Reazioni vincolari in un punto.
Vorrei proporvi un esercizio in cui le reazioni vincolari sono messe in atto da un singolo punto e non da un piano.
Testo dell'esercizio:
"Un cancello rettangolare di massa M = 40 kg, largo l = 3 m e alto h = 1.8 m è incernierato al muro nei punti O e A come in figura. Il cancello è inoltre sorretto in B da un cavo di acciaio che forma un angolo $alpha = 30°$ con l'estremità superiore ed è sottoposto a una tensione T = 200 N. Determinare:
(a) la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dalla cerniera in A.
(b) la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dalla cerniera in O.
(c) la somma delle componenti verticali delle reazioni vincolari esercitate in A e in O.
(d) quanto deve valere la tensione perché la componente orizzontale della reazione vincolare in O si annulli."
Soluzione:
Innanzitutto le reazioni vincolari in O e in A, essendo esercitate da un singolo punto, non le conosco a priori, quindi disegno dei generici vettori che hanno componenti sia verticali sia orizzontali.
Calcolo la distanza del centro di massa del rettangolo dal punto O, che utilizzerò come polo nel calcolo dei momenti:
$ d = sqrt((l/2)^2 + (h/2)^2) = 1.75 m $
Equazioni cardinali:
- Forze -
lungo x: $ -Tcos(alpha) + R_{O,x} + R_{A,x} = 0 $
lungo y: $ R_{O,y} + R_{A,y} - Mg + Tsin(alpha) = 0 $
- Momenti (calcolati rispetto al punto O, positivi per rotazioni antiorarie, cioè $ vec(u)_z $ è uscente dal foglio ) -
$ lTsin(alpha) - dMgsin(pi/4) + vec(r)_{OA} xx vec(R)_A = 0 $
$ vec(r)_{OA} xx vec(R)_A = -hvec(u)_y xx (R_{A,x}vec(u)_x + R_{A,y}vec(u)_y) = hR_{A,x}vec(u)_z $
Quindi: $ lTsin(alpha) - dMgsin(pi/4) + hR_{A,x} = 0 $
Allora:
(a) $ R_{A,x} = (dMgsin(pi/4) - lTsin(alpha))/h = - 139 N $
(b) $ R_{O,x} = Tcos(alpha) - R_{A,x} = 156 N $
(c) $ R_{O,y} + R_{A,y} = Mg - Tsin(alpha) = 382 N $
(d) Non so come fare. Basta mettere $ R_{O,x} = 0 $ nella risposta (b) ??
I problemi sulle reazioni vincolari esercitate su un punto vanno affrontati in questo modo?
Testo dell'esercizio:
"Un cancello rettangolare di massa M = 40 kg, largo l = 3 m e alto h = 1.8 m è incernierato al muro nei punti O e A come in figura. Il cancello è inoltre sorretto in B da un cavo di acciaio che forma un angolo $alpha = 30°$ con l'estremità superiore ed è sottoposto a una tensione T = 200 N. Determinare:
(a) la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dalla cerniera in A.
(b) la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dalla cerniera in O.
(c) la somma delle componenti verticali delle reazioni vincolari esercitate in A e in O.
(d) quanto deve valere la tensione perché la componente orizzontale della reazione vincolare in O si annulli."
Soluzione:
Innanzitutto le reazioni vincolari in O e in A, essendo esercitate da un singolo punto, non le conosco a priori, quindi disegno dei generici vettori che hanno componenti sia verticali sia orizzontali.
Calcolo la distanza del centro di massa del rettangolo dal punto O, che utilizzerò come polo nel calcolo dei momenti:
$ d = sqrt((l/2)^2 + (h/2)^2) = 1.75 m $
Equazioni cardinali:
- Forze -
lungo x: $ -Tcos(alpha) + R_{O,x} + R_{A,x} = 0 $
lungo y: $ R_{O,y} + R_{A,y} - Mg + Tsin(alpha) = 0 $
- Momenti (calcolati rispetto al punto O, positivi per rotazioni antiorarie, cioè $ vec(u)_z $ è uscente dal foglio ) -
$ lTsin(alpha) - dMgsin(pi/4) + vec(r)_{OA} xx vec(R)_A = 0 $
$ vec(r)_{OA} xx vec(R)_A = -hvec(u)_y xx (R_{A,x}vec(u)_x + R_{A,y}vec(u)_y) = hR_{A,x}vec(u)_z $
Quindi: $ lTsin(alpha) - dMgsin(pi/4) + hR_{A,x} = 0 $
Allora:
(a) $ R_{A,x} = (dMgsin(pi/4) - lTsin(alpha))/h = - 139 N $
(b) $ R_{O,x} = Tcos(alpha) - R_{A,x} = 156 N $
(c) $ R_{O,y} + R_{A,y} = Mg - Tsin(alpha) = 382 N $
(d) Non so come fare. Basta mettere $ R_{O,x} = 0 $ nella risposta (b) ??
