Recipiente Forato - problema
Salve a tutti, è piu di mezza giornata che provo a risolvere questo esercizio di fluidodinamica, che nonostante abbia una sorta di svolgimento inserito dal professore nella traccia, non riesco a capire...
Testo: Sulla parete di un recipiente cilindrico aperto superiormente, alto e stretto riempito fino all’altezza h
di un liquido ideale (incompressibile e non viscoso) viene praticato un foro ad altezza y dalla base. Un ugello applicato al foro orienta il getto in uscita ad un angolo θ rispetto all’orizzontale. Sia α il rapporto fra la sezione del cilindro e quella dell’ugello. Si chiede di calcolare la velocità di uscita V e la distanza D a cui il getto colpisce inizialmente il terreno, esprimendola in termini di h, y, α e θ.
Svolgimento:
Si tratta di applicare il teorema di Bernoulli e l’equazione di continuità, in base alla quale V=αv, avendo indicato con V la velocità di uscita e con v quella di discesa . Se ne ricava un’espressione per la velocità d’uscita: V=√[2g(h−y)/(1−α^-2)]. Ora si può ricavare il tempo di caduta tenendo conto che nel moto uniformemente accelerato con velocità iniziale -Vsinθ. Il getto deve coprire una distanza y: se ne ricava, dopo aver scartato al soluzione negativa, l’espressione ∆t=Vsinθ/g+√[V2sin2θ+gy]. La gittata si ottiene infine come Vcosθ×∆t.
mi sapete spiegare perchè se il teorema di torricelli dice che la velocità di efflusso, ovvero la velocità di fuoriuscita da un ugello/foro è uguale a Vout=√2gh dove h è il dislivello tra superficie del fluido e punto di uscita, invece il professore svolge applicando il teo di bernulli del quale ho le formule ma non ho capito come vanno applicate all'equazione di continuità che invece mi è molto chiara e in sostanza gli viene una Vout nella quale ad incidere c'è anche quel fattore 1/1-a^-2 che non capisco ne da dove viene ne perchè viene...
vi chiedo se sapete svolgerlo o se lo svolgimento proposto vi illumina la mente gentilmente di spiegarmi come affrontare questo tipo di problemi e il perchè di quanto scritto sopra... vi ringrazio anticipatamente
Testo: Sulla parete di un recipiente cilindrico aperto superiormente, alto e stretto riempito fino all’altezza h
di un liquido ideale (incompressibile e non viscoso) viene praticato un foro ad altezza y dalla base. Un ugello applicato al foro orienta il getto in uscita ad un angolo θ rispetto all’orizzontale. Sia α il rapporto fra la sezione del cilindro e quella dell’ugello. Si chiede di calcolare la velocità di uscita V e la distanza D a cui il getto colpisce inizialmente il terreno, esprimendola in termini di h, y, α e θ.
Svolgimento:
Si tratta di applicare il teorema di Bernoulli e l’equazione di continuità, in base alla quale V=αv, avendo indicato con V la velocità di uscita e con v quella di discesa . Se ne ricava un’espressione per la velocità d’uscita: V=√[2g(h−y)/(1−α^-2)]. Ora si può ricavare il tempo di caduta tenendo conto che nel moto uniformemente accelerato con velocità iniziale -Vsinθ. Il getto deve coprire una distanza y: se ne ricava, dopo aver scartato al soluzione negativa, l’espressione ∆t=Vsinθ/g+√[V2sin2θ+gy]. La gittata si ottiene infine come Vcosθ×∆t.
mi sapete spiegare perchè se il teorema di torricelli dice che la velocità di efflusso, ovvero la velocità di fuoriuscita da un ugello/foro è uguale a Vout=√2gh dove h è il dislivello tra superficie del fluido e punto di uscita, invece il professore svolge applicando il teo di bernulli del quale ho le formule ma non ho capito come vanno applicate all'equazione di continuità che invece mi è molto chiara e in sostanza gli viene una Vout nella quale ad incidere c'è anche quel fattore 1/1-a^-2 che non capisco ne da dove viene ne perchè viene...
vi chiedo se sapete svolgerlo o se lo svolgimento proposto vi illumina la mente gentilmente di spiegarmi come affrontare questo tipo di problemi e il perchè di quanto scritto sopra... vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Non è possibile applicare direttamente il teorema di Torricelli perchè il livello del fluido contenuto nel recipiente non si mantiene costante.
Questo non è detto esplicitamente, quindi non possiamo assumerlo come ipotesi; niente Torricelli.
Dobbiamo considerare che il fluido si abbassi con una certa velocità $v_a$.
$S$ e $s$ le sezioni
$H$ la quota del foro
$v_a$ e $v_e$ le velocità di abbassamento del fluido e di efflusso.
Essendo il liquido perfetto, vale l'eq. di continuità:
\(\displaystyle S \cdot v_a = s \cdot v_e \qquad (1) \)
\(\displaystyle P+ \rho g H+ \frac{1}{2} \rho v_a^2=P+ \frac{1}{2} \rho v_e^2\)
\(\displaystyle v_e^2=2gH+v_a^2 \)
\(\displaystyle v_e= \sqrt {2gH+v_a^2 } \)
dalla (1)
\(\displaystyle v_e^2=2gH+v_e^2 \frac{s^2}{S^2} \)
\(\displaystyle v_e= \sqrt {\frac{2gH}{1- \frac{s^2}{S^2}}} \)
siccome il tuo foro non sta sul fondo l'equazione diventa:
\(\displaystyle v_e= \sqrt {\frac{2g(h-y)}{1- \frac{s^2}{S^2}}} \)
Per concludere
l'errore percentuale, che si commette trascurando la velocità di abbassamento, applicando il teorema di Torricelli, può essere valutato così:
\(\displaystyle \Delta v_{ep}= \frac{v_e-v_{eT}}{v_e} \cdot 100 \)
Questo non è detto esplicitamente, quindi non possiamo assumerlo come ipotesi; niente Torricelli.
