Relatività: confronto tra intervalli di tempo
Ciao a tutti, ho un problema...con un problema
Il problema è questo:
Nota personale: questo è un problema preso da un testo per il liceo scientifico in cui si parla esplicitamente di tempi 'osservati' (quello che vedono gli occhi del famigerato e maledetto osservatore...) invece che di tempi 'misurati' (quelli che segnano gli orologi sincronizzati e sparpagliati in tutti i punti di un dato sistema di riferimento). Personalmente, ritengo che il modo migliore per non far capire nulla di relatività sia proprio parlare di 'ciò che vedono gli occhi del maledetto famigerato osservatore' invece che di misure. Comunque sia, tutto si può fare, è un esercizio come un altro, solo che è meglio evitare affrontare certe questioni quando uno deve ancora imparare la relatività. Ciò premesso, dobbiamo risolvere il problema dato.
Come ho risolto io.
Riassumo la strategia. Ragiono in S. Affinché agli occhi dell'osservatore A arrivi, all'istante \(\displaystyle t_1 \), la luce proveniente dall'orologio (cioè la fotografia che riporta il tempo segnato dall'orologio in S') tale orologio si dovrà trovare in una certa posizione \(\displaystyle x_1 \) e ci si troverà ad un certo istante \(\displaystyle T_1 \). Considero quindi l'evento \(\displaystyle E_1(T_1; x_1) \) = "screenshot dell'orologio quando esso segna il tempo \(\displaystyle t_1' \)". Tramite le trasformazioni di Lorentz (TL), determino la coordinata temporale cercata \(\displaystyle t_1' \) dell'evento \(\displaystyle E_1 \) nel riferimento S'. Faccio la stessa cosa per determinare \(\displaystyle t_2' \), e poi calcolo la differenza.
Ho ragionato così. \(\displaystyle t_1 \) è dato dalla somma del tempo che impiega l'orologio ad arrivare nella posizione \(\displaystyle x_1 \) (cioè \(\displaystyle \frac{x_1}{v} \)) e del tempo che impiega la luce a percorrere all'indietro la distanza \(\displaystyle x_1 \) (cioè \(\displaystyle \frac{x_1}{c} \)).
Dunque da \(\displaystyle t_1=\frac{x_1}{v} + \frac{x_1}{c} \) si trova \(\displaystyle x_1=\frac{vct_1}{c+v} \).
Ora, l'istante \(\displaystyle T_1 \) in cui l'orologio arriva nella posizione \(\displaystyle x_1 \) è dato invece da \(\displaystyle T_1=\frac{x_1}{v}=\frac{ct_1}{c+v} \). Considero quindi l'evento \(\displaystyle E_1(T_1; x_1) \). Dalle TL ricavo \(\displaystyle t_1'=\gamma(T_1-\frac{v}{c^2}x_1) \).
Analogamente, determino le coordinate (in S) dell'evento \(\displaystyle E_2(T_2; x_2) \) = "screenshot dell'orologio quando esso segna il tempo \(\displaystyle t_2' \)" dove \(\displaystyle x_2=\frac{vct_2}{c+v} \) e \(\displaystyle T_2=\frac{x_2}{v}=\frac{ct_2}{c+v} \).
Dunque \(\displaystyle t_2'-t_1' = \gamma(\Delta T-\frac{v}{c^2}\Delta x) \) dove
\(\displaystyle \Delta T = T_2-T_1=\frac{c}{c+v}(t_2-t_1) \) e
\(\displaystyle \Delta x = x_2-x_1=\frac{vc}{c+v}(t_2-t_1) \).
Con un po' di calcoli si trova
\(\displaystyle t_2'-t_1' = \frac{(t_2-t_1)}{\gamma}\frac{c}{c+v} \).
L'autore propone invece la seguente soluzione.
La dilatazione dei tempi non riguarda i tempi osservati (che hanno un ritardo temporale dovuto alla
velocità finita della luce) ma i tempi misurati.
