Relatività divulgativa
Ciao a tutti
Ultimamente sto leggiucchiando un libro di divulgazione sulla relatività, e ovviamente sono pieno di dubbi.
Quello che più mi preme capire ora è il ruolo della grandezza $x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2$ all'interno della teoria. infatti il libro sostiene che questa quantità sia invariante, ma non dice rispetto a cosa. inoltre la chiama distanza quadridimensionale, ma non capisco come possa essere una distanza se non coinvolge due punti ma uno solo.
Dopodiché tira fuori dal cappello magico questa affermazione: "le trasformazioni che lasciano invariata questa grandezza sono le rotazioni"
Quindi, facendo l'esempio semplificato di due sistemi di riferimento in moto rettileno uniforme l'uno rispetto all'altro ricava una forma semplice delle trasformazioni di Lorentz.
Tenete conto che putroppo non so nulla di calcolo tensoriale, anche se sono disposto a cercare di capirci qualcosina se è proprio necessario...
grazie, ciao
Francesco
Ultimamente sto leggiucchiando un libro di divulgazione sulla relatività, e ovviamente sono pieno di dubbi.
Quello che più mi preme capire ora è il ruolo della grandezza $x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2$ all'interno della teoria. infatti il libro sostiene che questa quantità sia invariante, ma non dice rispetto a cosa. inoltre la chiama distanza quadridimensionale, ma non capisco come possa essere una distanza se non coinvolge due punti ma uno solo.
Dopodiché tira fuori dal cappello magico questa affermazione: "le trasformazioni che lasciano invariata questa grandezza sono le rotazioni"
Quindi, facendo l'esempio semplificato di due sistemi di riferimento in moto rettileno uniforme l'uno rispetto all'altro ricava una forma semplice delle trasformazioni di Lorentz.
Tenete conto che putroppo non so nulla di calcolo tensoriale, anche se sono disposto a cercare di capirci qualcosina se è proprio necessario...
grazie, ciao
Francesco
Risposte
È difficile rispondere solo sulla base di poche frasi estratte dal contesto. Posso ipotizzare che per rotazioni intendesse un certo tipo di rotazioni del 4-spazio, dove, per esempio, la trasformazione di Lorentz (chiamata anche boost) lungo l'asse x può essere scritta come $t'=tcosh\phi +xsinh\phi$, $x'=tsinh\phi+xcosh\phi$, che ricorda una rotazione. L'espressione indicata, anche se ora si preferisce $c^2t^2-x^2-...$, indica in effetti la distanza dall'origine, ed è detta tempo proprio, perchè proporzionale al tempo misurato da un orologio in quiete nel sistema considerato. L'invarianza della distanza (o metrica) costituisce l'epsressione formale dei due postulati della relatività ristretta.
In effetti, se scrivi la trasformazione generica $x'^\mu=U_nu^mux^nu$ (si sottintende una somma sull'indice $\nu=0,1,2,3$) che lascia invariata la metrica si ottengono le usuali rotazioni spaziali (tridimensionali) ed i boost.
In effetti, se scrivi la trasformazione generica $x'^\mu=U_nu^mux^nu$ (si sottintende una somma sull'indice $\nu=0,1,2,3$) che lascia invariata la metrica si ottengono le usuali rotazioni spaziali (tridimensionali) ed i boost.
E' semplice, poni che i cambiamenti di riferimento tra sistemi inerziali siano tutte quelle trasformazioni che lasciano invariante quel numero lì e sei a posto (trovi Lorentz).
Nello spazio tridimensionale euclideo ciò che rimane invariante è la lunghezza, no?
La pseudodistanza (perché non è definita positiva) tra due punti in effetti è $c^2(t_1-t_2)^2 -(x_1-x_2)^2.....$
Nello spazio tridimensionale euclideo ciò che rimane invariante è la lunghezza, no?
La pseudodistanza (perché non è definita positiva) tra due punti in effetti è $c^2(t_1-t_2)^2 -(x_1-x_2)^2.....$
ecco infatti perchè il libro tira in ballo i seni e coseni "normali", non quelli iperbolici...
comunque se ho capito mi stai dicendo che in qualsiasi sistema da noi considerato l'espressione $c^2t^2 - x^2...$ è invariante..però perdonami..
..ancora non riesco a capire....invarianza rispetto alle trasformazioni? praticamente se consideriamo un punto e il suo trasformato in un altro sistema di riferimento la "distanza" dalle rispettive origini è invariante?spero di aver capito...altra domanda, le trasformazioni di Lorentz sono le uniche che hanno questa proprietà? e poi, da dove viene fuori quell'espressione $c^2t^2 - x^2...$? sembra che sia comparsa ad hoc sul mio libro...
grazie mille del tuo intervento, sei stato molto illuminante!
comunque se ho capito mi stai dicendo che in qualsiasi sistema da noi considerato l'espressione $c^2t^2 - x^2...$ è invariante..però perdonami..
..ancora non riesco a capire....invarianza rispetto alle trasformazioni? praticamente se consideriamo un punto e il suo trasformato in un altro sistema di riferimento la "distanza" dalle rispettive origini è invariante?spero di aver capito...altra domanda, le trasformazioni di Lorentz sono le uniche che hanno questa proprietà? e poi, da dove viene fuori quell'espressione $c^2t^2 - x^2...$? sembra che sia comparsa ad hoc sul mio libro...grazie mille del tuo intervento, sei stato molto illuminante!
grazie anche a maxos, sintetico ma chiaro! 
