Relatività e GPS
Ciao a tutti.
Su Wikipedia è scritto:
gli orologi satellitari sono affetti dalle conseguenze della teoria della relatività. Infatti, a causa degli effetti combinati della velocità relativa, che rallenta il tempo sul satellite di circa -7 microsecondi al giorno, e della minore curvatura dello spaziotempo a livello dell'orbita del satellite, che lo accelera di +45 microsecondi, il tempo sul satellite scorre ad un ritmo leggermente più veloce che a terra, causando un anticipo di circa +38 microsecondi al giorno.
La stessa cosa è spiegata, in un pdf che ho trovato in rete, dal prof. M.Pallavicini - dipartimento di fisica - Università di Genova e INFN, il quale calcola l'effetto di RR (-7) col coefficiente gamma, ma non da' la formula con cui
calcolare l'effetto di RG, e tale formula non l'ho trovata da nessuna parte. Qualcuno la conosce?
Grazie.
Su Wikipedia è scritto:
gli orologi satellitari sono affetti dalle conseguenze della teoria della relatività. Infatti, a causa degli effetti combinati della velocità relativa, che rallenta il tempo sul satellite di circa -7 microsecondi al giorno, e della minore curvatura dello spaziotempo a livello dell'orbita del satellite, che lo accelera di +45 microsecondi, il tempo sul satellite scorre ad un ritmo leggermente più veloce che a terra, causando un anticipo di circa +38 microsecondi al giorno.
La stessa cosa è spiegata, in un pdf che ho trovato in rete, dal prof. M.Pallavicini - dipartimento di fisica - Università di Genova e INFN, il quale calcola l'effetto di RR (-7) col coefficiente gamma, ma non da' la formula con cui
calcolare l'effetto di RG, e tale formula non l'ho trovata da nessuna parte. Qualcuno la conosce?
Grazie.
Risposte
La correzione dovuta alla gravità si può anche spiegare, in maniera più semplice, senza ricorrere alla "minor curvatura dello spazio tempo" in corrispondenza dell'orbita del satellite. Basta supporre, visto che la curvatura dello spaziotempo in prossimità della Terra è veramente "piccola", che esso sia "localmente piatto", e quindi ragionare sull'effetto che ha il potenziale gravitazionale sull'andamento degli orologi.
Detto alla buona : gli orologi posti in un campo gravitazionale, vanno più in fretta dove il potenziale gravitazionale è maggiore (orbita del satellite), vanno più lentamente dove il potenziale gravitazionale è minore (superficie terrestre) :
il fattore di moltiplicazione si dimostra essere quindi :
$(1 + (\Delta\Phi)/c^2)$
Cioè, dati due punti A e B a potenziale gravitazionale diverso, si ha :
$\Delta\tau_B = \Delta\tau_A ( 1 + (\Phi_B - \Phi_A)/c^2)$
Tenendo conto che $\Phi = (G*M_T)/R_s$ è il potenziale gravitazionale corrispondente al raggio dell'orbita del satellite :
$R_s = 2.7*10^4 km$
risulta che la correzione frazionaria del tempo segnato dall'orologio satellitare, rispetto a quello di un riferimento inerziale centrato nel centro della Terra , vale circa :
$(GM_T)/(R_s*c^2) = 1.6 *10^(-10)$
Poi questo valore va modificato per rapportarlo all'andamento degli orologi sulla superficie terrestre.
Ma la cosa importante è questa : un orologio, posto più in alto in un campo gravitazionale, marcia più in fretta.
Naturalmente, si può fare il calcolo anche alla maniera più complicata, cioè descrivendo la gravita newtoniana come una geometria spaziotemporale (lievemente) curva, il che significa assumere una certa forma per il $ds^2$. Ma si arriva allo stesso risultato ovviamente.