Per risolvere il problema, pensiamo che la distanza percorsa dall’orologio (\(\displaystyle x_O \)) nel tempo incognito t' rispetto all’origine deve essere uguale alla distanza percorsa dalla luce (\(\displaystyle x_L \)) nel tempo \(\displaystyle t − t' \) , muovendosi però all’indietro, per tornare all’origine del sistema S, dove si trova l’osservatore A. Quindi possiamo scrivere:
\(\displaystyle x_O = vt' \)
che è la distanza percorsa dall’orologio in moto nel tempo t′ a partire da t′ =0;
\(\displaystyle x_L = −c(t′ − t) \)
che è la distanza percorsa dalla luce nel tempo \(\displaystyle t − t′ \) .
La luce emessa dall’orologio di B, che viene osservata al tempo \(\displaystyle t_1 \), è stata emessa al tempo \(\displaystyle t_1′ < t_1 \) ; analogamente, la luce emessa dall’orologio di B, che viene osservata al tempo \(\displaystyle t_2 \), è stata emessa al tempo\(\displaystyle t_2′ < t_2 \) .
Uguagliando le distanze \(\displaystyle x_O \) e \(\displaystyle x_L \) si ricava:
\(\displaystyle t'=\frac{ct}{v+c} \)
Quindi:
\(\displaystyle t_2′ − t_1′ = \frac{c}{c+v}(t_2-t_1) \)
Questo risultato coincide con quello che io ho chiamato \(\displaystyle \Delta T \), cioè con la differenza tra gli istanti misurati in S in cui si prendono le foto, e non è quindi, secondo me, la quantità richiesta cioè la differenza tra gli istanti segnati dallo schermo dell'orologio in S'.
In particolare trovo strano ragionare considerando lo spazio percorso da chicchessia nel tempo \(\displaystyle t-t' \) che è la differenza tra due istanti di tempo misurati in due diversi sdr.
Potete dirmi se e dove sbaglio?
Grazie!
Il problema è questo:
L'osservatore B si trova nel riferimento S' e si muove, insieme ad un orologio, con velocità \(\displaystyle v=\frac{c}{2} \) rispetto all'osservatore A, che si trova nel riferimento S. Agli istanti t = t' = 0 gli osservatori si trovano in x = x' = 0. L'osservatore A guarda l'orologio negli istanti \(\displaystyle t_1 \) e \(\displaystyle t_2 \) misurati in S, ed annota i tempi \(\displaystyle t_1' \) e \(\displaystyle t_2' \) segnati dall'orologio. Calcolare \(\displaystyle t_2'-t_1' \). Attenzione: non si tratta di dilatazione dei tempi. La dilatazione dei tempi non riguarda i tempi osservati (che hanno un ritardo temporale dovuto alla velocità finita della luce) ma i tempi misurati.
Nota personale: questo è un problema preso da un testo per il liceo scientifico in cui si parla esplicitamente di tempi 'osservati' (quello che vedono gli occhi del famigerato e maledetto osservatore...) invece che di tempi 'misurati' (quelli che segnano gli orologi sincronizzati e sparpagliati in tutti i punti di un dato sistema di riferimento). Personalmente, ritengo che il modo migliore per non far capire nulla di relatività sia proprio parlare di 'ciò che vedono gli occhi del maledetto famigerato osservatore' invece che di misure. Comunque sia, tutto si può fare, è un esercizio come un altro, solo che è meglio evitare affrontare certe questioni quando uno deve ancora imparare la relatività. Ciò premesso, dobbiamo risolvere il problema dato.
Come ho risolto io.
Riassumo la strategia. Ragiono in S. Affinché agli occhi dell'osservatore A arrivi, all'istante \(\displaystyle t_1 \), la luce proveniente dall'orologio (cioè la fotografia che riporta il tempo segnato dall'orologio in S') tale orologio si dovrà trovare in una certa posizione \(\displaystyle x_1 \) e ci si troverà ad un certo istante \(\displaystyle T_1 \). Considero quindi l'evento \(\displaystyle E_1(T_1; x_1) \) = "screenshot dell'orologio quando esso segna il tempo \(\displaystyle t_1' \)". Tramite le trasformazioni di Lorentz (TL), determino la coordinata temporale cercata \(\displaystyle t_1' \) dell'evento \(\displaystyle E_1 \) nel riferimento S'. Faccio la stessa cosa per determinare \(\displaystyle t_2' \), e poi calcolo la differenza.
