Recipiente immerso nel ghiaccio

[bug54]

Salve,
trovo difficoltà nel risolvere ilseguente problemuccio...
Un recipiente cilindrico con pareti trasparenti al calore, chiuso superiormente da un pistone scorrevole di masa m = 20 kg e sezione S = 4 dm2, è circondato lateralmente da una miscela di acqua e ghiaccio; la pressione dell’ambiente è $P_0 = 1 atm$. Nel recipiente sono contenute n = 1 mol di gas perfetto monoatomico ela temperatura iniziale dell’intero sistema è $T_0 = 273 K$. Si posa sopra il pistone un corpo di massa m’, il pistone si abbasa e nella trasformazione irrreversibile si ha fusione di una massa $m_1 = 3 g$ di ghiaccio.
a) Si calcoli ilvalore di m’;
b) Successivamente si applica al pistone una forza esterna di intensità opportunamente variablile in modo da riportare il gas nello stato iniziale. La trasformazione è isoterma reversibile: si calcolila massa m2 di ghiaccio formatosi.

Se andiamo a scrivere $P_iV_i=nRT_0$ essendo $P_i=P_0+mg/S$ abbiamo il volume iniziale e quindi essendo nota la sezione sappiamo l'altezza del pistone $h_i=V_i/S=(1/S)(nRT_0)/(P_0+mg/S)= 0.5 m$
nella situazione finale si ha $P_f V_f=nRT_0$ (la tempertaura non cambia perchè il processo è isotermo) con $P_f=P_0+(m'+m)g/S$ si perviene a $V_f=(nRT_0)/(P_0+(m'+m)g/S)$ e quindi al valore dell'altezza finale del pistone $h_f=V_f/S$
Ora l'energia potenziale perduta nell'abbassamento del pistone con m' sopra deve uguagliare il calore necessario a fondere la massa $m_1$ di ghiaccio perciò $(m'+m)g(h_i-h_f)=m_1 \lambda$
ma facendo i calcoletti non mi sembra che ciò porti alla soluzione che dovrebbe essere $m'=(m_1 \lambda)/(nRT_0) (m+P_0S/g)$
poi per secondo punto buio....

[lotuno]

Ciao, allora provo a esporti il mio ragionamento: sappiamo che il lavoro che viene compiuto dalla differenza di quota del pistone è uguale al calore che viene ad essere scambiato col ghiaccio. Il lavoro è $PdeltaV = nRT$ nella nostra isoterma, il calore è $m_1lambda$.
Allora da qui, essendo che la trasformazione è isoterma, possiamo porre il prodotto pressione-volume costante nel tempo, tale che: $(P_0 +mg/S)*V_i = (P_0 +mg/S + m'g/S)*V_f$. Dalla concezione di isoterma, il volume è genericamente: $V = nRT/P$ quindi possiamo porre: $(P_0 +mg/S + m'g/S)*(nRT_0)*[1/(P_0 +mg/S + m'g/S) - 1/(P_0 +mg/S)] = m_1lambda$ (pressione finale * variazione volumica = lavoro = calore fornito).
Svolgendo i calcoli hai: $1 - (P_0 +mg/S + m'g/S)/(P_0 +mg/S) = (m_1lambda)/(nRT_0)$, da qui semplifichi ancora la frazione così da toglierti gli 1 e arrivi a: $m'g/S = (m_1lambda)/(nRT_0)*(P_0 +mg/S)$, e da lì al risultato da te postato.

Per quanto riguarda il secondo punto io proverei ad occhio e croce a sfruttare il fatto che la trasformazione sia reversibile, quindi l'entropia totale deve essere nulla. In pratica, per il gas (essendo isoterma) hai solo il termine $nRln[V_f/V_i]$, invece per la sorgente di calore hai $Q/T$ laddove il calore è dato dal prodotto tra la massa di ghiaccio formatasi e il calore latente di fusione. Prova un po' così e dimmi cosa ne esce, ciao

[bug54]

forse non serve scomodare il secondo principio:
b) Ora la trasformazione è reversibile e possiamo usare la relazione del lavoro in funzione della pressione
$L =nRT_0 log(P_i/P_f)$
$L = nRT_0 log ((P_0 + (m+m’) g / S) / (P_0 + m g / S)) = m_2 λ$ da cui

$ m_2 = (1/ λ) nRT_0 log [ (P_0 + (m+m’) g / S / (P_0 + m g / S)]$=2.5 g

che, come è giusto che sia, è inferiore alla massa di ghiaccio formatosi nella stessa trasformazione ma irreversibile perchè la forza deve lavorare contro la gravità,mentre prima la gravità lavorava "a favore".

[lotuno]

Penso che vada bene, allora ci siamo