Relatività , Calcolo del modulo di E,V,C
Salve ragazzi , vi propongo questo problema :
Nel sistema di riferimento inerziale $\Sigma'$ si trova un condensatore piano che consiste di due lastre quadrate parallele nel piano (x,y), di superficie $A'$ e distanti $d'$ . Una lastra ha carica $+Q'$ e l'altra $-Q'$ .
Quali sono i valori di $E'$,$V'$ e $C'$ ?
Nel sistema di riferimento $\Sigma$ , rispetto al quale $\Sigma'$ ha una velocita' $v=\beta c$ nella direzione x,quali valori prendono $E$,$V$ e $C$ rispetto ai valori rispettivi in $\Sigma'$ ?
Mi sono mosso cosi :
In $\Sigma'$
$E'=4\pi K_{e} \frac{Q'}{A'}$ da cui $V'=\int_0^{d'} E' dx=\frac{Q'd'}{\epsilon_0 A'}$
infine $C'=\frac{Q'}{V'}=\frac{\epsilon_0 A'}{d'}$
$\Sigma$ sono in ambito relativistico
Sia $\gamma=\sqrt(1-\beta^2)$ avrò :
$E=4\pi K_{e}\frac{Q'\gamma}{A'}$ da cui $V=\int_0^{d'} 4\pi K_{e}\frac{Q'\gamma}{A'} dx = \gamma V'$
Infine $C=\frac{Q'}{V'}=\frac{\epsilon_0 A'}{d'}=\frac{C'}{\gamma}$
Lo svolgimento e' corretto?
Nel sistema di riferimento inerziale $\Sigma'$ si trova un condensatore piano che consiste di due lastre quadrate parallele nel piano (x,y), di superficie $A'$ e distanti $d'$ . Una lastra ha carica $+Q'$ e l'altra $-Q'$ .
Quali sono i valori di $E'$,$V'$ e $C'$ ?
Nel sistema di riferimento $\Sigma$ , rispetto al quale $\Sigma'$ ha una velocita' $v=\beta c$ nella direzione x,quali valori prendono $E$,$V$ e $C$ rispetto ai valori rispettivi in $\Sigma'$ ?
Mi sono mosso cosi :
In $\Sigma'$
$E'=4\pi K_{e} \frac{Q'}{A'}$ da cui $V'=\int_0^{d'} E' dx=\frac{Q'd'}{\epsilon_0 A'}$
infine $C'=\frac{Q'}{V'}=\frac{\epsilon_0 A'}{d'}$
$\Sigma$ sono in ambito relativistico
Sia $\gamma=\sqrt(1-\beta^2)$ avrò :
$E=4\pi K_{e}\frac{Q'\gamma}{A'}$ da cui $V=\int_0^{d'} 4\pi K_{e}\frac{Q'\gamma}{A'} dx = \gamma V'$
Infine $C=\frac{Q'}{V'}=\frac{\epsilon_0 A'}{d'}=\frac{C'}{\gamma}$
Lo svolgimento e' corretto?
Risposte
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Ciao Samuele. Io la vedo così.
LA carica elettrica non dipende dalla velocità del riferimento.
Quindi non puoi scrivere che , nel riferimento $\Sigma$ , la carica elettrica vale $Q'\gamma$ : è sempre la stessa carica.
Qui l'unica cosa che cambia, passando da $\Sigma'$ a $\Sigma$, è la distanza tra le piastre, che nel riferimento di quiete $\Sigma'$ è la distanza propria $d'$ , e nel riferimento $\Sigma$ è la distanza "contratta" $d = (d')/\gamma$ .
Perciò devi calcolare le grandezze che ti interessano in $\Sigma$ tenendo conto della stessa carica elettrica, e della distanza $d$ contratta tra le piastre. L'area trasversale al moto non varia, perché non c'è contrazione nelle direzioni perpendicolari al moto.
Ovviamente posso sbagliarmi, ma di sicuro la carica elettrica è invariante.
LA carica elettrica non dipende dalla velocità del riferimento.
Quindi non puoi scrivere che , nel riferimento $\Sigma$ , la carica elettrica vale $Q'\gamma$ : è sempre la stessa carica.
Qui l'unica cosa che cambia, passando da $\Sigma'$ a $\Sigma$, è la distanza tra le piastre, che nel riferimento di quiete $\Sigma'$ è la distanza propria $d'$ , e nel riferimento $\Sigma$ è la distanza "contratta" $d = (d')/\gamma$ .
Perciò devi calcolare le grandezze che ti interessano in $\Sigma$ tenendo conto della stessa carica elettrica, e della distanza $d$ contratta tra le piastre. L'area trasversale al moto non varia, perché non c'è contrazione nelle direzioni perpendicolari al moto.
Ovviamente posso sbagliarmi, ma di sicuro la carica elettrica è invariante.
Ciao Navigatore ,
Sò benissimo che la carica è un'invariante relativistico infatti io ho "contratto" l'Area $A=\frac{A'}{\gamma}$ poiché è parallelo alla direzione del moto e non $d'$ che è perpendicolare alla direzione del moto e quindi è un'invariante. Il testo dice chiaramente che le piastre sono poggiate sul piano (x,y) e la velocita' è lungo x..
Sò benissimo che la carica è un'invariante relativistico infatti io ho "contratto" l'Area $A=\frac{A'}{\gamma}$ poiché è parallelo alla direzione del moto e non $d'$ che è perpendicolare alla direzione del moto e quindi è un'invariante. Il testo dice chiaramente che le piastre sono poggiate sul piano (x,y) e la velocita' è lungo x..
Oh diamine, non avevo letto bene il testo , ti chiedo scusa! Pensavo che le piastre fossero perpendicolari alla direzione del moto!
Allora si contrae solo la dimensione lungo $x$ . Quindi , conservandosi la carica elettrica, la densità superficiale aumenta del fattore $\gamma$ .
Allora si contrae solo la dimensione lungo $x$ . Quindi , conservandosi la carica elettrica, la densità superficiale aumenta del fattore $\gamma$ .
Non scusarti 
Quindi è come ho scritto io?
Quindi è come ho scritto io?
Abbiamo detto che :
$Q = Q'$
$A = (A')/\gamma$
Quindi in $\Sigma$ :
$E = 4\piK_eQ/A = 4\piK_e(Q'\gamma)/(A')$ , da cui : $E = \gamma E'$
Analogamente : $V = (Qd)/(\epsilon_0A) = …..= \gamma V'$
$C = Q/V = (Q')/(\gammaV') = (C')/\gamma$ .
Direi che va bene.
$Q = Q'$
$A = (A')/\gamma$
Quindi in $\Sigma$ :
$E = 4\piK_eQ/A = 4\piK_e(Q'\gamma)/(A')$ , da cui : $E = \gamma E'$
Analogamente : $V = (Qd)/(\epsilon_0A) = …..= \gamma V'$
$C = Q/V = (Q')/(\gammaV') = (C')/\gamma$ .
Direi che va bene.
Grazie mille
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