Ho ragionato così. \(\displaystyle t_1 \) è dato dalla somma del tempo che impiega l'orologio ad arrivare nella posizione \(\displaystyle x_1 \) (cioè \(\displaystyle \frac{x_1}{v} \)) e del tempo che impiega la luce a percorrere all'indietro la distanza \(\displaystyle x_1 \) (cioè \(\displaystyle \frac{x_1}{c} \)).
Dunque da \(\displaystyle t_1=\frac{x_1}{v} + \frac{x_1}{c} \) si trova \(\displaystyle x_1=\frac{vct_1}{c+v} \).
Ora, l'istante \(\displaystyle T_1 \) in cui l'orologio arriva nella posizione \(\displaystyle x_1 \) è dato invece da \(\displaystyle T_1=\frac{x_1}{v}=\frac{ct_1}{c+v} \). Considero quindi l'evento \(\displaystyle E_1(T_1; x_1) \). Dalle TL ricavo \(\displaystyle t_1'=\gamma(T_1-\frac{v}{c^2}x_1) \).
Analogamente, determino le coordinate (in S) dell'evento \(\displaystyle E_2(T_2; x_2) \) = "screenshot dell'orologio quando esso segna il tempo \(\displaystyle t_2' \)" dove \(\displaystyle x_2=\frac{vct_2}{c+v} \) e \(\displaystyle T_2=\frac{x_2}{v}=\frac{ct_2}{c+v} \).
Dunque \(\displaystyle t_2'-t_1' = \gamma(\Delta T-\frac{v}{c^2}\Delta x) \) dove
\(\displaystyle \Delta T = T_2-T_1=\frac{c}{c+v}(t_2-t_1) \) e
\(\displaystyle \Delta x = x_2-x_1=\frac{vc}{c+v}(t_2-t_1) \).
Con un po' di calcoli si trova
\(\displaystyle t_2'-t_1' = \frac{(t_2-t_1)}{\gamma}\frac{c}{c+v} \).
L'autore propone invece la seguente soluzione.
La dilatazione dei tempi non riguarda i tempi osservati (che hanno un ritardo temporale dovuto alla
velocità finita della luce) ma i tempi misurati.
Per risolvere il problema, pensiamo che la distanza percorsa dall’orologio (\(\displaystyle x_O \)) nel tempo incognito t' rispetto all’origine deve essere uguale alla distanza percorsa dalla luce (\(\displaystyle x_L \)) nel tempo \(\displaystyle t − t' \) , muovendosi però all’indietro, per tornare all’origine del sistema S, dove si trova l’osservatore A. Quindi possiamo scrivere:
\(\displaystyle x_O = vt' \)
che è la distanza percorsa dall’orologio in moto nel tempo t′ a partire da t′ =0;
\(\displaystyle x_L = −c(t′ − t) \)
che è la distanza percorsa dalla luce nel tempo \(\displaystyle t − t′ \) .
La luce emessa dall’orologio di B, che viene osservata al tempo \(\displaystyle t_1 \), è stata emessa al tempo \(\displaystyle t_1′ < t_1 \) ; analogamente, la luce emessa dall’orologio di B, che viene osservata al tempo \(\displaystyle t_2 \), è stata emessa al tempo\(\displaystyle t_2′ < t_2 \) .
Uguagliando le distanze \(\displaystyle x_O \) e \(\displaystyle x_L \) si ricava:
\(\displaystyle t'=\frac{ct}{v+c} \)
Quindi:
\(\displaystyle t_2′ − t_1′ = \frac{c}{c+v}(t_2-t_1) \)
Questo risultato coincide con quello che io ho chiamato \(\displaystyle \Delta T \), cioè con la differenza tra gli istanti misurati in S in cui si prendono le foto, e non è quindi, secondo me, la quantità richiesta cioè la differenza tra gli istanti segnati dallo schermo dell'orologio in S'.