Detto alla buona : gli orologi posti in un campo gravitazionale, vanno più in fretta dove il potenziale gravitazionale è maggiore (orbita del satellite), vanno più lentamente dove il potenziale gravitazionale è minore (superficie terrestre) :
il fattore di moltiplicazione si dimostra essere quindi :
$(1 + (\Delta\Phi)/c^2)$
Cioè, dati due punti A e B a potenziale gravitazionale diverso, si ha :
$\Delta\tau_B = \Delta\tau_A ( 1 + (\Phi_B - \Phi_A)/c^2)$
Tenendo conto che $\Phi = (G*M_T)/R_s$ è il potenziale gravitazionale corrispondente al raggio dell'orbita del satellite :
$R_s = 2.7*10^4 km$
risulta che la correzione frazionaria del tempo segnato dall'orologio satellitare, rispetto a quello di un riferimento inerziale centrato nel centro della Terra , vale circa :
$(GM_T)/(R_s*c^2) = 1.6 *10^(-10)$
Poi questo valore va modificato per rapportarlo all'andamento degli orologi sulla superficie terrestre.
Ma la cosa importante è questa : un orologio, posto più in alto in un campo gravitazionale, marcia più in fretta.
Naturalmente, si può fare il calcolo anche alla maniera più complicata, cioè descrivendo la gravita newtoniana come una geometria spaziotemporale (lievemente) curva, il che significa assumere una certa forma per il $ds^2$. Ma si arriva allo stesso risultato ovviamente.
Ottima analisi, navigatore! La metrica che descrive un campo gravitazionale prodotto da un corpo a simmetria centrale ed in rotazione è quella di Kerr. Ovviamente, data la debolezza del campo, non conviene usarla. Però mi piacerebbe sapere se nelle correzioni del gps considerano anche la rotazione terrestre. In questo caso, l'approssimazione newtoniana che hai scritto sopra, forse, andrebbe ulteriormente affinata, magari sviluppando in serie la metrica di Kerr.
Grazie Arrigo, ma sono solo un dilettante.
Un articolo di un vero esperto di GPS, Neil Ashby, è il seguente :
http://www.aapt.org/doorway/tgru/articl ... rticle.pdf
Il prof. Ashby ha scritto molto sul GPS. Altri suoi articoli più dettagliati si trovano su " Living reviews" in GR, come quello citato al n.1 in fondo al link precedente.
Cordiali saluti e buon anno !
Un articolo di un vero esperto di GPS, Neil Ashby, è il seguente :
http://www.aapt.org/doorway/tgru/articl ... rticle.pdf
Il prof. Ashby ha scritto molto sul GPS. Altri suoi articoli più dettagliati si trovano su " Living reviews" in GR, come quello citato al n.1 in fondo al link precedente.
Cordiali saluti e buon anno !
Sì, l'avevi segnalato tempo fa ... ottimo articolo! Grazie e tanti auguri!
Si', ho trovato anch'io l'articolo di Ashby e l'ho letto con una certa fatica (e' molto complicato)
e se non sbaglio la tua spiegazione lo riassume in maniera (fortunatamente) più sintetica.
Cmq grazie, voglio fare due calcoli poi ci risentiamo.
e se non sbaglio la tua spiegazione lo riassume in maniera (fortunatamente) più sintetica.
Cmq grazie, voglio fare due calcoli poi ci risentiamo.
Tralasciando per il momento la presenza di massa ed energia, vorrei capire se il procedimento, che immagino sia da applicare, sia corretto, nel caso in cui si volesse determinare la differenza di tempo misurato tra due osservatori che si muovono di moto circolare uniforme, con velocità diverse, rispetto ad un osservatore inerziale, secondo cui lo spazio tempo è piatto. La differenza di tempo è quella presente sencondo uno dei due osservatori non inerziali, specifico questo perchè, in base a quello che ho capito, tale differenza dipende dall'osservatore rispetto a cui si valuta il moto dei due nello spazio-tempo.
