Re:equilibrio di due barre incastrate
Ciao a tutti,tra i pdf che ci vengono messi a disposizione per esercitarci ho trovato questo esercizio,abbastanza impegnativo,su cui mi sto incaponendo da ieri. Vi riporto il testo e l'immagine
Due sbarre di massa rispettivamente m1 ed m2 sono incernierate (in A e B
rispettivamente) a due pareti affacciate. Le aste sono in equilibrio quando
la prima si appoggia, nel suo centro, sulla seconda formando un angolo di
90°, come in figura. Sapendo che la massa della prima sbarra è m1=5kg,
che il coefficiente di attrito statico tra le due aste vale 0.4, e che
l’inclinazione della prima asta è ϑ1=60°, quale è il massimo valore
possibile di m2?
Trattandosi di un problema di equilibrio io ho fatto i diagrammi di corpo libero per le due sbarre,per poi impostare le leggi di newton e l'equazione dei momenti per ognuna delle due.
Sulla sbarra m2,di cui bisogna trovare la massa,ho come forze:
-la forza peso,diretta verso il basso e scomposta in due componenti con angolo di 30 gradi (ho immaginato che metà della sbarra m1 e la sbarra m2 formino i cateti di un triangolo rettangolo per cui,avendo due angoli di 90 e 60 gradi rispettivamente,quello rimamente è di 30)
-la forza di reazione sulla cerniera,sempre scomposta in componente x e y
-la normale,perpendicolare al piano dell'asta.
Sull'asta più lunga,di massa m1 ho:
-la forza peso,scomposta in componenti x e y con angolo di 60 gradi per l'inclinazione;
-la forza di reazione sulla cerniera,scomposta nelle sue componenti x e y,
-la forza normale perpendicolare al piano dell'asta
-la forza di attrito,che io ho segnato con direzione verso l'alto,ossia,dal punto di contatto delle due aste in su.
Il problema è che non riesco a capire come impostare sottoforma di equazione la condizione di non scivolamento delle aste,in modo da mettere anche in relazione l'asta 1 con l'asta 2...qualcuno può darmi un consiglio su come proseguire?
Grazie!
Due sbarre di massa rispettivamente m1 ed m2 sono incernierate (in A e B
rispettivamente) a due pareti affacciate. Le aste sono in equilibrio quando
la prima si appoggia, nel suo centro, sulla seconda formando un angolo di
90°, come in figura. Sapendo che la massa della prima sbarra è m1=5kg,
che il coefficiente di attrito statico tra le due aste vale 0.4, e che
l’inclinazione della prima asta è ϑ1=60°, quale è il massimo valore
possibile di m2?
Trattandosi di un problema di equilibrio io ho fatto i diagrammi di corpo libero per le due sbarre,per poi impostare le leggi di newton e l'equazione dei momenti per ognuna delle due.
Sulla sbarra m2,di cui bisogna trovare la massa,ho come forze:
-la forza peso,diretta verso il basso e scomposta in due componenti con angolo di 30 gradi (ho immaginato che metà della sbarra m1 e la sbarra m2 formino i cateti di un triangolo rettangolo per cui,avendo due angoli di 90 e 60 gradi rispettivamente,quello rimamente è di 30)
-la forza di reazione sulla cerniera,sempre scomposta in componente x e y
-la normale,perpendicolare al piano dell'asta.
Sull'asta più lunga,di massa m1 ho:
-la forza peso,scomposta in componenti x e y con angolo di 60 gradi per l'inclinazione;
-la forza di reazione sulla cerniera,scomposta nelle sue componenti x e y,
-la forza normale perpendicolare al piano dell'asta
-la forza di attrito,che io ho segnato con direzione verso l'alto,ossia,dal punto di contatto delle due aste in su.
Il problema è che non riesco a capire come impostare sottoforma di equazione la condizione di non scivolamento delle aste,in modo da mettere anche in relazione l'asta 1 con l'asta 2...qualcuno può darmi un consiglio su come proseguire?
Grazie!