In particolare trovo strano ragionare considerando lo spazio percorso da chicchessia nel tempo \(\displaystyle t-t' \) che è la differenza tra due istanti di tempo misurati in due diversi sdr.
Potete dirmi se e dove sbaglio?
Grazie!
Risposte
Ciao mathbells. Ho letto di sfuggita il tuo post, per di più sul telefonino. Lo leggerò con attenzione stasera a casa. Per ora ti dico che hai ragione, si crea gran confusione quando si mischia la “misura “ con l’osservazione “visiva”, visto che $c$ è finita. Non è questo il modo migliore per fare capire la RR .
Devo comprendere e poi ragionare. Spero di poter dire qualcosa. Ma magari nel frattempo arriva qualcun altro.
A risentirci.
Devo comprendere e poi ragionare. Spero di poter dire qualcosa. Ma magari nel frattempo arriva qualcun altro.
A risentirci.
Premesso che, per non farmi condizionare, ho evitato di leggere la tua soluzione e quella dell'autore, ho ottenuto:
Solo dopo, leggendo la tua soluzione, mi sono reso conto che abbiamo proceduto nello stesso modo.
P.S.
Non ho letto quella dell'autore.
$sqrt3/3(t_2-t_1)$
Solo dopo, leggendo la tua soluzione, mi sono reso conto che abbiamo proceduto nello stesso modo.
P.S.
Non ho letto quella dell'autore.
Come faccio spesso, preferisco disegnare un diagramma di Minkowski della situazione , e stavolta l’ho fatto in scala per quanto riguarda la velocità $v = 0.5c $, usando la carta quadrettata, come si vede (in rosso i segnali luminosi) :
L’evento $E_1$ di coordinate $(x_1, T_1)$ nel riferimento di A , ha , nel rif. di B , coordinate $(0, t’_1)$ . Analogamente per l’altro evento $E_2$.
Ho rifatto i conti , e hai ragione, la formula finale giusta è la tua :
$ t’_2 - t’_1 = (t_2-t_1)/\gamma* c/(c+v)$
D’altro canto, questo non è altro che l’effetto Doppler relativistico (*); infatti si ha, elaborando un po’:
$1/\gamma*c/(c+v) = sqrt ( (c-v)/(c+v)) $
quindi :
$Deltat' = Deltat * sqrt((c-v)/(c+v)) $
questo vuol dire che se l’OI mobile B (con apice in figura), il quale si sta allontanando dall’OI fisso A (senza apice) emette due segnali luminosi agli istanti $t’_1 $ e $t’_2$ , A li riceve agli istanti $t_1$ e $t_2$ rispettivamente: le differenze di tempi $Deltat’$ e $Deltat$, tra i segnali emessi e tra i segnali ricevuti, sono legati da quella radice.
Questa radice, mettendo $v=0.5c$ , vale $0.5773$ , che è uguale al fattore $sqrt3/3$ calcolato da Sergeant Elias.
————————————-
(*) Ho trovato questo nel forum sull’effetto Doppler relativistico:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8420788
Se su B c’è una sorgente di impulsi luminosi periodici, emessi a intervalli di tempo proprio $Deltat’$ , e B si sta allontanando da A , l’intervallo di tempo coordinato $Deltat$ tra i segnali ricevuti da A è maggiore; si può pensare a un’ onda em , che vista da A appare allungata, e considerare che $lambda= cT$ : aumentando $lambda$ aumenta il periodo T in ricezione.
Quindi la formula prima riportata sarebbe da scrivere all’inverso:
$Deltat = Deltat’ * sqrt((c+v)/(c-v)) $
appunto per tener conto che la sorgente è in B, in moto con velocità di allontanamento $v$ rispetto al ricevitore fisso in A. Il fattore $k = sqrt((c+v)/(c-v))$ é il poco noto fattore di Bondi, da lui introdotto nel suo “ k calculus” , riportato nel libro “ Relatività e senso comune” , che si trova in inglese (e fu tradotto in italiano vari decenni fa). Purtroppo non si trova spesso nei libri di relatività , ed è un vero peccato.