Il procedimento che immagino è questo: si applica una trasformazione di coordinate, dalle coordinate stabilite nello spazio-tempo piatto dell'osservatore inerziale (rispetto al quale il moto è noto), verso coordinate in uno spazio-tempo (che per il momento non identifico ulteriormente, visto che, se non ho capito male, le sue proprietà dipendono dalla trasformazione applicata), che è lo spazio-tempo secondo l'osservatore non inerziale rispetto al quale si valuta il moto dello stesso osservatore e dell'altro non inerziale.
Come sia fatta questa trasformazione non ho capito bene, ci sono alcuni esempi, come la trasformazione di coordinate di un disco rotante, sulla quale ho alcuni dubbi, visto che non riesco a comprendere come la presenza di massa (tralasciando il suo effetto gravitazionale), possa influenzare la geometria dello spazio-tempo valutata da un solo punto (materiale) del disco rigido in movimento. Cioè in generale, secondo me, si dovrebbe avere una trasformazione di coordinate (globale) che dipende da alcuni parametri, propri del solo osservatore considerato e dal sistema di riferimento fissato, come velocità rispetto all'osservatore inerziale, accelerazione, velocità angolare del sistema di riferimento. Quindi per esempio, nel caso del disco in rotazione o solidale a questo rispetto al sistema di riferimento inerziale, si potrà avere una trasformazione (dell'intero spazio-tempo) diversa per ogni punto del disco, e quindi spazio-tempo diversi (eventualmente anche con diverse curvature) valutati dai singoli osservatori diversi.
Ammesso che questa trasformazione lasci inalterata la segnatura di Minkowski, cioè che, visto in uno spazio euclideo 5-dimensionale, la proiezione nello spazio tangente in un punto di un tratto di traiettoria passante per questo nello spazio tempo 4-dimensionale generico di arrivo della trasformazione (in generale non pseudoeuclideo) si possa misurare, localmente, in un opportuno sistema di riferimento stabilito sullo spazio tangente, secondo la metrica di Minkowski ($diag(1,1,1,-1)$ o $diag(-1,-1,-1,1)$, se vogliamo), allora si può ricavare la differenza infinitesima di tempo proprio di un altro osservatore, valutato rispetto all'osservatore non inerziale a cui è associata la trasformazione, conoscendo la velocità al quadrato, data dalla velocità nota rispetto all'osservatore inerziale e dalla trasformazione (da cui anche la metrica dello spazio di arrivo e del sistema di coordinate fissate su questo).
In poche parole quello che mi chiedo è come si possano misurare gli scarti di tempo tra due osservatori A e B, secondo un osservatore C, quando C non è inerziale. Come si può verificare anche nel caso della relatività ristretta, in cui le trasformazioni sono da spazi pseudoeuclidei a spazi pseudoeuclidei, le differenze di tempo dipendono dall'osservatore, basta considerare la simmetria nella contrazione dei tempi sperimentata da due osservatori inerziali in moto relativo.
Il procedimento che immagino è questo: si applica una trasformazione di coordinate, dalle coordinate stabilite nello spazio-tempo piatto dell'osservatore inerziale (rispetto al quale il moto è noto), verso coordinate in uno spazio-tempo (che per il momento non identifico ulteriormente, visto che, se non ho capito male, le sue proprietà dipendono dalla trasformazione applicata), che è lo spazio-tempo secondo l'osservatore non inerziale rispetto al quale si valuta il moto dello stesso osservatore e dell'altro non inerziale.
Come sia fatta questa trasformazione non ho capito bene, ci sono alcuni esempi, come la trasformazione di coordinate di un disco rotante, sulla quale ho alcuni dubbi, visto che non riesco a comprendere come la presenza di massa (tralasciando il suo effetto gravitazionale), possa influenzare la geometria dello spazio-tempo valutata da un solo punto (materiale) del disco rigido in movimento. Cioè in generale, secondo me, si dovrebbe avere una trasformazione di coordinate (globale) che dipende da alcuni parametri, propri del solo osservatore considerato e dal sistema di riferimento fissato, come velocità rispetto all'osservatore inerziale, accelerazione, velocità angolare del sistema di riferimento. Quindi per esempio, nel caso del disco in rotazione o solidale a questo rispetto al sistema di riferimento inerziale, si potrà avere una trasformazione (dell'intero spazio-tempo) diversa per ogni punto del disco, e quindi spazio-tempo diversi (eventualmente anche con diverse curvature) valutati dai singoli osservatori diversi.