Risposte
sarebbe buona cosa se tu mettessi le equazioni che hai trovato per la risoluzione del problema...il fatto di avere così, le sole forze, almeno a me, mi dice poco 
Ciao,allora,le equazioni di conservazione del momento sono:
asta 1,con i momenti calcolati rispetto alla cerniera in cui è vincolata: m1*g*cos60*l1/2-n*l/2=0
asta 2,con i momenti calcolati rispetto alla cerniera in cui è vincolata:fa*l2/2-m2*g*cos30*l2/2=0 (è giusto che non abbia incluso la forza normale dell'asta più piccola?)
con queste due equazioni trovo il valore della forza normale sull'asta più lunga e trovo la formula per la forza di attrito,all'interno della quale abbiamo l'incognita da trovare,ossia m2.
Il mio dubbio sorge qui,non so come mettere in relazione con un'equazione l'asta 1 con l'asta 2...in sostanza mi chiedono il valore massimo di m2 per cui le sbarre restano incastrate,però come viene tradotto in termini fisici?Quali forze deve bilanciare la forza di attrito per evitare che le aste si separino?
asta 1,con i momenti calcolati rispetto alla cerniera in cui è vincolata: m1*g*cos60*l1/2-n*l/2=0
asta 2,con i momenti calcolati rispetto alla cerniera in cui è vincolata:fa*l2/2-m2*g*cos30*l2/2=0 (è giusto che non abbia incluso la forza normale dell'asta più piccola?)
con queste due equazioni trovo il valore della forza normale sull'asta più lunga e trovo la formula per la forza di attrito,all'interno della quale abbiamo l'incognita da trovare,ossia m2.
Il mio dubbio sorge qui,non so come mettere in relazione con un'equazione l'asta 1 con l'asta 2...in sostanza mi chiedono il valore massimo di m2 per cui le sbarre restano incastrate,però come viene tradotto in termini fisici?Quali forze deve bilanciare la forza di attrito per evitare che le aste si separino?
La forza peso di $m_1$ la immaginiamo applicata nel punto di contatto, se scomponi la forza peso, la componente che comprime $m_2$ è $1/2 m_1 g$.
Moltiplicata per l'attrito hai $1/2 \mu m_1 g$.
Questa è l'unica forza che può sostenere $m_1$, quindi le forze che generano delle coppie su $m_2$ devono essere in equilibrio. Una è l'attrito, l'altra è il peso di $m_2$.
La coppia dovuta al peso è $1/2l_2m_2 g\ \sqrt3/2$, quella dell'attrito è $1/2 l_2 \mu m_1 g$.
Uguagli, semplifichi, ricavi $m_2$.
Moltiplicata per l'attrito hai $1/2 \mu m_1 g$.
Questa è l'unica forza che può sostenere $m_1$, quindi le forze che generano delle coppie su $m_2$ devono essere in equilibrio. Una è l'attrito, l'altra è il peso di $m_2$.
La coppia dovuta al peso è $1/2l_2m_2 g\ \sqrt3/2$, quella dell'attrito è $1/2 l_2 \mu m_1 g$.
Uguagli, semplifichi, ricavi $m_2$.
"Quinzio":
La forza peso di $m_1$ la immaginiamo applicata nel punto di contatto, se scomponi la forza peso, la componente che comprime $m_2$ è $1/2 m_1 g$.
Corretto.
Però io non suggerisco quel metodo, visto che in generale alcune cose possono sfuggire se non si fanno le cose bene (e non è sempre facile considerare le cose correttamente, usando tale approccio) .
Per calcolare quella reazione io applicherei l'equilibrio dei momenti in A per la barretta 1.
Ottenendo:
$R l/2 - m_1g l/2 sin (pi/2 - theta)=0$
con $R$ forza normale alla barretta nel punto di mezzo della prima barretta data dalla seconda barretta.
In tale equazione non compare il termine in direzione della barretta 1 dovuto all'attrito, visto che non dà contributo al momento in A.
Essendo $theta=60°$ si ottiene appunto $R=m_1g/2$
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