Usando il fattore k di Bondi, si trovano quasi tutti i risultati della RR .
Per esempio, ecco un corso di RR dove si introduce il fattore K a proposito del “radar method “ , paragrafo 2.2.1 e seguenti. Da notare quanto scrive l’autore nel piccolo inciso “ Observing versus reckoning” a pag 12 , che cade a fagiolo qui : differenza tra osservare ( che è un fatto visivo) e misurare (= reckoning: fare di conto, conteggiare).
https://courses.maths.ox.ac.uk/node/view_material/5295
In conclusione, caro Mathbells, la tua soluzione è quella corretta, siamo in piena RR, altroché.
L’evento $E_1$ di coordinate $(x_1, T_1)$ nel riferimento di A , ha , nel rif. di B , coordinate $(0, t’_1)$ . Analogamente per l’altro evento $E_2$.
Ho rifatto i conti , e hai ragione, la formula finale giusta è la tua :
$ t’_2 - t’_1 = (t_2-t_1)/\gamma* c/(c+v)$
D’altro canto, questo non è altro che l’effetto Doppler relativistico (*); infatti si ha, elaborando un po’:
$1/\gamma*c/(c+v) = sqrt ( (c-v)/(c+v)) $
quindi :
$Deltat' = Deltat * sqrt((c-v)/(c+v)) $
questo vuol dire che se l’OI mobile B (con apice in figura), il quale si sta allontanando dall’OI fisso A (senza apice) emette due segnali luminosi agli istanti $t’_1 $ e $t’_2$ , A li riceve agli istanti $t_1$ e $t_2$ rispettivamente: le differenze di tempi $Deltat’$ e $Deltat$, tra i segnali emessi e tra i segnali ricevuti, sono legati da quella radice.
Questa radice, mettendo $v=0.5c$ , vale $0.5773$ , che è uguale al fattore $sqrt3/3$ calcolato da Sergeant Elias.
————————————-
(*) Ho trovato questo nel forum sull’effetto Doppler relativistico:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8420788
Se su B c’è una sorgente di impulsi luminosi periodici, emessi a intervalli di tempo proprio $Deltat’$ , e B si sta allontanando da A , l’intervallo di tempo coordinato $Deltat$ tra i segnali ricevuti da A è maggiore; si può pensare a un’ onda em , che vista da A appare allungata, e considerare che $lambda= cT$ : aumentando $lambda$ aumenta il periodo T in ricezione.
Quindi la formula prima riportata sarebbe da scrivere all’inverso:
$Deltat = Deltat’ * sqrt((c+v)/(c-v)) $
appunto per tener conto che la sorgente è in B, in moto con velocità di allontanamento $v$ rispetto al ricevitore fisso in A. Il fattore $k = sqrt((c+v)/(c-v))$ é il poco noto fattore di Bondi, da lui introdotto nel suo “ k calculus” , riportato nel libro “ Relatività e senso comune” , che si trova in inglese (e fu tradotto in italiano vari decenni fa). Purtroppo non si trova spesso nei libri di relatività , ed è un vero peccato.
Usando il fattore k di Bondi, si trovano quasi tutti i risultati della RR .
Per esempio, ecco un corso di RR dove si introduce il fattore K a proposito del “radar method “ , paragrafo 2.2.1 e seguenti. Da notare quanto scrive l’autore nel piccolo inciso “ Observing versus reckoning” a pag 12 , che cade a fagiolo qui : differenza tra osservare ( che è un fatto visivo) e misurare (= reckoning: fare di conto, conteggiare).
https://courses.maths.ox.ac.uk/node/view_material/5295
In conclusione, caro Mathbells, la tua soluzione è quella corretta, siamo in piena RR, altroché.
Ringrazio molto tutti e due per aver risolto il problema e aver rifatto tutti i conti!
@Shakle Grazie per la solita esaustività! Interessante il collegamento con l'effetto Doppler... approfondirò la cosa appena posso. Grazie mille per i link!
@Shakle Grazie per la solita esaustività! Interessante il collegamento con l'effetto Doppler... approfondirò la cosa appena posso. Grazie mille per i link!
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