Ammesso che questa trasformazione lasci inalterata la segnatura di Minkowski, cioè che, visto in uno spazio euclideo 5-dimensionale, la proiezione nello spazio tangente in un punto di un tratto di traiettoria passante per questo nello spazio tempo 4-dimensionale generico di arrivo della trasformazione (in generale non pseudoeuclideo) si possa misurare, localmente, in un opportuno sistema di riferimento stabilito sullo spazio tangente, secondo la metrica di Minkowski ($diag(1,1,1,-1)$ o $diag(-1,-1,-1,1)$, se vogliamo), allora si può ricavare la differenza infinitesima di tempo proprio di un altro osservatore, valutato rispetto all'osservatore non inerziale a cui è associata la trasformazione, conoscendo la velocità al quadrato, data dalla velocità nota rispetto all'osservatore inerziale e dalla trasformazione (da cui anche la metrica dello spazio di arrivo e del sistema di coordinate fissate su questo).
In poche parole quello che mi chiedo è come si possano misurare gli scarti di tempo tra due osservatori A e B, secondo un osservatore C, quando C non è inerziale. Come si può verificare anche nel caso della relatività ristretta, in cui le trasformazioni sono da spazi pseudoeuclidei a spazi pseudoeuclidei, le differenze di tempo dipendono dall'osservatore, basta considerare la simmetria nella contrazione dei tempi sperimentata da due osservatori inerziali in moto relativo.
@ sonoqui
Ho fatto non poca fatica a leggere il tuo post. Ti confesso che in alcuni passaggi non l'ho capito.
Pero ti dico questo.
Il problema del disco rotante in Relativita è uno dei più ardui, e forse ancora oggi non risolto. Sto sbattendo la testa da parecchio tempo, per cercare di capirci qualcosa, ma vedo che non c'è nulla di definitivo.
Qualcosa, forse, ho capito, e posso dirti (ma gli esperti mi scuseranno se dico qualche sciocchezza) :
-è più facile trattare il problema con la Rel. Generale che con la Rel. Ristretta
-non si dovrebbe parlare di una trasformazione di coordinate "globale", da un riferimento inerziale centrato sul disco, ad un riferimento globalmente inerziale, per il fatto che il disco rotante non è inerziale. Sul bordo dl disco, si può immaginare in ciascun punto P un riferimento inerziale tangente, solo locale, e quindi fare una trasformazione di coordinate a questo riferimento.
-la geometria spaziotemporale del disco rotante è piatta, perché tutte le componenti del tensore di curvatura di Riemann sono nulle. MA la sola geometria spaziale della superficie del disco è curva, cioè non è euclidea ma iperbolica: la lunghezza della circonferenza di raggio $R$ è maggiore di $2\piR$ ( ma questo prendilo con cautela, alcuni autori non sono d'accordo!) Un autore che lo dimostra è per esempio Landau in "teoria dei campi" .
Basta, non dico altro, non vorrei sbagliare troppo.
Sto cercando di leggere questa roba, ma non è facile!
http://arxiv.org/pdf/1109.2488.pdf
http://cds.cern.ch/record/492392/files/0103076.pdf
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/R ... _disk.html
http://areeweb.polito.it/ricerca/relgra ... gron_d.pdf
http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0207104v2.pdf
Quando li leggi, dici : ha ragione ! Il fatto è che non dicono tutti la stessa cosa, e non possono avere ragione tutti!
nelle bibliografie dei suddetti articoli, ci sono altri articoli….
Ho fatto non poca fatica a leggere il tuo post. Ti confesso che in alcuni passaggi non l'ho capito.
Pero ti dico questo.