La forma di quella metrica ha un'origine euristica, che significa sostanzialmente un tentativo andato a buon fine.
Dovendo riassumere in poche parole (assai poco rigorose, in verità), lo sviluppo fu questo:
- su diverse basi vennero ricavate le trasformazioni di Lorentz
- Einstein formulò i due postulati della relatività ristretta (costanza della velocità della luce ed equivalenza dei sistemi reciprocamente inerziali), dimostrando che costituivano una teoria fisica che rendesse conto delle trasformazioni di Lorentz
- Minkowski dimostrò che la teoria di Einstein poteva essere formulata definendo uno spazio quadridimensionale con una determinata metrica (non ricordo se proprio quella od una forma pseudoeuclidea che impiegava una coordinata temporale immaginaria $ict$, ma non è rilevante in questo contesto), che si rivelerà poi determinante per la generalizzazione del principio di relatività
L'approccio moderno consiste quindi nell'introdurre direttamente la metrica (nella forma $ds^2=(cdt)^2-dx^2-dy^2-dz^2$) come evidenza fisica derivante dai postulati, dedurre la classe di trasformazioni ammesse tra sistemi di riferimento imponendo che sia invariante (cioè se $K$ e $K'$ sono due diversi sistemi di riferimento si deve avere $ds'=ds$), e riformulare le leggi della fisica in modo che le equazioni assumano la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento ottenuti l'uno dall'altro tramite le trasformazioni ammesse (boost + rotazioni).
Il requisito formale che le equazioni siano valide in tutti i sistemi è chiamato covarianza, e richiede di usare oggetti che si trasformino in un certo modo. Questi oggetti sono i 4-vettori, o la loro estensione, 4-tensori (quando si prende poi un minimo di confidenza con il formalismo, si parla semplicemente si vettori e tensori).
Non so se il testo che stai leggendo affronta l'argomento in questo modo, e visto che mi sto dilungando oltre la soglia di rischio di confusione, se hai voglia di approfondire ti consiglio le lezioni di Dunby (che usa la tua convenzione dei segni della metrica) od i primi capitoli del Landau, Teoria dei Campi.
PS. Grazie a te
Dovendo riassumere in poche parole (assai poco rigorose, in verità), lo sviluppo fu questo:
- su diverse basi vennero ricavate le trasformazioni di Lorentz
- Einstein formulò i due postulati della relatività ristretta (costanza della velocità della luce ed equivalenza dei sistemi reciprocamente inerziali), dimostrando che costituivano una teoria fisica che rendesse conto delle trasformazioni di Lorentz
- Minkowski dimostrò che la teoria di Einstein poteva essere formulata definendo uno spazio quadridimensionale con una determinata metrica (non ricordo se proprio quella od una forma pseudoeuclidea che impiegava una coordinata temporale immaginaria $ict$, ma non è rilevante in questo contesto), che si rivelerà poi determinante per la generalizzazione del principio di relatività
L'approccio moderno consiste quindi nell'introdurre direttamente la metrica (nella forma $ds^2=(cdt)^2-dx^2-dy^2-dz^2$) come evidenza fisica derivante dai postulati, dedurre la classe di trasformazioni ammesse tra sistemi di riferimento imponendo che sia invariante (cioè se $K$ e $K'$ sono due diversi sistemi di riferimento si deve avere $ds'=ds$), e riformulare le leggi della fisica in modo che le equazioni assumano la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento ottenuti l'uno dall'altro tramite le trasformazioni ammesse (boost + rotazioni).
Il requisito formale che le equazioni siano valide in tutti i sistemi è chiamato covarianza, e richiede di usare oggetti che si trasformino in un certo modo. Questi oggetti sono i 4-vettori, o la loro estensione, 4-tensori (quando si prende poi un minimo di confidenza con il formalismo, si parla semplicemente si vettori e tensori).
Non so se il testo che stai leggendo affronta l'argomento in questo modo, e visto che mi sto dilungando oltre la soglia di rischio di confusione, se hai voglia di approfondire ti consiglio le lezioni di Dunby (che usa la tua convenzione dei segni della metrica) od i primi capitoli del Landau, Teoria dei Campi.
PS. Grazie a te
L'intervallo tra due eventi, la cui definizione è più o meno quella (quel valore è il quadrato della distanza tra un evento qualunque e l'origine delle coordinate) sostituisce il concetto di distanza tra due eventi, e così come la distanza è invariante nella metrica euclidea, l'intervallo tra due eventi è invariante nella nuova metrica introdotta da questa nuova geometria che considera lo spazio e il tempo un tutt'uno. Partendo dal presupposto che la distanza spazio-temporale è invariante si cercano quelle trasformazioni che la rendono tale. Queste trasformazioni non possono essere che traslazioni e rotazioni del sistema di riferimento. Le prime sono di poco interesse e dunque ci si concentra sulle seconde. Imponendo l'invarianza, dopo una serie di conti vengono fuori le trasformazioni di lorentz. La presenza dei seni iperbolici sottolinea appunto il carattere non euclideo della geometria di cui qui si fa uso.
grazie mille a tutti, concettualmente ho le idee molto più chiare, penso che approfitterò dell'estate per inquadrarle in un contesto più formale...
grazie ancora
Francesco
grazie ancora
Francesco
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