Dobbiamo considerare che il fluido si abbassi con una certa velocità $v_a$.
$S$ e $s$ le sezioni
$H$ la quota del foro
$v_a$ e $v_e$ le velocità di abbassamento del fluido e di efflusso.
Essendo il liquido perfetto, vale l'eq. di continuità:
\(\displaystyle S \cdot v_a = s \cdot v_e \qquad (1) \)
\(\displaystyle P+ \rho g H+ \frac{1}{2} \rho v_a^2=P+ \frac{1}{2} \rho v_e^2\)
\(\displaystyle v_e^2=2gH+v_a^2 \)
\(\displaystyle v_e= \sqrt {2gH+v_a^2 } \)
dalla (1)
\(\displaystyle v_e^2=2gH+v_e^2 \frac{s^2}{S^2} \)
\(\displaystyle v_e= \sqrt {\frac{2gH}{1- \frac{s^2}{S^2}}} \)
siccome il tuo foro non sta sul fondo l'equazione diventa:
\(\displaystyle v_e= \sqrt {\frac{2g(h-y)}{1- \frac{s^2}{S^2}}} \)
Per concludere
l'errore percentuale, che si commette trascurando la velocità di abbassamento, applicando il teorema di Torricelli, può essere valutato così:
\(\displaystyle \Delta v_{ep}= \frac{v_e-v_{eT}}{v_e} \cdot 100 \)
ti ringrazio,sei stato molto chiaro ed esaustivo...
prego, ciao
ciao piero, ho provato a svolgere anche il punto due dell'esercizio ma c'è qualcosa nel mio ragionamento che non torna...
La soluzione corretta è compresa nel testo scritto nel primo post, questo è il modo in cui ho ragionato io:
- So che la velocità di uscita ( orizzontale ) secondo bernoulli vale Vout che abbiamo trovato nei post sopra... a questo punto il fatto che ci sia un ugello mi inclina di un angolo θ esattamente lo stesso modulo della velocità trovata. quindi Vout=Vugello. Ora, per calcolare la gittata considerando che mi trovo ad un altezza Y e che non parto da 0 come nel moto che studio sul libro, non posso applicare la formula: Gittata=(Vout^2 *sin2θ)/g , ma devo ragionare in modo diverso, io ho fatto cosi:
considero il tempo di salita del getto fino a che la velocità viene portata a 0 dalla decelerazione gravitazionale = Vout*sinθ/g
a questo punto tramite la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato calcolo quanto spazio percorro in verticale per arrivare dall'altezza y fino all'altezza y+h , ovvero trovo h... a questo punto h mi viene=1/2 *Vout^2*(sinθ)^2/g
ora ho considerato il moto come una caduta libera che parte dall'altezza y+h ed ho trovato il tempo totale di caduta, che in teoria moltiplicato per la componente x della velocità di uscita dell'ugello mi dovrebbe dare la gittata, ma cosi non è...
prego chiunque oltre a piero che nel post precedente è stato gentilissimo e chiarissimo, di spiegarmi come farlo e perchè sbaglio... Grazie a tutti in anticipo
La soluzione corretta è compresa nel testo scritto nel primo post, questo è il modo in cui ho ragionato io:
- So che la velocità di uscita ( orizzontale ) secondo bernoulli vale Vout che abbiamo trovato nei post sopra... a questo punto il fatto che ci sia un ugello mi inclina di un angolo θ esattamente lo stesso modulo della velocità trovata. quindi Vout=Vugello. Ora, per calcolare la gittata considerando che mi trovo ad un altezza Y e che non parto da 0 come nel moto che studio sul libro, non posso applicare la formula: Gittata=(Vout^2 *sin2θ)/g , ma devo ragionare in modo diverso, io ho fatto cosi:
considero il tempo di salita del getto fino a che la velocità viene portata a 0 dalla decelerazione gravitazionale = Vout*sinθ/g
a questo punto tramite la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato calcolo quanto spazio percorro in verticale per arrivare dall'altezza y fino all'altezza y+h , ovvero trovo h... a questo punto h mi viene=1/2 *Vout^2*(sinθ)^2/g
ora ho considerato il moto come una caduta libera che parte dall'altezza y+h ed ho trovato il tempo totale di caduta, che in teoria moltiplicato per la componente x della velocità di uscita dell'ugello mi dovrebbe dare la gittata, ma cosi non è...
prego chiunque oltre a piero che nel post precedente è stato gentilissimo e chiarissimo, di spiegarmi come farlo e perchè sbaglio... Grazie a tutti in anticipo
É un moto parabolico
\(\displaystyle {x}={v}_{{e}}{\cos{\theta}}\cdot{t}\)
\(\displaystyle {y}={h}+{v}_{{e}}{s}{e}{n}\theta\cdot{t}-\frac{{1}}{{2}}{g{\cdot}}{{t}}^{{2}}\)
poni $y=0$ nella seconda e trovi il tempo di volo. Sostituisci nella prima e hai la gittata.
\(\displaystyle {x}={v}_{{e}}{\cos{\theta}}\cdot{t}\)
\(\displaystyle {y}={h}+{v}_{{e}}{s}{e}{n}\theta\cdot{t}-\frac{{1}}{{2}}{g{\cdot}}{{t}}^{{2}}\)
poni $y=0$ nella seconda e trovi il tempo di volo. Sostituisci nella prima e hai la gittata.
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