Il problema del disco rotante in Relativita è uno dei più ardui, e forse ancora oggi non risolto. Sto sbattendo la testa da parecchio tempo, per cercare di capirci qualcosa, ma vedo che non c'è nulla di definitivo.
Qualcosa, forse, ho capito, e posso dirti (ma gli esperti mi scuseranno se dico qualche sciocchezza) :
-è più facile trattare il problema con la Rel. Generale che con la Rel. Ristretta
-non si dovrebbe parlare di una trasformazione di coordinate "globale", da un riferimento inerziale centrato sul disco, ad un riferimento globalmente inerziale, per il fatto che il disco rotante non è inerziale. Sul bordo dl disco, si può immaginare in ciascun punto P un riferimento inerziale tangente, solo locale, e quindi fare una trasformazione di coordinate a questo riferimento.
-la geometria spaziotemporale del disco rotante è piatta, perché tutte le componenti del tensore di curvatura di Riemann sono nulle. MA la sola geometria spaziale della superficie del disco è curva, cioè non è euclidea ma iperbolica: la lunghezza della circonferenza di raggio $R$ è maggiore di $2\piR$ ( ma questo prendilo con cautela, alcuni autori non sono d'accordo!) Un autore che lo dimostra è per esempio Landau in "teoria dei campi" .
Basta, non dico altro, non vorrei sbagliare troppo.
Sto cercando di leggere questa roba, ma non è facile!
http://arxiv.org/pdf/1109.2488.pdf
http://cds.cern.ch/record/492392/files/0103076.pdf
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/R ... _disk.html
http://areeweb.polito.it/ricerca/relgra ... gron_d.pdf
http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0207104v2.pdf
Quando li leggi, dici : ha ragione ! Il fatto è che non dicono tutti la stessa cosa, e non possono avere ragione tutti!
nelle bibliografie dei suddetti articoli, ci sono altri articoli….
Dunque la formula di Ashby, che da quel che mi conferma navigatore è quella corretta, è la seguente
(ho approssimato i risultati):
$
\Delta t = (3\GM_E)/(2ac^2)+ (\Phi_0)/(c^2)=+21-60=-38 (\mus)/text(giorno)
$
dove $a$ è il raggio dell'orbita e $\Phi_0=(GM_E)/a_1$ con $a_1$ raggio terrestre.
Mentre quella su Wikipedia è:
$
\Delta t = (\gamma-1) + ? =+7-45=-38 (\mus)/text(giorno)
$
dove $?$ è una funzione incognita, nel senso che sia Wikipedia, sia la fonte cui si riferisce
(un articolo di tal Richard W. Pogge, professore di astronomia all'Università dell'Ohio
reperibile al link http://www.astronomy.ohio-state.edu/~po ... 5/gps.html)
sia il prof. M.Pallavicini dell'Università di Genova e INFN, che pure la cita,
si limitano a inserire un $-45$ che non si sa da dove venga.
Che dire, cercherò questo Pallavicini e gli chiederò lumi...
(ho approssimato i risultati):
$
\Delta t = (3\GM_E)/(2ac^2)+ (\Phi_0)/(c^2)=+21-60=-38 (\mus)/text(giorno)
$
dove $a$ è il raggio dell'orbita e $\Phi_0=(GM_E)/a_1$ con $a_1$ raggio terrestre.
Mentre quella su Wikipedia è:
$
\Delta t = (\gamma-1) + ? =+7-45=-38 (\mus)/text(giorno)
$
dove $?$ è una funzione incognita, nel senso che sia Wikipedia, sia la fonte cui si riferisce
(un articolo di tal Richard W. Pogge, professore di astronomia all'Università dell'Ohio
reperibile al link http://www.astronomy.ohio-state.edu/~po ... 5/gps.html)
sia il prof. M.Pallavicini dell'Università di Genova e INFN, che pure la cita,
si limitano a inserire un $-45$ che non si sa da dove venga.
Che dire, cercherò questo Pallavicini e gli chiederò lumi...
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