come conseguenza che il tensore di Ricci deve essere nullo :
$R_(munu) = 0 $
questa equazione, in apparenza cosí semplice, ha come soluzione lospazio tempo di Schwarzschild ; nell'articolo puoi vedere come si ricavano i coefficienti della metrica, quindi i simboli di Christoffel, il tensore di curvatura di Riemann , e infine le componenti del tensore di Ricci , che devono essere tutte nulle, come detto.
In teoria è semplice . Si suppone, per lo spazio vuoto attorno a un corpo celeste sferico e statico, che la metrica sia del tipo :
$ds^2 = - e^(2phi) dt^2 + e^(2lambda)dr^2 + r^2(d\theta^2 + sen^2thetad\phi^2)$
dove $phi = phi (r) $ e $ lambda = lambda(r)$ sono funzioni solo della coordinata radiale. Si deve arrivare a determinare le componenti del tensore di Ricci $ R^(alphabeta$ , e uguagliarle a zero .
Fare a mano questi calcoli è proibitivo, ma si possono fare. Alla fine , si arriva alla metrica di Schwarzschild, che ha delle interessanti proprietà. SE il raggio del corpo è inferiore al raggio di Sch. , la soluzione descrive lo spaziotempo vuoto di materia, fortemente curvato, attorno a un buco nero.
Un esempio di calcolo "a mano " lo trovi nel cap. 12 di queste dispense :
http://www.webalice.it/dghisi/scritti/relativita.pdf
dai un'occhiata, e renditi conto .
Ma la parte divertente viene dopo, quando si studia il comportamento di particelle materiali e della luce in questo ST curvo .
Esistono altre soluzioni , per buchi neri dotati di carica elettrica e momento angolare, cioè rotanti, oltre che di massa . E altre, e altre... come dice il libro indicato all'inizio.
Ed esiste la cosmologia relativistica, altro settore molto importante , basata su quelle fantastiche equazioni.
Ma questo è un altro discorso . Ciao .
Si tratta di 10 equazioni differenziali del secondo ordine non lineari, di difficile soluzione. Chiarisco subito che ne so poco, parlando in generale. So che non esiste un procedimento standardizzato per risolverle. So anche che, nonostante le difficoltà, sono state proposte molte soluzioni , di cui poche sono di effettivo interesse per la fisica e cosmologia . La più interessante e studiata è quella di Scwarzschild, ti dirò qualcosa dopo.
Una estesa raccolta di soluzioni si trova in questo libro , di più di 700 pagine , che non è consigliabile....
Tu chiedi la procedura per arrivare a determinare certe quantità . Partiamo dal secondo membro : è il tensore energia- impulso della materia-energia , considerata come un mezzo continuo . Qui trovi dettagli sulle sue componenti :
https://en.wikipedia.org/wiki/Stress–energy_tensor
questo tensore è, in sostanza , il punto di partenza. Una volta definito il campo di cui si vuol parlare, bisogna assegnare queste componenti. Da esse dipendono le componenti del tensore metrico . Per esempio, il libro di Shutz contiene un intero capitolo dedicato al tensore energia-impulso per un fluido perfetto, e per la cosiddetta "polvere incoerente" , dove si ricava l'espressione e se ne studiano le caratteristiche, tra le quali la divergenza tensoriale nulla , che è conseguenza della equazione di continuità. Questo punto è molto importante, poichè anche il tensore al primo membro dell'eq. di campo deve avere divergenza tensoriale identicamente nulla, e ciò condiziona l'equazione stessa.
Non so darti dettagli maggiori, per il caso più generale . Tieni presente che la maggior parte dei corsi di base sulla RG concentra la propria attenzione sullo spazio vuoto attorno ad una certa massa M sferica e statica, per cui : $T_(munu) = 0 $ . La massa M causa la curvatura di tale spaziotempo. Allora, è presto detto; viste le equazioni di campo nella forma :
$R_(munu) = k T_(munu) $
l'annullarsi del secondo membro porta come come conseguenza che il tensore di Ricci deve essere nullo :
$R_(munu) = 0 $
questa equazione, in apparenza cosí semplice, ha come soluzione lospazio tempo di Schwarzschild ; nell'articolo puoi vedere come si ricavano i coefficienti della metrica, quindi i simboli di Christoffel, il tensore di curvatura di Riemann , e infine le componenti del tensore di Ricci , che devono essere tutte nulle, come detto.
In teoria è semplice . Si suppone, per lo spazio vuoto attorno a un corpo celeste sferico e statico, che la metrica sia del tipo :
$ds^2 = - e^(2phi) dt^2 + e^(2lambda)dr^2 + r^2(d\theta^2 + sen^2thetad\phi^2)$
dove $phi = phi (r) $ e $ lambda = lambda(r)$ sono funzioni solo della coordinata radiale. Si deve arrivare a determinare le componenti del tensore di Ricci $ R^(alphabeta$ , e uguagliarle a zero .
Fare a mano questi calcoli è proibitivo, ma si possono fare. Alla fine , si arriva alla metrica di Schwarzschild, che ha delle interessanti proprietà. SE il raggio del corpo è inferiore al raggio di Sch. , la soluzione descrive lo spaziotempo vuoto di materia, fortemente curvato, attorno a un buco nero.
Un esempio di calcolo "a mano " lo trovi nel cap. 12 di queste dispense :
http://www.webalice.it/dghisi/scritti/relativita.pdf
dai un'occhiata, e renditi conto .
Ma la parte divertente viene dopo, quando si studia il comportamento di particelle materiali e della luce in questo ST curvo .
Esistono altre soluzioni , per buchi neri dotati di carica elettrica e momento angolare, cioè rotanti, oltre che di massa . E altre, e altre... come dice il libro indicato all'inizio.
Ed esiste la cosmologia relativistica, altro settore molto importante , basata su quelle fantastiche equazioni.
Ma questo è un altro discorso . Ciao .
Grazie
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