I problemi sulle reazioni vincolari esercitate su un punto vanno affrontati in questo modo?
Risposte
L'ngolo non e' 45 gradi, e' un rettangolo, non un quadrato.
Poi non userei la notazione vettoriale per il momento, userei braccio per forza.
Le prime due equazioni )forze) vanno bene
Quella dei momenti cosi come scelti da te sono
$R_(ax)h-MgL/2+Tsinalpha*L=0$
Vai avanti tu?
Poi non userei la notazione vettoriale per il momento, userei braccio per forza.
Le prime due equazioni )forze) vanno bene
Quella dei momenti cosi come scelti da te sono
$R_(ax)h-MgL/2+Tsinalpha*L=0$
Vai avanti tu?
Ah, non avevo visto che avevi calcolato.
Se hai usato $pi/4$ senz'altro i numeri ti vengono errati.
Per d, si. Basta imporre che sia $R_(OX)=0$ e risolvere per trovare quale T soddisfa.
Se hai usato $pi/4$ senz'altro i numeri ti vengono errati.
Per d, si. Basta imporre che sia $R_(OX)=0$ e risolvere per trovare quale T soddisfa.
Non ho capito come hai fatto a calcolare il momento della forza di gravità (gli altri momenti sono uguali a quelli che ho calcolato io, compreso il momento di Ra).
EDIT:
Ho capito, hai usato la formula momento = braccio per forza, dove il braccio è proprio L/2.
EDIT:
Ho capito, hai usato la formula momento = braccio per forza, dove il braccio è proprio L/2.
Comunque per quanto riguarda la risposta (d) facendo i calcoli mi viene una tensione negativa. Cosa vuol dire questa tensione negativa ? Cioè io so che:
$ vec(T) = - Tcos(alpha)vec(u)_x + Tsin(alpha)vec(u)_y $
La T trovata (imponendo la componente orizzontale di Ro = 0) è:
$ T = R_{A,x}/cos(alpha) = -166/cos(30) = -192 N $
Quindi:
$ T = (144, -96) N $ questo sembra suggerire che la tensione tenda a "far scendere" il cancello lungo y e a "spostarlo verso destra". Ma come è possibile?? Non dovrebbe agire "tirando" il cancello verso l'alto (quindi con componente y positiva??)
$ vec(T) = - Tcos(alpha)vec(u)_x + Tsin(alpha)vec(u)_y $
La T trovata (imponendo la componente orizzontale di Ro = 0) è:
$ T = R_{A,x}/cos(alpha) = -166/cos(30) = -192 N $
Quindi:
$ T = (144, -96) N $ questo sembra suggerire che la tensione tenda a "far scendere" il cancello lungo y e a "spostarlo verso destra". Ma come è possibile?? Non dovrebbe agire "tirando" il cancello verso l'alto (quindi con componente y positiva??)
Non ho tempo di rivedere i tuoi calcoli.
Semplicemente l'equazione di momento rispetto ad A nell'ipotesi che la reaz. orizzontale in O sia nulla
$Tcosalpha*h+Tsinalpha*L-Mg(L/2)=0$
Da cui T (certamente positiva). Forse nei tuoi calcoli hai preso la reazione in A con il vecchio valore (cioe' quando la reazione in O non e' nulla), ma nel momento in cui imponi che la reazione orizzontale in O sia nulla, tutte le forze si ridistribuiscono.
Semplicemente l'equazione di momento rispetto ad A nell'ipotesi che la reaz. orizzontale in O sia nulla
$Tcosalpha*h+Tsinalpha*L-Mg(L/2)=0$
Da cui T (certamente positiva). Forse nei tuoi calcoli hai preso la reazione in A con il vecchio valore (cioe' quando la reazione in O non e' nulla), ma nel momento in cui imponi che la reazione orizzontale in O sia nulla, tutte le forze si ridistribuiscono.
Sì hai ragione, ho usato il vecchio valore della reazione in A. Grazie.
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